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DOMANDE TEORIA MATEMATICA UNIVR
DOMANDE PARTE II (ANALISI MATEMATICA 1)
- Che cosa afferma il teorema fondamentale del calcolo integrale?
2. Che cosa si intende con funzione integrale di una funzione f nell’intervallo [𝑎, 𝑏]?
- Si indichi una proprietà di una funzione f che garantisce la sua integrabilità in un intervallo [𝑎, 𝑏].
- Si dica in che cosa consiste la formula di integrazione per parti.
- Si fornisca un esempio di integrale “quasi immediato”.
- Perché possiamo affermare che la funzione
𝑥
2
2
𝑥
non è una primitiva di 𝑥𝑒
𝑥
- Descrivere come avviene il calcolo di un ∫
𝑏
𝑎
7 a. Si dica come avviene in generale il calcolo di un integrale del tipo ∫
𝑏
𝑎
- Che cosa si intende con primitiva di una funzione f?
8 a. Che cosa si intende con primitiva di una funzione f in un certo intervallo?
8b. Si dica che cosa vuol dire che la funzione f è una primitiva della funzione g.
8c. Si dia la definizione di primitiva di una funzione f(x) in un intervallo.
8d. Che cosa significa che una funzione g è primitiva di una funzione f in R?
- Perché l’integrale di Riemann non coincide sempre con l’area della regione corrispondente?
- Come si calcola un integrale di Riemann (generalizzato) del tipo ∫ 𝑓
+∞
𝑎
- Che cosa si intende con integrale di Riemann generalizzato?
- In quale caso un integrale di Riemann generalizzato del tipo ∫ 𝑓
+∞
𝑎
converge?
- In quali casi l’integrale di Riemann ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
coincide con l’area della regione compresa tra l’asse x e il
grafico della funzione f?
- Si enunci un criterio di convergenza per integrali generalizzati.
14 a. Si enunci un teorema di confronto per la convergenza di un integrale di Riemann generalizzato.
- Si indichino almeno due proprietà che garantiscono l’integrabilità secondo Riemann di una funzione
in un intervallo [𝑎, 𝑏].
- Perché l’integrale indefinito di una funzione deve prevedere una costante arbitraria?
- Perché possiamo affermare che la funzione
1
𝑥
non è una primitiva di 𝑙𝑛 𝑥?
- Che cosa otteniamo facendo la differenza di due primitive di una funzione f?
- Si dica il motivo per cui, se una primitiva esiste per una funzione f , allora certamente questa primitiva
non è l’unica.
- Si commenti l’affermazione: se ∫
𝑏
𝑎
è positivo allora la funzione f è positiva nell’intervallo [𝑎, 𝑏]
DOMANDE PARTE III (ALGEBRA LINEARE)
- Che cosa afferma il teorema di Rouché-Capelli?
- Che cosa significa che i vettori 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 sono linearmente dipendenti?
- Che cosa significa per definizione che i vettori 𝑣 1 , 𝑣 2 ,... , 𝑣𝑘 sono linearmente dipendenti?
- Che cosa significa per definizione che i vettori 𝑣 1 , 𝑣 2 ,... , 𝑣𝑘 sono linearmente indipendenti?
- Che cosa significa che i vettori 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 sono generatori di ℝ
3
25 a. Che cosa significa che i vettori 𝑣
1
2
3
sono generatori di uno spazio vettoriale V?
25 b. Che cosa significa che i vettori 𝑣
1
2
3
sono generatori di ℝ
2
- Che cosa significa che i vettori 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 sono una base di ℝ
4
- Si descriva il procedimento del calcolo della matrice inversa.
- Che cosa significa che il vettore u è combinazione lineare dei vettori v e w?
- Dare una condizione sufficiente affinché una trasformazione lineare da ℝ
3
a ℝ
3
sia invertibile.
- Si enunci il teorema di Cramer.
- Come si può calcolare la dimensione dell’immagine di una trasformazione lineare?
- Cosa significa fare una combinazione lineare di due vettori 𝑣
1
2
- Si commenti l’affermazione: “il rango di una matrice quadrata A è sempre uguale al numero di righe
di A”.
- Si commenti l’affermazione: “il rango di una matrice A può essere uguale al numero di righe solo se
la matrice è quadrata”.
- Si commenti l’affermazione: “il rango di una matrice quadrata A è sempre uguale al numero di colonne
di A”.
- Si commenti l’affermazione: “il rango di una matrice quadrata A coincide con il determinante di A”.
- Si commenti l’affermazione: “se A è una matrice 2×3 il rango di A è massimo se e solo se il
determinante di A non si annulla”.
- Si dica perché non è corretta la seguente affermazione: in una matrice non quadrata A il rango è
massimo se il determinante di A è diverso da zero.
- Si enunci uno dei teoremi fondamentali sui sistemi di equazioni lineari.
- Come si calcola in una matrice quadrata il complemento algebrico dell’elemento 𝑎 𝑖𝑗
- Si dica quando possiamo affermare che il rango di una matrice 3 4 è 2.
- Che cosa è una base di uno spazio vettoriale?
42 a. Che cosa si intende con base di un sottospazio dello spazio vettoriale ℝ
𝑛
- Si dia una definizione di sottospazio dello spazio vettoriale ℝ
𝑛
- Si definisca, nel caso generale, il rango di una matrice.
- Che cosa si può dire sulla dimensione del sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo
- Che cosa significa che una trasformazione 𝑇: 𝑅
𝑛
𝑚
è lineare?
DOMANDE PARTE IV (ANALISI MATEMATICA 2)
- Data 𝑓(𝑥, 𝑦) si dia la definizione di derivata parziale rispetto ad y nel punto (𝑎, 𝑏).
- Si indichi una condizione sufficiente per l’esistenza di un punto di massimo locale per una funzione
- Si indichi una condizione che permette di concludere, per una funzione 𝑓(𝑥, 𝑦), che un punto
stazionario è punto di massimo locale.
58 a. Si indichi una condizione sufficiente per poter affermare che un punto stazionario (𝑥 0 , 𝑦 0 ) è di
massimo per una funzione di due variabili.
- Si spieghi che cosa significa fare una restrizione di una funzione di due variabili.
- Volendo definire correttamente la derivata parziale rispetto ad y di una funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) nel punto
(−1,2), come occorre modificare la scrittura
𝑦
′
= lim
𝑦→ 2
60 𝑎. Volendo definire correttamente la derivata parziale rispetto ad y di una funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) nel
punto (1,-2), come occorre modificare la scrittura
𝑦
′
= lim
𝑦→− 2
- Dare la definizione di derivata parziale rispetto ad y di una funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) nel punto (𝑥 0 , 𝑦 0 ).
61 a. Sia dia la definizione formale di derivata parziale rispetto ad y nel punto (𝑥 0 , 𝑦 0 ) di una funzione
reale 𝑓(𝑥, 𝑦).
- Dare una condizione sufficiente affinché un punto stazionario (𝑥 0 , 𝑦 0 ) sia punto di massimo per una
funzione di due variabili 𝑓(𝑥, 𝑦).
- Quale proprietà della matrice Hessiana di una funzione di due variabili in un punto stazionario
consente di concludere che il punto è di massimo locale?
- Quale proprietà della matrice Hessiana di una funzione di due variabili in un punto stazionario
consente di concludere che il punto è di sella, cioè né di massimo né di minimo locale?
- Che cosa è un punto stazionario per una funzione reale 𝑓(𝑥, 𝑦)?
- Che cosa è la funzione Lagrangiana e per quale problema viene utilizzata?
- Che cosa si può concludere nel caso il gradiente secondo di una funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) sia semidefinito
positivo in un punto stazionario?
- Che cosa è la matrice Hessiana di una funzione di due variabili?
68 a. Si scriva la matrice Hessiana di una funzione di due variabili 𝑓
68 b. Che cosa si intende con matrice Hessiana (o gradiente secondo) di una funzione 𝑓(𝑥, 𝑦)?
- Data una funzione di due variabili 𝑓(𝑥, 𝑦) che cosa significa curva di livello 1 di f?
- Che cosa significa per definizione che una funzione reale 𝑓(𝑥, 𝑦) è derivabile parzialmente rispetto
ad x (oppure y ) in un punto (𝑥 0 , 𝑦 0 )?
- Si dica come si studia la natura di un punto stazionario di una funzione di due variabili.
