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1 Applicazioni lineari
1 Applicazioni lineari
1.1 Definizione
Si considerino lo spazio tridimensionale euclideo E e lo spazio vettoriale V ad esso associato.
Definizione. 1.1. Sia A una applicazione di V in sé
A : V → V
che ad ogni vettore u ∈ V associa il suo trasformato (o immagine) v = A(u):
A : u 7 → v ∈ V.
A è detta lineare se, per ogni coppia di vettori u 1 , u 2 e di scalari λ 1 , λ 2 , si ha
A(λ 1 u 1 + λ 2 u 2 ) = λ 1 A(u 1 ) + λ 2 A(u 2 )
figura 1.
Nel seguito si indicherà con Au := A(u) e con Lin(V) l’insieme delle applicazioni lineari di V in V. Si osservi che per un’applicazione lineare A si ha
A(λe) = λAe per ogni λ ∈ IR ;
in altri termini A trasforma vettori tra loro paralleli in vettori tra loro ancora paralleli (figura 1.2). In particolare, per λ = 0 si ha
A0 = 0 ,
cioé A trasforma il vettore nullo in se stesso.
1 Applicazioni lineari 1.1 Definizione
figura 1.
Particolari applicazioni lineari sono l’applicazione identità I e l’applicazione nulla O così definite:
Iu = u per ogni u ∈ V
Ou = 0 per ogni u ∈ V.
Siano date due applicazioni lineari A e B di V in sè, ed un numero reale α. Si definiscono le seguenti applicazioni lineari:
(A + B)u = Au + Bu per ogni u ∈ V ;
(αA)u = α(Au) per ogni u ∈ V ;
- prodotto di composizione di A e B:
(AB)u = A(Bu) per ogni u ∈ V ;
si osservi che in generale AB 6 = BA.
È possibile mostrare che l’insieme delle applicazioni lineari Lin(V), con le prime due operazioni introdotte, è uno spazio vettoriale.
1 Applicazioni lineari 1.3 Componenti cartesiane
figura 1.
1.3 Componenti cartesiane
Si consideri un riferimento cartesiano { 0 ; e 1 , e 2 , e 3 }, ove (e 1 , e 2 , e 3 ) è una terna destra di versori mtuamente ortogonali. È possibile definire le componenti di un’applicazione lineare. Data un’appicazione lineare A, si considerino i vettori trasformati degli elementi della base
Ae 1 , Ae 2 , Ae 3.
Si definiscono componenti di A le componenti di tali vettori, per le quali si utilizza la seguente notazione:
Ae 1 = (A 11 , A 21 , A 31 ) Ae 2 = (A 12 , A 22 , A 32 ) Ae 3 = (A 13 , A 23 , A 33 ).
In maniera compatta si può scrivere Aij = ei · Aej. È possibile ordinare le nove componenti nella matrice delle componenti indicata con [A]
[A] =
A 11
A 21
A 31
A 12
A 22
A 32
A 13
A 23
A 33
Ae 1 Ae 2 Ae 3
1 Applicazioni lineari 1.4 Trasposta
La conoscenza di [A] consente di determinare le componenti del vettore v = Au immagine del generico vettore u. Indicate con (u 1 , u 2 , u 3 ) le componenti di u si ha
u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3.
Per la linearità di A si ha
v = Au = u 1 Ae 1 + u 2 Ae 2 + u 3 Ae 3 ,
da cui
v 1 = v · e 1 = u 1 Ae 1 · e 1 + u 2 Ae 2 · e 1 + u 3 Ae 3 · e 1 = = u 1 A 11 + u 2 A 12 + u 3 A 13 v 2 = v · e 2 = u 1 A 21 + u 2 A 22 + u 3 A 23 v 3 = v · e 3 = u 1 A 31 + u 2 A 32 + u 3 A 33 ,
ovvero, utilizzando la notazione matriciale,
v 1 v 2 v 3
A 11 A 12 A 13
A 21 A 22 A 23
A 31 A 32 A 33
u 1 u 2 u 3
In maniera compatta possiamo scrivere
vi =
∑^3
j=
Aij uj.
È facile mostrare le seguenti relazioni:
Oij = 0 , Iij = δij , (a ⊗ b)ij = aibj , i = 1, 2 , 3.
1.4 Trasposta
Per ogni applicazione lineare A, esiste un’unica applicazione AT, detta traspo- sta di A, che gode della seguente proprietà:
Au · v = ATv · u per ogni u, v ∈ V
1 Applicazioni lineari 1.6 Rotazioni
Il vettore w è detto vettore assiale dell’applicazione antisimmetrica W. Si osservi che:
- per ogni v ‖ w risulta Wv = w × v = 0 ;
- a ⊗ b − b ⊗ a è antisimmetrica, ed il vettore assiale ad essa associato è il vettore b × a;
- le applicazioni I, e ⊗ e, I − e ⊗ e sono simmetriche.
Gli insiemi delle applicazioni lineari simmetriche e antisimmetriche si de- notano rispettivamente con Sym(V) e Skw(V). Si definiscono parte simmetrica e parte antisimmetrica dell’applicazione A rispettivamente
symA =
(A + AT) , skwA =
(A − AT).
Risulta A = symA + skwA, cioé ogni applicazione si può decomporre nella somma della sua parte simmetrica e della sua parte antisimmetrica.
1.6 Rotazioni
Si consideri la seguente applicazione lineare:
R = e ⊗ e + cos ϕ(I − e ⊗ e) + sin ϕW , (1.1)
dove e è un versore (|e| = 1), ϕ ∈ [0, 2 π[, e W è l’applicazione antisimmetrica avente e per vettore assiale (Wu = e × u , per ogni u ∈ V). Poiché risulta
- (e ⊗ e)e = e;
- (I − e ⊗ e)e = 0 ;
- We = 0 ,
si ha:
Re = e. (1.2)
1 Applicazioni lineari 1.6 Rotazioni
Dalla 1.1 è facile verificare che
RRT^ = RTR = I. (1.3)
Tale relazione comporta che det R = ± 1. Si può mostrare che le rotazioni sono tutte e sole quelle che verificano la 1.3 con det R = 1. Tale insieme viene indicaro con Rot(V ). La 1.3 permette di provare che l’applicazione R preserva il prodotto scalare:
Ru · Rv = u · v per ogni u, v ∈ V. (1.4)
Infatti, utilizzando la definizione di applicazione trasposta e la 1.3, si ottiene:
Ru · Rv = RT(Ru) · v = (RTR)u · v = u · v.
Per u = v, la proprietà 1.4 assume la seguente forma:
|Ru| = |u| per ogni u ∈ V , (1.5)
cioé l’applicazione R non varia il modulo dei vettori. Infine, poiché |Rv| = |v|, dalla 1.4 si ottiene
|Ru||Rv| cos (Rû )(Rv) = |u||v| cos uv̂
⇒ cos (Rû )(Rv) = cos uv̂ ,
cioé R lascia immutato l’angolo formato da due generici vettori (figura 1.5).
figura 1.
Al fine di meglio interpretare R, identifichiamo il generico vettore u con il corrispondente segmento orientato A − O uscente da un fissato punto O
1 Applicazioni lineari 1.6 Rotazioni
di rotazione. Si ha:
Re 1 = cos ϕe 1 + sin ϕe 2 Re 2 = − sin ϕe 1 + cos ϕe 2 Re 3 = e 3.
Pertanto, nel sistema di riferimento fissato, la matrice delle componenti di R assume la forma:
[R] =
cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1
Utilizzando la 1.7 è possibile provare la proprietà 1.3. Si considerino ora le rotazioni di ampiezza piccola. Poiché per ϕ → 0 si ha sin ϕ = ϕ + o(ϕ) e cos ϕ = 1 + o(ϕ), con o(ϕ) quantità infinitesima di ordine superiore a ϕ, si ha
R = I + ϕW + o(ϕ).
Questa espressione ci dice che quando |ϕ| 1 possiamo approssimare R nella seguente maniera:
R = I + ϕW per |ϕ| 1.
Nell’ambito di questa approssimazione, l’immagine di un vettore u perpen- dicolare all’asse di rotazione è
Ru = u + ϕWu = u + ϕe × u. (1.8)
In figura 1.7, nella quale si suppone che e sia perpendicolare al piano del fo- glio, il vettore u è rappresentato dal segmento orientato A − O. Osservando che ϕe × u = B − A, si vede come il segmento orientato B − O rappresenta l’approssimazione per |ϕ| 1 di Ru. Dal punto di vista geometrico la prece- dente relazione permette di affermare che per |ϕ| 1 è possibile approssimare l’arco AC della circonferenza di centro O e raggio |u| con il segmento tangente BA. Introducendo il vettore w = ϕe, detto vettore rotazione, è possibile scrivere
Ru = u + w × u.
1 Applicazioni lineari 1.6 Rotazioni
figura 1.
Ponendo infine W = ϕW, si ottiene la seguente formula di rappresentazione delle rotazioni infinitesime:
R = I + W , W ∈ Skw(V).
2 Vettori applicati 2.2 Sistemi di vettori applicati
figura 2.
Il vettore momento è un vettore libero; talvolta, dal punto di vista grafico, i vettori momento sono rappresentati con una freccia a doppia punta o con un arco di circonferenza orientato nel piano perpendicolare al vettore stesso (figura 2.1).
2.2 Sistemi di vettori applicati
Un sistema di vettori applicati S è un insieme (finito) di vettori applicati del tipo:
S = {(A 1 , u 1 ), (A 2 , u 2 ),... , (An, un)}.
Definizione. 2.3. Si definisce risultante del sistema di vettori applicati S il vettore (libero)
r =
∑^ n
i=
ui.
Definizione. 2.4. Si definisce momento risultante di S rispetto al polo O ∈ E il vettore (libero)
m(O) =
∑^ n
i=
(Ai − O) × ui.
L’applicazione O ∈ E 7 → m(O) è detta campo vettoriale del momento. Dalla definizione di momento risultante, con riferimento ad un polo O′, si può
2 Vettori applicati 2.2 Sistemi di vettori applicati
scrivere
m(O′) =
∑^ n
i=
(Ai − O′) × ui =
∑^ n
i=
[
(Ai − O) + (O − O′)
]
× ui =
∑^ n
i=
(Ai − O) × ui +
∑^ n
i=
(O − O′) × ui =
= m(O) + (O − O′) ×
∑^ n
i=
ui = m(O) + (O − O′) × r.
Pertanto, al variare del polo, il momento risultante varia secondo la legge
m(O′) = m(O) + r × (O′^ − O) , (2.1)
detta formula di trasposizione dei momenti. La formula appena enunciata permette di stabilire che il momento risul- tante di un sistema S di vettori applicati non dipende dal polo se e solo se ha risultante r = 0. In tal caso il campo vettoriale di m è quindi omogeneo. Un esempio significativo di sistema di vettori applicati a risultante nullo è la coppia di forze, costituita da due vettori opposti (cioè aventi la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto – figura 2.2):
S = {(A, u), (B, −u)}.
Per tale sistema si ha
r = u − u = 0
m(B) = (A − B) × u + (B − B) × u = (A − B) × u = m (cost.)
Detta b la distanza tra le due rette d’azione (tra loro parallele), si ha
|m| = b|u| ,
ove b è detto braccio della coppia. Per semplicità spesso una coppia viene rappresentata solo attraverso il suo momento.
2 Vettori applicati 2.3 Asse centrale
figura 2.
Definizione. 2.5. Si definisce asse centrale di un sistema di vettori applicati S il luogo dei punti Q ∈ E rispetto ai quali m(Q) ‖ r (cioè n(Q) = 0 e m(Q) = p).
L’asse centrale è dunque il luogo descritto dall’equazione n(Q) = 0. Utiliz- zando la formula di trasposizione dei momenti, quest’ultima equazione assume la forma:
n(Q) = m(Q) − p = [m(O) + r × (Q − O)] − p = n(O) + r × (Q − O) = 0 ,
per cui i punti cercati devono soddisfare l’equazione
r × (Q − O) = −n(O).
Ricordando che un’equazione del tipo a × x = b, con a, b ∈ V, a · b = 0, a 6 = 0 , b 6 = 0 , ha come soluzioni
x =
b × a |a|^2
si ha
(Q − O) = r × n(O) |r|^2
2 Vettori applicati 2.4 Sistemi equivalenti
L’equazione 2.3 descrive, al variare del parametro reale μ, i punti di una retta parallela ad r e passante per il punto
O = O +
r × n(O) |r|^2
= O +
r × m(O) |r|^2
Si osservi che per tutti i punti Q appartenenti all’asse centrale si ha m(Q) = p e, pertanto,
|m(Q)| = |p| <
|p|^2 + |n(O)|^2 = |m(O)| ,
dove O è un generico punto non appartenente all’asse centrale. In altri termini, l’asse centrale è l’insieme dei punti di E rispetto ai quali è minimo il modulo del momento risultante. Per tali punti m(Q) = p. Osservazione. Si consideri un punto Q appartenente all’asse centrale. Il momento risultante rispetto ad un generico polo O è dato da
m(O) = m(Q) + r × (O − Q) = p + r × (O − Q) , (2.4)
dove r × (O − Q) = n(O) è la componente perpendicolare. Alla luce di quanto visto, per studiare il campo del vettore momento è sufficiente rappresentare la legge 2.4 per tutti i punti appartenenti ad un generico piano perpendicolare ad r (figura 2.4). Il campo sarà lo stesso su tutti i piani a quest’ultimo paralleli.
2.4 Sistemi equivalenti
Definizione. 2.6. Due sistemi di vettori applicati S e S′^ si dicono equivalenti se hanno lo stesso risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad un generico polo O:
r = r′^ , m(O) = m′(O). (2.5)
In virtù della formula di trasposizione dei momenti e della 2.5, due sistemi equivalenti hanno lo stesso momento risultante rispetto a qualunque punto O′^ ∈ E. Inoltre, se r 6 = 0 , i due sistemi hanno lo stesso asse centrale.
Definizione. 2.7. Un sistema di vettori applicati S si dice equilibrato o equivalente a zero se risulta:
r = 0 , m(O) = 0 , O ∈ E. (2.6)
2 Vettori applicati 2.4 Sistemi equivalenti
La coppia {(A, u), (B, −u)} ha risultante nulla e momento risultante
m(B) = (A − B) × u = u × m |u|^2
× u = m ,
dunque è equivalente ad S.
figura 2.
⇒) Se S è equivalente ad una coppia, dalla definizione di equivalenza segue r = 0.
Proposizione. 2.2. Un sistema S di vettori applicati a risultante non nullo è equivalente ad un unico vettore applicato se e solo se ha invariante scalare nullo. In particolare il vettore equivalente (Q, r) è costituito dal risultante r applicato ad un generico punto Q dell’asse centrale. Il vettore (Q, r) è detto risultante equivalente.
Dimostrazione. ⇐) Se I = 0, detto Q un generico punto dell’asse centrale di S, il campo dei momenti è descritto dall’equazione
m(O) = p + r × (O − Q) = (O − Q) × r.
Tale equazione coincide con quella del sistema costituito dal vettore (Q, r) che ha quindi lo stesso momento risultante. Infine banalmente S e (Q, r) hanno la stessa risultante, per cui i due sistemi sono equivalenti.
2 Vettori applicati 2.5 Sistemi di vettori ad invariante scalare nullo
⇒) Se S è equivalente al vettore (Q, r), il momento risultante di S coincide con il momento di (Q, r), quindi
m(Q) = (Q − Q) × r = 0 ,
pertanto I = r · m(Q) = 0.
Proposizione. 2.3. Un sistema S di vettori applicati a risultante r non nullo è equivalente ad un sistema costituito da un vettore applicato (A, r) e da una coppia di momento m(A) pari al momento risultante di S rispetto ad A.
Infatti, il sistema
{(A, r), coppia di momento m(A)} ,
che prende il nome di sistema equivalente ad S ridotto ad A, ha risultante r e momento risultante rispetto ad A pari ad m(A), essendo nullo rispetto ad A il momento di (A, r).
2.5 Sistemi di vettori ad invariante scalare nullo
Di seguito si illustrano alcuni esempi particolarmente significativi di sistemi di vettori ad invariante scalare nullo.
2.5.1 Sistemi di vettori applicati concorrenti
Si consideri un sistema di vettori applicati concorrenti, ossia un sistema di vettori le cui rette d’azione sono concorrenti in un unico punto O (figura 2.6). Risulta
m(O) =
∑^ n
i=
(Ai − O) × ui = 0 , (2.8)
dunque I = m(O)·r = 0. Un sistema così fatto ammette risultante equivalente (O, r). Se, in particolare, risulta r 6 = 0 , dalla 2.8 si deduce che O appartiene all’asse centrale.
