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CAPITOLO 11
ELEMENTI DI TERMOFLUIDODINAMICA
In questo capitolo vengono introdotti elementi di termofluidodinamica per lo studio del moto di fluidi comprimibili in condotti. Utilizzando una rappresentazione del moto monodimensionale, viene analizzato il deflusso in condotti a regime permanente, anche in presenza di notevoli differenze di temperatura. Viene inoltre esaminato il deflusso adiabatico in condotti a sezione variabile.
11.1 Introduzione
In molti processi tecnici si realizzano scambi energetici che coinvolgono un fluido in movimento. Al moto del fluido è generalmente associato un trasferimento di energia tra i componenti del sistema energetico e tra questi e l’esterno: il fluido assume la funzione di elemento vettore di energia. In questo capitolo ci si propone di esaminare gli aspetti fondamentali della termodinamica del deflusso dei fluidi, in particolare nei condotti, e cioè di studiare le relazioni di scambio (termico e dinamico) tra il sistema e l’esterno, per un fluido in moto, in condizioni semplificate. Lo studio del moto nei condotti e dell’efflusso da aperture (luci ed ugelli) è impostato su tre equazioni di cui una esprime la conservazione della massa (continuità), un’altra esprime il principio della conservazione della quantità di moto e la terza il bilancio dell’energia. Quest’ultima può assumere due forme: una è dovuta a Bernoulli e può essere dedotta in base a ragionamenti puramente meccanici in particolari condizioni, l’altra è ottenuta considerando sia gli scambi di lavoro, sia quelli di calore, con le ipotesi già introdotte nel cap. 5. Lo studio analitico del moto dei fluidi è svolto in dettaglio dalla Meccanica dei fluidi, che tuttavia fa quasi sempre riferimento a fluidi incomprimibili. Nella Termodinamica applicata occorre invece considerare le variazioni di volume del fluido e sovente le quantità di calore scambiate con l’esterno; occorre cioè considerare le trasformazioni termodinamiche subite dal fluido.
11.2 Schematizzazione del moto ed equazioni fondamentali di conservazione
La fenomenologia del moto dei fluidi è assai complessa e può essere descritta analiticamente mediante modelli semplificati. L’approccio che verrà qui seguito ricorre ad una rappresentazione che considera un processo ideale globalmente equivalente a quello reale, pur discostandosene anche sensibilmente nei particolari. Si immagina che il moto si sviluppi mediante vene fluide o filetti di corrente , in cui sono nulle le componenti della velocità normali alla superficie laterale di contorno. Si definiscono due concetti: seguendo il moto di una particella fluida nel tempo si ottiene la traiettoria del punto-massa che la rappresenta, analizzandone il vettore velocità si definisce linea di corrente quella linea che ammette in ogni punto come tangente lo stesso vettore. Nelle condizioni del regime permanente la traiettoria coincide con la linea di corrente. Per vena fluida o filetto di corrente elementare si intende l’insieme delle traiettorie che
presentano una sezione trasversale di area minima compatibile con la esecuzione delle misure fisiche interessanti, in particolare, di velocità, pressione e temperatura. In qualunque sezione trasversale di un filetto di corrente la velocità (che è normale alla sezione stessa), la pressione, la temperatura ed il volume specifico sono supposti costanti. Il modello di riferimento è dunque monodimensionale ed assume condizioni di regime permanente termodinamico e di massa.
Considerando un filetto di corrente in regime permanente, la massa di fluido che attraversa, nell’unità di tempo, una qualunque sezione trasversale di area A è costante, si ha quindi:
wA ρ =costante (11.1)
se w è la velocità e ρ la densità del fluido. L’equazione esprime la conservazione della massa.
Con riferimento alla portata ponderale, detto γ il peso specifico, sarà:
wA γ =costante
Per due sezioni distinte 1 e 2 si avrà:
w 1 A 1 ρ 1 = w 2 A 2 ρ 2
Le relazioni sopra scritte possono applicarsi anche a vene fluide di sezione trasversale finita considerando i valori medi della velocità e della densità nella sezione generica. Infine, l’equazione di continuità (11.1) può scriversi in forma differenziale come:
ρ
d ρ A
dA w
dw (11.2)
L’equazione di conservazione della quantità di moto , nelle condizioni sopra precisate, assume una forma semplificata che può ottenersi facilmente se si considera un elemento fluido, costituito dalla massa m (compresa tra le sezioni 1 e 2) più la massa dm che attraverserà la sezione 1 nel tempo d τ. Nello stesso tempo d τ una pari massa dm attraverserà la sezione 2 e pertanto la variazione della quantità di moto dell’elemento fluido di massa m + dm risulterà uguale al prodotto della massa dm per la differenza tra le velocità nelle sezioni 1 e 2. Tale variazione della quantità di moto dovrà eguagliare l’impulso delle forze agenti sull’elemento fluido nel tempo d τ :
∑ F^ d τ^ = dm (^ w 2 − w 1 ) ovvero^ ∑ F^ = m &^ (^ w 2 − w 1 ) (11.3)
dm
m (^) m
dm
W 1 W 2
Fig. 11.1. Conservazione della quantità di moto a regime permanente.
C.V. C.V.
2
dp dw dh (^) e dha
Tra due sezioni 1 e 2 distinte, sempre nelle condizioni di regime permanente, si ha:
(^22221) 1 , 2 1 , 2 1 + − =
+ +∫ + z z
g
dp w w he ha
in cui i termini ( he ) 1 , 2 e ( ha ) 1 , 2 caratterizzano l’elemento fluido compreso tra le sezioni dette.
L’equazione caratterizzante il moto è così ridotta ad una somma di carichi differenziali , dimensionalmente lunghezze. Il carico essendo l’altezza equivalente, cioè l’altezza di una colonna di fluido in moto equilibrante la pressione differenziale che corrisponde al termine energetico (eventualmente dissipativo) o di scambio, considerato. La (11.6) è detta equazione di Bernoulli generalizzata , in notazioni differenziali; ha significato energetico in riferimento all’unità di peso del fluido defluente. I termini che in essa compaiono vengono così denominati:
- dhe carico motore e rappresenta un termine effettivo di scambio (con l’esterno);
- dha carico d’attrito , termine di dissipazione;
- γ
dp carico piezometrico (da piezometro, misuratore di pressione), corrispondente
all’effettiva variazione di pressione nel fluido;
dw 2
2 carico cinetico ;
- dz carico gravitazionale , variazione di quota effettiva.
Si noti che il termine g
dp vdp
γ
non è una energia di pressione, la sua origine è:
dH TdS dU d pv dQ TdS s
dp vdp = = − = + ( )− − ρ
contiene dunque una componente dell’energia interna termodinamica ( dU ), termini di scambio con l’esterno, termico ( dQ ) e dinamico ( d(pv) ), ed infine un termine di dissipazione.
Come già notato, le relazione di Bernoulli vale a rigore lungo le sole linee di corrente, essa è tuttavia applicata alle correnti concrete, di sezione anche notevole, considerando opportuni valori medi nella sezione generica, non soltanto per la velocità, ma anche per tutte le quantità caratteristiche dello stato del fluido p , v , T. La quota z è presa nel baricentro della sezione considerata.
11.4. Definizione operativa del carico di attrito
Si consideri un condotto a pareti rigide, di sezione costante, disposto orizzontalmente e attraversato da un fluido in regime permanente. Individuate due sezioni 1 e 2 l’equazione (11.7) fornisce:
(^22221) 1 , 2 1 =
g
dp w w ha
Se si ammette trascurabile l’effetto della variazione di pressione sul peso specifico, come nel caso di liquidi in moto ( γ = cost.), per quanto stabilito circa l’area della sezione del condotto, anche la velocità subisce variazioni trascurabili, si ha così:
1 2 ( ) 1 , 2
p p ha
Nelle condizioni poste, la caduta di pressione, misurata da un manometro differenziale, divisa per il peso specifico del fluido, fornisce il carico corrispondente all’attrito ( ha ) 1 , 2 e cioè la
quantità detta comunemente perdita di carico. La relazione tra tale grandezza e la produzione entropica è dedotta dalla definizione stessa di carico d’attrito, risulta infatti:
s (^) Tdh a
g dS =
Una interessante interpretazione dei fenomeni di attrito è offerta dalla meccanica dei fluidi. Per effetto della viscosità delle particelle fluide e dell’ aderenza di queste alle pareti del condotto, un filetto di corrente è mantenuto in moto rispetto alle rimanenti porzioni di fluido ovvero alle pareti, applicando un lavoro. Questo lavoro diviso per il volume di fluido spostato, fornisce la caduta di pressione per attrito e quest’ultima, divisa per il peso specifico del fluido, dà la perdita di carico.
11.5. Calcolo delle cadute di pressione per attrito
La caduta di pressione per attrito in un condotto rettilineo a sezione costante è normalmente riferita all’unità di lunghezza del condotto e denominata caduta di pressione (o perdita di carico) lineare. Essa risulta:
l
h l
p (^) a ∆ a
Per un tubo liscio, la caduta di pressione lineare dipende essenzialmente dalle proprietà del fluido, dalle condizioni di moto e dalla geometria del condotto. Prima di presentare le relazioni per il calcolo è opportuno richiamare alcune informazioni sulle caratteristiche dei fluidi.
11.5.1. Proprietà reologiche dei fluidi
Per descrivere il comportamento termodinamico di un fluido in moto è necessaria la conoscenza sia delle proprietà termodinamiche, sia della viscosità. Un fluido reale è infatti caratterizzato da viscosità non nulla, che può essere trascurata soltanto in condizioni del tutto particolari quando le forze di attrito sono trascurabili rispetto alle rimanenti forze in gioco. Si consideri il moto completamente sviluppato, in regime permanente e laminare, di un fluido contenuto tra due pareti piane indefinite di cui una in quiete e l’altra mantenuta in moto a
τ yx newtoniani
dw/dy
pseudo plastici dilatanti
Fig. 11.3. Proprietà reologiche dei fluidi.
Si definisce viscosità cinematica il rapporto tra la viscosità dinamica e la densità ν = μ/ ρ.
Tale grandezza ha le dimensioni di un’area divisa per un tempo.
11.5.2. Analisi dimensionale e numero di Reynolds
I risultati di esperienze analoghe a quelle descritte per la definizione operativa del carico d’attrito, suggeriscono di assumere che la caduta di pressione lineare in un condotto
rettilineo a pareti perfettamente lisce dipenda essenzialmente dalla velocità w , dalla densità ρ
e dalla viscosità μ del fluido, dalla forma e dimensioni della sezione (costante) del condotto.
Se dunque rappresentiamo i fattori geometrici con D, diametro della sezione, ed assumiamo una velocità media del fluido, si può scrivere:
f ( w , , , D ) l
p
Si assuma la funzione f sviluppabile in serie di potenze con costanti Bi :
ui xi yi z i i l Bi^ w D
p
e si applichi il criterio di omogeneità dimensionale (teorema di Buckingham). Raggruppando le potenze che hanno la stessa base in riferimento alle tre grandezze meccaniche fondamentali che intervengono, si ottengono tre equazioni nelle quattro incognite date dagli esponenti. Se si esprimono le incognite in funzione di y (^) i si ottiene:
yi yi yi y i i l Bi^ w D
p (^) − − −−
Mettendo infine in evidenza le potenze con esponente costante:
f' (Re) g D
w )
w D B ( D
w l
p (^) yi i i
2 2
con
w ρ D
Re = è stato indicato il gruppo adimensionale denominato numero di Reynolds. La
funzione f '(Re) , indicata nel seguito con λ , è detta fattore di attrito (di Darcy) nei tubi ed è
adimensionale.
11.5.3. Fattore d’attrito nei tubi
La caduta di pressione per attrito, per un condotto rettilineo di diametro D , è dunque:
a (^) D h a
l g
w
∆ p =γ λ= γ
2 (11.10)
La perdita di carico corrispondente, per un dato valore di λ, risulta pertanto proporzionale al
carico cinetico ed alla lunghezza del condotto:
D
l g
w h (^) a 2
2
Per la valutazione del fattore di attrito λ si fa riferimento ad espressioni analitiche nel caso di
moto laminare ed a formule empiriche o diagrammi nel caso di moto turbolento. Per piccole velocità e piccoli valori di Re , l’esperienza dimostra che il moto si sviluppa per filetti fluidi ben definiti e continui, tra loro paralleli (moto laminare o viscoso); nel secondo caso invece i filetti fluidi perdono definizione e continuità per effetto dei vortici. Il numero di Reynolds costituisce il criterio che consente di individuare i due distinti regimi. Il suo significato fisico può essere stabilito considerando le forze associate all’inerzia ed alla viscosità del fluido in moto. Le prime sono proporzionali alla variazione del flusso di quantità di moto, cioè al prodotto della portata per la variazione della velocità, mentre le seconde, riferite all’unità di area, sono proporzionali al prodotto della viscosità per il gradiente di velocità. Indicando con l una lunghezza significativa, il rapporto tra forze di inerzia e forze viscose risulta proporzionale a:
Re wl
l l
w
wl w = =
2
2
il numero di Reynolds può dunque essere ritenuto rappresentativo del rapporto tra le forze di inerzia e le forze viscose. Quando le forze viscose risultano prevalenti (bassi valori di Re ) il moto è laminare e diventa turbolento al prevalere delle forze di inerzia. Nel caso di condotti a sezione circolare, il fattore di attrito nel regime laminare risulta dato da:
R e
La transizione tra il regime laminare e quello turbolento si stabilisce nel campo di valori del numero di Reynolds Re compresi tra circa 2000 e 3500. Nel regime turbolento la resistenza d’attrito è fortemente influenzata dalla rugosità della
parete e di ciò si tiene conto introducendo il rapporto adimensionale ε /D in cui ε rappresenta
la scabrezza assoluta della parete del condotto. Sulla base dei risultati sperimentali ottenuti con diversi fluidi, diverse rugosità e dimensioni dei condotti, è stato costruito il diagramma di
2
g
w ∆ p = (11.14)
dove λ ’ assume valori diversi caso per caso, in funzione del tipo di singolarità.
In conclusione la totale perdita di carico per resistenze distribuite e localizzate risulta data da una relazione del tipo:
g
w D
l g
w h j i (^) i j
i i a i 2 j (^) 2
2 '
2
con wi e w (^) j valori delle velocità medie locali.
11. 6. Moti con notevoli differenze di temperatura
In numerose situazioni il moto del fluido è provocato da gradienti locali di densità, dovuti a gradienti di temperatura, che, in presenza del campo gravitazionale, danno origine a spinte di galleggiamento. Così è ad esempio per i circuiti a termosifone, per i cabinets contenenti componenti elettronici refrigerati per ventilazione naturale, in tutti i casi in cui si sviluppano moti convettivi naturali. Una applicazione dell’equazione di Bernoulli allo studio del moto dovuto a differenze di temperatura è nota come “problema del camino” che verrà affrontato a titolo esemplificativo, in forma semplificata. Si consideri un camino per lo smaltimento dei fumi prodotti in camera di combustione e si supponga che sia schematizzabile come un condotto avente un breve tratto orizzontale seguito da un tratto verticale molto più lungo. Poniamo nel tratto 1-2 la temperatura uniforme e pari Ti
mentre nella colonna esterna la temperatura è Te ; i pesi specifici corrispondenti siano γ i e γ e.
La distribuzione della temperatura presenta dunque una discontinuità all’imbocco, mentre è esclusa una discontinuità della pressione.
p 1 =pa+γeH
p 2 =pa
H
T i
γi
T e
γe
Fig. 11.5. Applicazione dell’equazione di Bernoulli al problema del camino.
L’equazione di Bernoulli applicata al tratto compreso tra le sezioni 1 e 2 si scrive:
(^22221) 1 , 2 1 , 2 1 + − =
+ +∫ + z z
g
dp w w he ha
Si può notare che la velocità in 1 è generalmente trascurabile poiché il fluido proviene da una sezione molto più grande; indicando con p a la pressione atmosferica all’altezza della sezione
2, la pressione agente sulla faccia esterna della sezione 1 sarà ( pa + γ eH ). Per la costanza dei
pesi specifici si ha:
1 , 2 1 , 2
2 (^2) ( ) ( ) (^2) i e
e g H ha^ H h
w
Nell’ipotesi che il camino sia a tiraggio naturale ( (he)1,2 =0) la precedente si semplifica e può scriversi nella forma:
( ) ) 2
2 2 e i i g h a
w
H γ −γ =γ + (11.17)
Il prodotto a primo membro rappresenta la pressione differenziale, disponibile alla base del camino, che provoca il moto ed equilibra la caduta di pressione dovuta all’accelerazione del fluido e quella dovuta all’attrito. Tale pressione differenziale è correlabile alla differenza di temperatura tra le colonne di fluido, interna ed esterna, in opposizione. Esprimendo ora le resistenze di attrito distribuite e localizzate in funzione della velocità, nell’ipotesi di condotto a sezione costante e lunghezza H , si ha:
2 2
j
e i i j D
H
g
w
H γ γ γ λ λ (11.18)
Risolvendo la (11.18) si ottiene infine la velocità del fluido allo sbocco (sezione 2), per un camino di definite caratteristiche geometriche, note le temperature dei fluidi all’interno ed all’esterno:
j
i j
e i
D
H
g H w
Un calcolo più approssimato potrà essere fatto tenendo conto delle inevitabili non uniformità di temperatura nel condotto. Allo scopo il camino può essere suddiviso in tratti isotermi a cui applicare il procedimento per la valutazione della pressione differenziale disponibile. Nel caso in cui si voglia procedere al dimensionamento geometrico di un camino, il problema può ancora essere risolto con la (11.18) se, note le temperature e la portata dei fumi, viene stabilito un valore per la velocità dei gas allo sbocco. In queste condizioni, il problema nelle incognite H e D può risolversi associando l’equazione di continuità.
Nel caso infine di camino a tiraggio forzato è solitamente trascurabile H ( γ e − γ i )rispetto a
( he) 1,2 (anche perché H è piccola) cosicché:
2 2 i e 1 , 2 i ha g
w
−γ h =γ +
Si ha dunque:
( 1 ) 2
2 2
j e m D j
H
g
w
h h λ λ (11.20)
Sez.
Sez.
Fig. 11.6. Applicazione dell’equazione di Bernoulli ad un circuito chiuso.
Se il circuito in esame non fosse chiuso, come nel caso di figura 11.7, allora il carico del propulsore risulterebbe funzione anche del dislivello tra le sezioni estreme (giacitura del sistema) e della variazione di energia cinetica impressa al fluido. L’equazione di Bernoulli applicata al caso di un liquido, posto che le pressioni in 1 e 2 si possano ritenere uguali tra loro e pari alla pressione atmosferica, si può scrivere:
1 , 2
2 (^2) ( ) 2 m H ha g
w h = + +
trascurando la velocità del fluido nella sezione 1.
H
Fig. 11.7. Applicazione dell’equazione di Bernoulli ad un circuito aperto.
11.8. Moto di fluidi comprimibili in condotti a sezione variabile
In molte applicazioni di ingegneria i gas si muovono a velocità relativamente elevate sperimentando significative variazioni di densità in efflussi in condotti a sezione variabile. Importanti esempi sono rappresentati dal moto attraverso ugelli e diffusori nelle macchine a getto per la propulsione aerea, dall’efflusso di gas o vapori nelle turbomacchine, dal moto nelle gallerie del vento o negli eiettori. Questi efflussi sono noti come efflussi comprimibili e rappresentano un settore della termofluidodinamica applicata di notevole interesse. Per studiare meglio le caratteristiche del moto in tali condizioni, esaminiamo dapprima la conformazione di una vena fluida in un efflusso libero, quale si verifica ad esempio nel caso in cui venga praticato un foro nella parete di un recipiente in pressione.
11.8.1. Caratteristiche dell’efflusso in vena libera
L’efflusso spontaneo di un fluido da un recipiente in pressione attraverso una apertura mostra caratteristiche che dipendono principalmente dai valori delle pressioni che lo determinano. Detta p 1 la pressione vigente all’interno del recipiente e p 2 la pressione dell’ambiente esterno, la vena fluida mostra nell’efflusso una forma caratteristica con restringimento iniziale (convergente, dovuto all’inerzia delle particelle) e successivo moderato allargamento.
Fig. 11.8. Efflusso in vena libera di un fluido comprimibile.
Se però la pressione a valle p 2 è minore di una data pressione, detta pressione critica di efflusso pc , la vena mostra una netta discontinuità di pressione e la conseguente rottura. Con riferimento alla portata in massa m & defluente attraverso l’apertura, se p (^) 2 ≥ pc , m &
cresce con regolarità, a parità di p 1 , al diminuire di p 2 fino a p (^) 2 = pc ; per p (^) 2 < pc la portata
non subisce più aumenti, ma resta uguale a quella corrispondente a p (^) 2 = pc , che è la massima
possibile. A quest’ultima condizione corrisponde una velocità di efflusso uguale a quella di propagazione del suono nel fluido ( ws ) nelle condizioni termodinamiche vigenti nella sezione
contratta ( p = pc , ρ = ρ c ).
Per p (^) 2 < pc la velocità del fluido nella sezione contratta non cresce oltre ws se non di molto
poco, con irregolarità e fluttuazioni. L’aumento di velocità è poi minore di quello che si potrebbe ottenere sfruttando tutto il salto entalpico disponibile.
H
S
p 1 p (^) c p (^2)
Fig. 11.9. Efflusso in vena libera di un fluido comprimibile, con rottura della vena.
p 1
p 1 p 2
p 2 p 1
p 1
p 2
p 2
pc pc
Rispetto ad un riferimento solidale con il fronte d’onda il fluido scorre da destra verso sinistra, con velocità che si riduce da ws a w (^) s − dw , mentre la pressione passa da p a p+ dp
(Fig. 11.10b). Essendo il moto stazionario possiamo applicare l’equazione di conservazione della quantità di moto e quella di continuità nella forma:
A [ p − ( p + dp )] = m &[( ws − dw )− ws ]
m & = Aws ρ =( ws − dw ) A ( ρ+ d ρ )
Dalla prima si ha:
A dp = m & dw ed essendo m & = Aws ρ
dw
dp w (^) s
Dalla seconda, sviluppando:
w s
dw
d ρ = ρ da cui:
d ρ
dw = ws (11.24)
Sostituendo la (11.24) nella (11.23), si ricava in definitiva:
d ρ
dp w (^) s = (11.25)
La velocità del suono è dunque una proprietà termodinamica caratteristica del mezzo e del
processo. La forma trovata per ws è la più generale. La (11.25) suggerisce che la velocità del
suono è tanto più elevata quanto più piccole sono le variazioni di densità conseguenti ad una data variazione di pressione. Dalla precedente equazione si deducono espressioni più semplici per i particolari casi esaminati. Nel caso di un processo isoentropico per un gas perfetto la (11.25) si riduce alla nota espressione di Laplace:
kR T p w (^) s = k = 1 ρ
con v
p c
c k =. Per una adiabatica di Poisson si ha infatti:
d ρ
k p
dp = da cui la precedente.
Numerose esperienze hanno indicato che la relazione tra pressione e densità attraverso un’onda di pressione risulta quasi isoentropica almeno a frequenze non troppo elevate.
11.8.3 Equazione di Hugoniot
Nel caso di efflusso senza sorgenti entropiche (in particolare senza attrito), orizzontale e senza lavoro esterno netto, la equazione (11.6) si riduce a:
2
dp g
dw ovvero alla:
dp w dw =−
Esprimendo la variazione di pressione per mezzo della (11.25) si ha dunque:
+^2 = 0
d ρ
w dw ws (11.27)
in cui ws^ è la velocità di propagazione del suono nelle condizioni attuali di pressione,
temperatura e densità. Ricavando dalla (11.27) il termine
d ρ
e sostituendolo nella equazione
di continuità in forma differenziale (11.2), si ottiene infine:
w
dw M A
dA = ( 2 − 1 ) (11.28)
con w s
w M = , numero di Mach.
La (11.28), dovuta a Hugoniot, è una relazione molto importante nello studio degli efflussi di fluidi comprimibili; da essa si possono ottenere importanti indicazioni sulle modalità di efflusso anche se valide a rigore nel caso di moto in un condotto rigido, orizzontale, privo di attrito. L’equazione di Hugoniot può essere posta nelle seguenti forme equivalenti:
w
dp M A
dA = − − (11.29)
ρ
d ρ M
M
A
dA 2
Le precedenti consentono di notare quanto segue.
- Se la velocità attuale di deflusso w è minore di quella di propagazione del suono ( M <1), regime subsonico , risulta:
< 0 dw
dA e > 0 dp
dA
le variazioni di velocità ( dw ) sono di segno opposto a quello delle variazioni dell’area della sezione di deflusso ( dA ) e della pressione ( dp ).
11.8.4 Proprietà al ristagno
Un concetto che semplifica l’analisi di alcuni problemi è quello di stato isoentropico al ristagno. Le proprietà termodinamiche ad esso associate sono dette proprietà al ristagno e nel seguito verranno indicate con il pedice “o”. Si definisce stato isoentropico al ristagno lo stato che il fluido assumerebbe se venisse arrestato reversibilmente mediante una trasformazione senza scambi (di calore e lavoro). Dall’equazione di bilancio per un volume di controllo a regime permanente, si ha:
2 0
w H = H + (11.32)
ed inoltre per definizione è S = S 0.
H
H
H (^0)
p
p (^0)
w^2 /
S=S 0 S
Fig. 11.11. Definizione di stato isoentropico al ristagno.
Tutte le altre grandezze termodinamiche possono essere ottenute essendo lo stato definito. In particolare, per un gas perfetto, nell’ipotesi di calori specifici costanti, la temperatura al ristagno risulta:
c p
w T T 2
2 0 = +
ed è la temperatura che misurerebbe un termometro fermo investito da una corrente fluida in moto alla velocità w. La pressione al ristagno può determinarsi tramite la:
T p k t
k o cos
1 0 =
− −
Si noti infine che l’entalpia data dalla (11.32), vale anche nel caso di un processo di perdita di velocità del fluido adiabatico ma con irreversibilità; non è così per l’entropia e le altre grandezze.
11.8.5 Velocità di efflusso e pressione critica
Il valore della velocità di efflusso w 2 che viene assunto come riferimento è quello
corrispondente al caso di ugello orizzontale, a pareti rigide ed adiabatico. Per tale condizione, a regime, si ha:
0 2
2 1
2 2 2 1 =
w w H H da cui: w 2 (^) = 2 ( H 0 , 1 − H 2 ) (11.33)
avendo indicato con H (^) 0 , 1 l’entalpia al ristagno corrispondente allo stato 1. L’equazione così
ottenuta vale in generale per qualunque fluido a due variabili. Di particolare interesse è il caso degli aeriformi, che viene in genere analizzato con le ipotesi
di gas perfetto e calori specifici costanti. Con tali ipotesi, essendo (^1) 1
R
k
k c (^) p −
= , si ha:
01
2 01 2 101
2 (^2) T
T
RT
k
k w cp T T − −
da cui infine l’equazione di Saint Venant:
01
2 (^2 101) T
T
RT
k
k w − −
L’equazione ottenuta evidenzia l’esistenza di una velocità limite massima di efflusso adiabatico wl corrispondente a T 2 (^) = 0 e cioè alla condizione per cui tutta l’entalpia iniziale
H (^) l sarebbe utilizzata in energia cinetica dell’aeriforme:
1 ,^1
wl = k − ws
Nel caso di gas biatomici, con k = 1.4, risulta wl = 5 ws , 1 , essendo w s,1 la velocità del suono
nelle condizioni dello stato1. Si noti che mentre l’esistenza di un limite è pienamente significativa, non lo è in realtà il valore indicato dalla precedente relazione poiché il fluido avvicinandosi allo zero assoluto non si mantiene allo stato aeriforme. Un caso sovente considerato è quello di efflusso isoentropico per il quale il rapporto tra le temperatura T 2 (^) / T 01 può facilmente esprimersi in funzione del rapporto tra le pressioni con
l’equazione di Poisson. La (11.34) diventa così:
− k
k
p
p RT k
k w
1
01
2 2 2 1 1 011 ( ) (11.35)
Come si può notare, fissate le condizioni iniziali e la pressione finale, i gas con più elevati valori di k e di R 1 (gas monoatomici, con basso peso molecolare), raggiungono le più elevate velocità finali. Il valore della pressione critica di efflusso può essere ottenuto notando che essa è definita come la pressione che si stabilisce dove si instaura la velocità del suono ( w =ws , M =1). Assumendo il fluido gas perfetto, a calori specifici costanti, e posto:
1 2
2 2 w 2 (^) = M kRT
dalla (11.33) si ha:
1 2 2 2
2 2 01 2 2 2
M
c
kRT T c
w T T p p
da cui:
