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1 Contents
- 2 1 Lezione 3: Combinatoria e probabilitá
- 3 1.1 Introduzione
- 4 1.2 Unit 1 - Numero di sequenze
- 5 1.2.1 Imparare a contare
- 6 1.2.2 Richiami di teoria degli insiemi
- 7 1.2.3 Un primo conteggio
- 8 1.2.4 Etichettatura di un insieme finito
- 9 1.2.5 Principio di moltiplicazione
- 10 1.2.6 Il concetto di k-sequenza di In (disposizioni di n elementi di classe k)
- 11 1.2.7 Esempi
- 13 tizioni) 12 1.2.8 Calcolo delle k-sequenze di In con ripetizioni (disposizioni con ripe-
- 14 1.2.9 Il fattoriale
- 15 1.2.10 Calcolo delle k-sequenze senza ripetizioni (disposizioni semplici)
- 16 1.2.11 Esempi di k-sequenze senza ripetizioni di In
- 18 tazioni 17 1.2.12 Caso particolare di k-sequenze di In senza ripetizioni (k = n): Permu-
- 19 1.3 Unit 2 - Numero di insiemi
- 20 1.3.1 Il coefficiente binomiale
- 21 1.3.2 Numero di sottoinsiemi (combinazioni semplici)
- 22 1.3.3 Combinazioni con ripetizioni
- 23 1.3.4 Esempi
- 24 1.3.5 Pratica sulla Combinatoria
- 25 1.3.6 Il triangolo di Tartaglia-Pascal e il binomio di Newton
- 26 1.3.7 Pratica sul triangolo di Tartaglia–Pascal e binomio di Newton
- 27 1.3.8 Esercizi di riepilogo sul Calcolo delle Combinazioni
- 28 1.4 Unit 3 - Numero di anagrammi
- 29 1.4.1 Permuatzioni semplici e con ripetizioni
- 30 1.4.2 Anagrammi
- 31 1.4.3 Esempi
- 32 1.4.4 Pratica sugli anagrammi
- 33 1.4.5 Come risolvere un problema di calcolo combinatorio
- 34 1.4.6 Formule di riepilogo del Calcolo Combinatorio
- 35 1.4.7 Esercizi di riepilogo di Calcolo Combinatorio
- 36 1.5 Unit 4 - Probabilitá
- 37 1.5.1 Probabilitá uniforme
- 38 1.5.2 Proprietá della probabilitá uniforme
- 39 1.5.3 Esempi sulla probabilitá uniforme
- 40 1.5.4 Pratica sulla probabilitá uniforme
- 41 1.5.5 Esercizi sul calcolo delle probabilitá
- 42 1.6 Unit 5 - Statistica
- 43 1.6.1 Cenni di statistica
- 44 1.6.2 Raggruppare i dati
- 45 1.6.3 Sintetizzare i dati: la media
- 46 1.6.4 Varianza
- 47 1.6.5 Pratica su cenni di statistica
- 48 1.6.6 Esercizi di statistica
71 1.2 Unit 1 - Numero di sequenze
72 1.2.1 Imparare a contare
73 Quanti sono gli anagrammi della parola ‘calcolatrice’? In quanti modi si possono allineare
74 10 persone? Quante strette di mano occorrono fra 20 persone? Quanti sottoinsiemi da 3
75 elementi si possono estrarre da un insieme di 5 elementi? In quanti modi diversi si possono
76 mettere 2 oggetti in 3 scatole? In quanti modi diversi si puó ottenere 9 lanciando tre dadi?
77 Sono tutti problemi di ‘conteggio’: si tratta cioé di contare un certo numero di con-
78 figurazioni. La formulazione di questi problemi é semplice e, in linea di principio, anche
79 la loro soluzione é semplice: sarebbe sufficiente scrivere tutte le configurazioni e poi con-
80 tarle. Ma elencare tutte le configurazioni esige una strategia non sempre evidente; inoltre
81 l’enumerazione di tutti i casi puó esigere tempi enormi; per esempio 10 persone si possono
82 allineare in 3. 628. 800 modi differenti: se impiegassimo 1 secondo (uno soltanto!) a scrivere
83 un allineamento, per elencarli tutti impiegheremmo, senza fermarci un istante, 42 giorni.
84 Dobbiamo perció trovare una ‘strada maestra’ per affrontare questi problemi. Non abbiamo
85 certo la pretesa di risolvere qualunque problema di conteggio: ve ne sono di davvero difficili;
86 ne vedremo alcuni classici.
87 Lo scopo di questo capitolo é dunque quello di dare una prima infarinatura sulle tecniche
88 per imparare a contare. Vogliamo avere a disposizione strumenti che ci permettano in modo
89 rapido ed efficiente di dire, ad esempio, quanti sono i numeri di tre cifre che si possono
90 formare con le dieci cifre arabe (che puó essere la combinazione di una cassaforte), quanti
91 sono i possibili esiti di due lanci consecutivi di un dado (non truccato!), in quanti modi
92 possono disporsi tre persone su tre posti adiacenti su un aereo,...
93 Problemi concreti in cui é indispensabile saper contare in modo efficiente sono all’ordine
94 del giorno, e sorgono in qualsiasi contesto. Ad esempio, in molti modelli fisici, chimici,
95 ingegneristici si puó parlare realisticamente solo di insiemi finiti di oggetti che interagiscono
96 in combinazione tra loro, e allora é necessario poter contare i modi in cui tali oggetti possono
97 essere raggruppati oppure ordinati secondo determinate regole.
98 é quindi indispensabile avere a disposizione una terminologia adeguata e che sia facilmente
99 adattabile a descrivere il maggior numero di situazioni possibile, e delle tecniche e degli
100 strumenti di calcolo efficienti.
101 Lo scopo dell’analisi combinatoria o calcolo combinatorio é quello di fornire gli
102 strumenti per determinare il numero di elementi (cardinalitá) di insiemi finiti.
103 Potremmo quindi in un certo senso dire che il calcolo combinatorio é quella disciplina che
104 permette di ‘contare senza contare’ (nel senso, senza dover ‘a mano’ contare uno ad uno tutti
105 gli oggetti che ci interessano). Molti dei risultati che si ottengono in questo campo sono utili
106 in altri campi della matematica, in particolare nell’approccio al calcolo delle probabilitá.
107 Quando si parla di contare, ci stiamo chiaramente riferendo a degli oggetti che abbiamo
108 ben identificato e distinto, ovvero elementi di un insieme (finito). Riconosciamo quindi che
109 il linguaggio piú adatto é quello degli insiemi, che abbiamo richiamato all’inizio del precorso.
110 é necessario peró introdurre pochi altri essenziali concetti di riferimento, che basteranno alla
111 nostra trattazione.
112 1.2.2 Richiami di teoria degli insiemi
113 Richiamiamo brevemente, per completezza, gli elementi della teoria degli insiemi utili
114 all’interno di questo capitolo. In questo capitolo trattiamo solo di insiemi finiti.
115 Il concetto di insieme é considerato un concetto primitivo cosí come quello di elemento di
116 un insieme [3]. Sinonimi della parola insieme sono aggregato, classe, famiglia, collezione,
117 ecc.
118 In pratica, un insieme é determinato ogni qual volta é possibile decidere, comunque dato
119 un oggetto, se esso appartiene o meno all’insieme. Indicheremo gli insiemi con lettere latine
120 maiuscole (A, B,... ). Un insieme é formato da elementi, oppure é l’insieme vuoto (indicato
121 con il simbolo ∅) se é privo di elementi.
122 Richiamo di seguito alcuni fatti sugli insiemi che ci saranno utili in questo capitolo.
123 − Due insiemi si dicono uguali se e solo se contengono gli stessi elementi. Gli elementi di
124 un insieme (a meno che non siano espliciti) solitamente sono indicati con delle lettere
125 latine minuscole (a, b,... ). Per dire che un elemento a appartiene all’insieme A si
126 scrive a ∈ A.
127 − Se un insieme é finito, allora lo si puó descrivere elencandone gli elementi. Ad esempio,
128 l’insieme A dei naturali minori o uguali a 3 si puó indicare con A = { 0 , 1 , 2 , 3 }.
129 Altrimenti, possiamo descrivere in generale un insieme tramite le proprietá che sono
130 soddisfatte solo dai suoi elementi. Ad esempio A = {n ∈ N : n ≤ 3 }. Quando si usa
131 una proprietá per identificare gli elementi di un dato insieme, occorre specificare quello
132 che é l’insieme universo, per evitare il Paradosso di Russell o del barbiere [10].
133 − Dati due insiemi A, B, diremo che A é un sottoinsieme di B e scriveremo A ⊆ B se
134 ogni elemento di A é anche elemento di B, ovvero a ∈ A ⇒ a ∈ B.
135 − Dati due insiemi A, B, si definisce l’intersezione di A con B e la si indica con il simbolo
136 A ∩ B, l’insieme A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}, mentre l’unione di A con B, la si
137 indica con il simbolo A ∪ B, e reppresenta l’insieme A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
138 − Dati due insiemi A, B, la differenza di A con B si indica con il simbolo A \ B ed é
139 l’insieme A \ B = {x ∈ A : x ̸∈ B}.
140 − Dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A, indicato con P(A), l’insieme
141 di tutti i possibili sottoinsiemi di A.
142 − Dati due insiemi A, B, il prodotto cartesiano di A per B si indica con il simbolo A × B
143 ed é l’insieme A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}, ovvero l’insieme delle coppie ordinate
144 (a, b) con a ∈ A, b ∈ B.
145 − Dati n insiemi A 1 ,... , An, il loro prodotto cartesiano si indica con il simbolo A 1 ×
146... × An ed é l’insieme
147 A 1 ×... × An = {(a 1 ,... , an) : a 1 ∈ A 1 ,... , an ∈ An} ,
148 ovvero l’insieme delle n-uple ordinate (a 1 ,... , an) con ai ∈ Ai, i = 1,... , n.
187 Per esempio, supponiamo che A = { 1 , 2 , 3 , 4 } e consideriamo l’estrazione in successione
188 di tre numeri che poi rinseriamo nel sacchetto dei numeri. Dunque le terne ordinate che
189 possiamo formare sono: (1, 2 , 3), (1, 2 , 4), (1, 3 , 2), (1, 3 , 4), (1, 4 , 2), (1, 4 , 3), (2, 1 , 3), (2, 1 , 4),
190 (2, 3 , 1), (2, 3 , 4),
191 In simboli, dall’insieme A abbiamo costruito un altro insieme B, formato da triple ordinate
192 nella seguente maniera. Indica con Ai l’insieme A privato dell’elemento i , cioé
193 Ai = A \ {i}
194 dunque risulta
195 B = A × Ai × (Ai)j
196 dove
197 (Ai)j = Ai \ {j} = A \ ({i} ∪ {j}) = A \ ({i, j})
198 pertanto il numero delle terne ordinate é dato dalla cardinalitá dell’insieme B, cioé
|B| = |A| · |Ai| · |(Ai)j | = |A| · (|A| − 1) · (|A| − 2)
= 90 · 89 · 88
199
200 1.2.4 Etichettatura di un insieme finito
201 Come abbiamo accennato nell’introduzione, avremo a che fare sempre con insiemi finiti
202 di oggetti. Non sempre, come nel precedente caso della tombola, i nostri insiemi saranno
203 composti da numeri. é peró sempre possibile, dato un qualsiasi insieme X di n elementi,
204 associare ad ogni elemento di X un numero da 1 a n, cioé stabilire una corrispondenza
205 biunivoca tra l’insieme X e l’insieme In, identificando cosí l’insieme X con l’insieme
206 In = { 1 ,... , n} ,
207 con n ∈ N, n ≥ 1. Questa procedura, nota come etichettatura dell’insieme X, ci permette
208 di trattare con maggior semplicitá gli elementi di X. Porremo anche I 0 = ∅.
209 1.2.5 Principio di moltiplicazione
210 Diciamo che un insieme X soddisfa alle ipotesi del principio di moltiplicazione o principio
211 fondamentale del calcolo combinatorio, se:
212 (i) È possibile ottenere ciascuno dei suoi elementi come risultato di una procedura com-
213 posta da k fasi successive, dove nella prima fase si possono avere m 1 possibili esiti,
214 nella seconda fase si possono avere sempre m 2 possibili esiti qualsiasi sia stato l’esito
215 della prima fase, e cosí via sino alla k-esima fase nella quale si possono avere sempre
216 mk possibili esiti qualsiasi sia stato l’esito delle fasi precedenti;
217 (ii) Se ad una fase intermedia si sono ottenuti due esiti distinti, allora la procedura conduce
218 ad elementi distinti di X.
219 Osserva che la ipotesi (ii) afferma che, dato un elemento di X, é possibile determinare
220 univocamente tutti gli esiti delle fasi che sono state necessarie alla sua costruzione.
221 Proposizione 1.2.1. Dato un insime finito X, se l’insieme X soddisfa alle ipotesi del
222 principio di moltiplicazione, allora la sua cardinalitá é data da: |X| = m 1 · m 2 ·... · mk.
223 Diamo ora un esempio di insieme che soddisfa tale principio.
224 Proposizione 1.2.2. Siano Xi, i = 1,... , n, insiemi finiti con cardinalitá mi, rispettiva-
225 mente. Il prodotto cartesiano X = X 1 × X 2 ×... × Xk soddisfa le ipotesi del principio di
226 moltiplicazione.
227 Proof. Ogni elemento (x 1 , x 2 ,.. .) di X si ottiene scegliendo nella prima fase x 1 in X 1 , nella
228 seconda fase x 2 in X 2 e cosí via.
229 Dunque, come conseguenza del suddetto principio, essendoci m 1 possibilitá per x 1 , m 2
230 possibilitá per x 2 , e cosí via, si ha quindi che la cardinalitá del prodotto cartesiano é data
231 da
232 |X| = m 1 · m 2 ·,... · mk.
233 Esempio 1.2.1. Se vi sono tre strade diffeenti per andare dalla cittá A alla cittá B e vi sono
234 cinque strade diverse per andare dalla cittá B alla cittá C, allora vi sono 15 strade diverse
235 per andare dalla cittá A alla cittá C [1, page 249].
236 Esempio 1.2.2. Calcoliamo il numero di coppie ordinate (a, b) contenenti un numero primo
237 ed uno non primo compresi tra 1 ed 8.
238 Soluzione: Traduciamo il problema in termini combinatori ed applichiamo il principio
239 di moltiplicazione. I numeri primi tra 1 ed 8 sono { 2 , 3 , 5 , 7 }, mentre i numeri non primi
240 tra 1 ed 8 sono { 1 , 4 , 6 , 8 }. Nella prima fase scegliamo come primo elemento della coppia
241 ordinata un qualsiasi elemento di I 8 : 8 possibilitá. Nella seconda fase scegliamo il secondo
242 elemento della coppia ordinata; se il primo elemento era un numero primo dobbiamo scegliere
243 un numero in { 1 , 4 , 6 , 8 }, altrimenti dobbiamo scegliere un numero in { 2 , 3 , 5 , 7 }. In ogni
244 caso vi sono 4 possibilitá. Data una coppia ordinata composta da un numero primo e da
245 uno non primo compresi tra 1 e 8 risaliamo facilmente al numero scelto nella prima fase (la
246 prima componente della coppia) e a quello scelto nella seconda fase (la seconda componente
247 della coppia).
248 Le ipotesi del principio di moltiplicazione sono soddisfatte, per cui il numero di coppie
249 cercate é 8 · 4 = 32, ovvero ci sono 32 coppie ordinate formate da un elemento primo ed uno
250 non primo tra 1 ed 8.
251 1.2.6 Il concetto di k-sequenza di In (disposizioni di n elementi di
252 classe k)
253 Siano n, k ∈ N due numeri naturali qualunque. Definiamo in questa sezione le k-
254 sequenze di In o anche dette disposizioni di n elementi presi k alla volta, o dis-
255 posizioni di n elementi di classe k.
256 Ricorda che il simbolo In indica l’insieme In = { 1 , 2 ,... , n}.
293 cioé
294 |In × In− 1 × In− 2 | = n · (n − 1) · (n − 2) ,
295 mentre nel secondo caso é il numero di elementi dell’insieme
296 In × In × In
297 cioé
|In × In × In| = n · ·n · n = n
3
299 Con riferimento all’esempio precedente, nel primo caso, notiamo che
300 (a 1 , a 2 , a 3 ) ∈ In × (In \ {a 1 }) × (In \ {a 1 , a 2 })
301 per cui a 1 puó essere scelto tra tutti gli n numeri, cioé in In; poi osserviamo che a 2 puó essere
302 scelto tra tutti gli n numeri tranne a 1 , cioé tra tutti gli elementi dell’insieme (In \ {a 1 }),
303 mentre a 3 puó essere scelto tra tutti gli n numeri tranne a 1 e a 2 , cioé tra tutti gli elementi
304 dell’insieme (In {a 1 , a 2 }). In questo prodotto cartesiano il secondo e terzo fattore dipendono
305 dalla scelta delle componenti precedenti, peró la loro cardinalitá non cambia, infatti |In| = n,
306 |(In \ {a 1 })| = n − 1 , mentre |(In \ {a 1 , a 2 })| = n − 2. Quindi
307 |In × (In \ {a 1 }) × (In \ {a 1 , a 2 })| = n · (n − 1) · (n − 2)
308 é il numero dei possibili esiti dell’estrazione senza reimmissione.
309 Nel secondo caso, dobbiamo contare tutte le 3 -sequenze di In, ovvero tutti gli elementi di
310 In × In × In. Ma queste sono per l’appunto la cardinalitá di In × In × In, cioé
|In × In × In| = n
3
312 1.2.8 Calcolo delle k-sequenze di In con ripetizioni (disposizioni con
313 ripetizioni)
314 Abbiamo visto che il principio di moltiplicazione ben si adatta ad essere applicato per
315 contare il numero delle k-sequenze di In (con o senza ripetizioni).
316 Se ammettiamo ripetizioni e quindi vogliamo contare tutte le k-sequenze di In, allora
317 abbiamo che:
318 Proposizione 1.2.3. Siano n, k ∈ N. Il numero delle k-sequenze di In é nk.
319 Proof. La dimostrazione di questo risultato é un’osservazione immediata. Se k = 0, l’unica
320 0 -sequenza di In é quella ‘vuota’, quindi la cardinalitá di questo insieme é n^0 = 1 e la formula
321 é vera. Se invece k ≥ 1 , una k-sequenza di In é una k-upla (x 1 ,... , xk) con xi ∈ In, quindi
l’insieme di tutte le k-sequenze di In non é altro che In ×... × In | {z } k volte
322 , e quindi ha cardinalitá
323 nk.
324 Esempio 1.2.5. Siano Im = { 1 ,... , m} ed In = { 1 ,... , n}. Una funzione f : In → Im é
325 una regola che associa ad ogni elemento i di In uno ed un solo elemento f (i) di Im. Contiamo
326 quante sono tutte le possibili funzioni da In ad Im.
327 Soluzione: Il risultato é immediato una volta che si é capito che le funzioni da In ad Im
328 si possono identificare con le n-sequenze di Im. Infatti possiamo descrivere una funzione
329 f : In → Im come la n-upla (f (1),... , f (n)). Infatti ogni funzione f : In → Im é
330 univocamente determinata dai valori che essa assume sugli elementi di In. In conclusione,
331 il numero totale di funzioni da In ad Im é il numero delle n-sequenze di Im con ripetizioni,
332 quindi é dato da mn.
333 1.2.9 Il fattoriale
334 Prima di dare la formula per contare le k-sequenze di In senza ripetizioni, introduciamo
335 il concetto di fattoriale di un numero naturale che é definito nel seguente modo.
336 Definizione 1.2.2. Sia n ∈ N. Allora il fattoriale di n é
n! =
n · (n − 1) · (n − 2) ·... · 2 · 1 se n = 1 ,
1 , se n = 0.
338 1.2.10 Calcolo delle k-sequenze senza ripetizioni (disposizioni sem-
339 plici)
340 Possiamo ora dare la formula che permette di calcolare il numero di k-sequenze di In
341 senza ripetizioni, ovvero il numero di k-sequenze di elementi distinti di In o disposizioni
342 semplici degli elementi di In. presi k alla volta, con k ≤ n.
343 Proposizione 1.2.4. Siano n, k ∈ N. Allora il numero di k-sequenze di In senza ripe-
344 tizioni, ossia il numero delle disposizioni semplici di n elementi presi k alla volta, é
n!
(n − k)!
, se k ≤ n ,
0 , se k > n.
345
346 1.2.11 Esempi di k-sequenze senza ripetizioni di In
347 Esempio 1.2.6. Calcoliamo quanti sono i numeri di 4 cifre distinte che si possono formare
348 con le cifre 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6.
349 Soluzione: Notiamo che un numero di 4 cifre puó essere identificato con una 4 -upla
350 (quadrupla) ordinata (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) delle sue cifre, inoltre vogliamo che ciascuna cifra ai
351 sia un elemento di I 6 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } e che tutte le cifre siano distinte. Riconosciamo
352 subito che il numero che vogliamo trovare coincide con la cardinalitá dell’insieme delle 4 -
353 sequenze di I 6 senza ripetizioni, ovvero usando Proposizione 1.2.4, abbiamo
389 1.3 Unit 2 - Numero di insiemi
390 1.3.1 Il coefficiente binomiale
391 Diamo la definizione di (coefficiente) binomiale di n su k, con n, k ∈ N, k ≤ n.
392 Definizione 1.3.1. Siano n, k ∈ N. Il coefficiente binomiale n su k é definito come
n
k
n!
k! · (n − k)!
, se k ≤ n ,
0 se k > n ,
1 se k = 0.
394 Si ha
n
396 dato che si conviene di attribuire il valore 1 al simbolo 0!.
397 Considera k ≤ n, siccome dalla definizione (1.2.1) di fattoriale risulta
n! = n·(n−1)·.. .·(n−k +1)·(n − k) · (n − k − 1) ·... · 1 | {z } (n−k)!
= n·(n−1)·.. .·(n−k +1)·(n−k)!
399 sostituendo (1.3.2) nell’espressione (1.3.1) del coefficiente binomiale, si ha che quest’ultimo
400 é anche uguale a
n
k
n · (n − 1) ·... · (n − k + 1) · (n − k)!
k! · (n − k)!
n · (n − 1) ·... · (n − k + 1)
k!
402 Dalla definizione del coefficiente binomiale (1.3.1), siccome a denominatore compare k! · (n −
403 k)!, se cambiamo il ruolo di k con n − k é immediato verificare che risulta
n
k
n
n − k
405 Il coefficiente binomiale verifica anche la seguente propietá.
406 Proposizione 1.3.1. Se 1 ≤ k ≤ n sono due numeri naturali, vale la seguente formula:
n
k
n − 1
k − 1
n − 1
k
408 Si tratta di una importante formula ricorsiva che permette di calcolare un coefficiente
409 binomiale con ‘n in alto’ noti i coefficienti binomiali con ‘n − 1 in alto’. Questa formula sta
410 alla base della costruzione del triangolo di Tartaglia che vedremo nella Sezione 1.3.6 insieme
411 al binomio di Newton.
412 Proof. La dimostrazione di questa formula non é difficile se uno ricorda l’interpretazione
combinatorica del binomiale. Il numero
n
k
413 conta in quanti modi posso scegliere k numeri
414 distinti in In = { 1 , 2 ,... , n}, ovvero conta i sottoinsiemi di In contenenti k elementi.
415 Per trovare questo stesso numero, posso prima contare i sottoinsiemi di In contenenti
416 k elementi contenenti, per esempio, il numero 1 e poi quelli che invece non contengono il
417 numero 1 e sommare le due quantitá.
418 I primi si ottengono aggiungendo al numero 1 altri k − 1 elementi scelti tra gli n−1 numeri
419 2 , 3 ,... , n; in tutto sono pertanto tanti quante sono le possibili scelte di k − 1 tra n − 1
elementi, ovvero
n − 1
k − 1
421 I secondi invece, non dovendo contenere il numero 1 , si ottengono scegliendo k numeri
422 tra 2 , 3 ,... , n; in tutto sono pertanto tanti quante sono le possibili scelte di k elementi tra
n − 1 elementi, ovvero
n − 1
k
- Si ha cosí l’uguaglianza desiderata.
424 1.3.2 Numero di sottoinsiemi (combinazioni semplici)
425 Finora abbiamo considerato k-sequenze di In, ovvero k-uple (kappuple) ordinate di
426 elementi di In quando k ≤ n dette anche disposizioni semplici di elementi di In di classe k o
elementi del prodotto cartesiano (In)
k = In ×... In | {z } k volte
428 Vogliamo contare ora il numero di sottoinsiemi di k elementi di In che nel calcolo combi-
429 natorio sono anche chiamate combinazioni semplici o combinazioni senza ripetizioni
430 degli elementi di In presi k alla volta.
431 Diciamo subito che nel caso delle combinazioni, l’ordine non ha piú importanza. Ad esem-
432 pio, se consideriamo l’insieme I 3 = { 1 , 2 , 3 }, il sottoinsieme { 1 , 2 } coincide col sottoinsieme
433 { 2 , 1 }. Essi hanno gli stessi elementi.
434 Quando parliamo di sottoinsiemi, essi sono caratterizzati esclusivamente dagli elementi
435 che vi appartengono, non dall’ordine con cui questi compaiono in una loro eventuale de-
436 scrizione. Quindi due combinazioni semplici sono diverse se differsicono per almeno un
437 elemento. Dunque,a differenza delle disposizioni, sono considerate uguali due combinazioni
438 che differiscono solo per l’ordine con cui sono disposti gli elementi.
439 Diamo ora la formula che permette di calcolare le combinazioni semplici di n elementi
440 presi k alla volta.
441 Proposizione 1.3.2. Siano n, k ∈ N, con k ≤ n. Il numero di sottoinsiemi di k elementi
442 di In, cioé il numero di combinazioni semplici di elementi di In presi k alla volta, é uguale a
n
k
444 Osservazione 1.3.1. Notiamo che il risultato é stato enunciato per sottoinsiemi di k ele-
445 menti di In ma chiaramente si applica a qualsiasi sottoinsieme di k elementi di un insieme
446 X di n elementi: é sufficiente identificare l’insieme X con l’insieme In etichettando ciascun
447 elemento di X con un numero da 1 ad n.
482 possibili combinazioni risulta dunque datao da, per k = 4, n = 3
484 Tutte le possibili combinazioni sono infatti
{F F F F }, {F F F L}, {F F F B}, {F F BB}, {F F LL} ,
{F F BL}, {F BBB}, {F BBL}, {F LLL}, {F LLB} ,
{BBBB}, {BBBL}, {BBLL}, {BLLL}, {LLLL}.
485
486 1.3.4 Esempi
487 Esempio 1.3.1. Calcoliamo i sottoinsiemi con 3 elementi di I 6.
488 Soluzione: In questo caso la soluzione é un’immediata applicazione della formula riso-
489 lutiva. Stiamo cercando tutte le possibili combinazioni degli elementi di I 6 formati da tre
490 elementi distinti. Si tratta dunque del numero di tutte le combinazioni semplici di n = 6
491 elementi di classe k = 3. Il numero cercato é dunque ottenuto applicando la formula (1.3.4)
493 Esempio 1.3.2. Calcoliamo il numero di partite giocate nella fase a gironi dei Mondiali di
494 calcio, sapendo che in totale ci sono 32 squadre divise in 8 gironi da 4 squadre ed in ogni
495 girone una squadra deve giocare con le restanti tre una sola volta.
496 Soluzione: Il numero di partite cercato é chiaramente otto volte il numero di partite
497 disputate in ogni girone. Possiamo identificare l’insieme delle quattro squadre all’interno di
498 un girone con I 4 , ed una partita tra due squadre con un sottoinsieme di due elementi di I 4.
499 Per cui il numero di partite disputate in un girone é il numero di sottoinsiemi di 2 elementi
di I 4 , ovvero
500 = 6. Il numero totale di partite nella fase a gironi é quindi 6 · 8 = 48.
501 Esempio 1.3.3. In un negozio di abbigliamento ci sono cinque tipi di jeans, sette tipi di
502 camicie e quattro tipi di giacche. Col budget a disposizione possiamo acquistare solo due
503 differenti capi di abbigliamento (o un jeans e una camicia, o un jeans e una giacca, o una
504 giacca e una camicia). In quanti modi é possibile farlo?
505 Soluzione: Consideriamo l’insieme X di tutte le possibili coppie che possiamo formare
506 con due capi di abbigliamento distinti. Notiamo che X = X 1 ∪ X 2 ∪ X 3 , dove X 1 é l’insieme
507 di tutte le possibili coppie jeans–camicia, X 2 é l’insieme di tutte le possibili coppie jeans–
508 giacca, ed X 3 é l’insieme di tutte le possibili coppie giacca–camicia. Chiaramente i tre insiemi
509 sono disgiunti (una coppia giacca–camicia non puó essere ad esempio anche in X 2 , ovvero
510 l’insieme delle coppie jeans–giacca). Per cui si ha
511 |X| = |X 1 | + |X 2 | + |X 3 |
512 quindi, il numero totale delle possibili coppie é dato dalla somma del numero di ciascun tipo
513 di coppia.
514 Contiamo quindi la cardinalitá degli insiemi X 1 , X 2 , X 3. Identifichiamo l’insieme dei tipi
515 di jeans con I 5 , quello dei tipi di camicie con I 7 e quello dei tipi di giacche con I 4. Per
516 quanto riguarda X 1 , esso puó essere identificato con l’insieme delle coppie (a, b) con a ∈ I 5
517 e b ∈ I 7 , quindi X 1 = I 5 × I 7 e quindi |X 1 | = 35 (essendo X 1 un prodotto cartesiano, il
518 principio di moltiplicazione vale). Analogamente, |X 2 | = 20 e |X 3 | = 28. In conclusione
519 |X| = 35 + 20 + 28 = 83.
520 Esempio 1.3.4. Calcoliamo il numero di cinquine disgiunte che si possono formare coi 90
521 numeri del lotto, dove due cinquine sono disgiunte se non hanno numeri in comune.
522 Soluzione: Il problema consiste nel determinare il numero di sottoinsiemi di I 90 con 5
523 elementi: infatti l’ordine con cui gli elementi sono disposti non conta. Questo numero é dato
da
525 Esempio 1.3.5. Ad una gara partecipano 30 concorrenti. Calcoliamo le possibili terne dei
526 primi tre classificati.
527 Soluzione: Riconosciamo subito che il problema consiste nel determinare le 3 -sequenze
senza ripetizioni di I 30 , che sono in numero
30! (^528) (30−3)! = 24360.
529 Esempio 1.3.6. Calcoliamo: a) quante parole di 4 lettere tutte diverse si possono formare
530 con le 21 lettere dell’alfabeto italiano; b) quante di queste parole iniziano con una consonante;
531 c) quante di queste iniziano con la sigla LE; d) quante terminano con una vocale.
532 Soluzione: Per quanto riguarda il punto a), vediamo subito che il numero cercato é
quello delle 4 -sequenze di I 21 senza ripetizioni, ovvero
21! (^533) 17! = 143640.
534 Per quanto riguarda il punto b), notiamo che abbiamo 16 consonanti, quindi 16 scelte per
535 la prima lettera. La seconda lettera puó essere scelta tra le restanti 20 lettere (e sono sempre
536 20 , comunque sia stata scelta la prima). La terza, tra le restanti 19 , la quarta tra le restanti
537 18. Il principio di moltiplicazione si applica ed il numero richiesto é 16 · 20 · 19 · 18 = 109440.
538 Per quanto riguarda il punto c), notiamo che le prime due lettere sono fissate, quindi
539 dobbiamo contare il numero di parole di due lettere distinte che é possibile formare con le
restanti 19 lettere, ovvero il numero di 2 -sequenze di I 19 , cioé
19! (^540) 17! = 342.
541 Infine, per quanto riguarda d), abbiamo cinque scelte per l’ultima lettera. Una volta
542 fissata questa lettera, le restanti tre devono essere scelte tra le restanti 20 lettere ed essere
distinte, quindi sono tante quante le 3 -sequenze di I 20 , cioé 20! 17!
543 = 6840. In totale quindi
544 5 · 6840 = 34200 modi.
545 Esempio 1.3.7. Calcola tutte le combinazioni con ripetizione di classe 2 degli elementi
546 dell’insieme A = {a, b, c, d}.
547 Soluzione: Si tratta di tutte le possibili combinazioni degli elelemnti di A (con n = 4)
548 a gruppi di k = 2. Tale numero é dato calcolando il coefficiente binomiale di n + k − 1 =
549 4 + 2 − 1 = 5 su k = 2, cioé
589 (v) Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme con n elementi?
590 Esercizio 1.3.2. Calcola quanti monomi di grado 4 nelle 3 indeterminate x, y, z si possono
591 avere.
592 1.3.6 Il triangolo di Tartaglia-Pascal e il binomio di Newton
593 Si chiama triangolo di Tartaglia–Pascal il seguente triangolo
0
0
594
595 Il triangolo di Tartaglia-Pascal visualizza, per ogni n = 0, 1 , 2 , 3 ,... che identifica le
596 diverse linee orizzontali del triangolo con la linea n = 0 essendo il vertice del triangolo, i
597 seguenti coefficienti binomiali
n
0
n
1
n
n
599 Osserviamo che:
− I valori
n
0
e
n
n
600 sui due lati obliqui sono tutti uguali a 1.
601 − Ogni numero naturale diverso da 1 di una qualsiasi linea orizzontale dato da
n
k
602
603 é uguale alla somma dei due numeri scritti alla sua sinistra e alla sua destra nella linea
604 orizzontale precedente, dato che
n
k
n − 1
k − 1
n − 1
k
− Dato che
n
k
n
n − k
606 , il triangolo é simmetrico rispetto alla linea verticale pas-
607 sante per il suo vertice.
608 Sostituendo via via ai vari coefficenti binomiali il loro corrispondente valore, si ottiene il
609 triangolo
610
611 La rilevanza del triangolo di Trataglia-Pascal sta nel fatto che fornisce i coefficienti dello
612 sviluppo del binomio di Newton (a + b)n^ con n ∈ N. Abbiamo infatti il seguente risultato.
613 Proposizione 1.3.4. Se a, b sono due numeri (naturali, reali, complessi, monomi, polinomi,
614... ) e n ∈ N, vale la relazione
(a + b)
n
n
0
a
n
n
1
a
n− 1 b +
n
2
a
n− 2 b
2 +... +
n
n
b
n
X^ n
k=
n
k
a
n−k b
k
- (1.3.5)
616 Tale sviluppo fornisce un polinomio completo, omogeneo di grado n, con n + 1 termini
617 in a e b ordinati secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti sono
618 ordinatamente i coefficienti binomiali per n = 0, 1 , 2 , ldost.
619 1.3.7 Pratica sul triangolo di Tartaglia–Pascal e binomio di Newton
620 Esercizio 1.3.3. Calcolare prima utilizzando la definizione e poi il triangolo di Tartaglia–
621 Pascal il valore numerico del coefficiente binomiale
622
623 Esercizio 1.3.4. Sapendo che
x + y = 3
x · y = 3
624
calcola quanto vale x
3
3
626 1.3.8 Esercizi di riepilogo sul Calcolo delle Combinazioni
627 Esercizio 1.3.5. Dato un insieme finito A con n elementi, mostra che il numero di tutti i
628 sottoinsiemi di A é 2 n, cioé |P(A)| = 2n.
629 Suggerimento: Il numero di sottoinsiemi di A é dato dalla somma di: tutti i sottoinsiemi di
630 A con zero elementi (che é solo l’insieme vuoto); tutti i sottoinsiemi di A con un solo elemento;
631 di trutti i sottoinsiemi di A con due elementi; cioé dalla somam di tutti i sottoinsiemi di A
