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Elettromagnetismo
- Le equazioni dei campi elettrostatici e magnetostatico
Campo elettrico E (sorgente cariche elettriche)
● Teorema di Gauss Φ ( E )= Q / ε 0
● Conservatività del campo (sorgente correnti elettriche) Γ ( E )= 0
Campo magnetostatico B
● Teorema di Gauss
Φ ( B )= 0
● Teorema di Ampere
Γ ( B )= μ 0
k
❑
I
Sono campi distinti.
- Campi che variano nel tempo
Quando il campo magnetico varia nel tempo varia anche il suo flusso attraverso una
superficie S e nel bordo γ di S si origina una fem indotta data dalla legge di Faraday-
Neumann-Lenz
ξ =− Φ ( B )/ t
);
ma la fem è anche il lavoro per unità di carica necessario per spostare una carica q lungo la
curva
γ
(
ξ = L / q ).
Dividiamo la curva γ in modo tale da avere segmenti considerabili rettilinei e in modo tale da
considerare la forza F costante su di essi. Il lavoro su ogni segmento è
L = F ∗ l
quindi il lavoro totale lungo la curva è
L =
k
❑
F ∗ l
Quindi la fem
ξ =
L
q
diventa
ξ =
k
❑
F ∗ l =
k
❑
F
q
∗ l
.
Il rapporto tra forza e carica è il campo elettrico indotto E indotto nel tratto l della curva,
quindi
ξ =
k
❑
E ∗ l
Il membro di destra è la Γ ( E ), quindi la legge di FNL può essere posta nella forma
Γ ( E )=
− ϕ ( B )
t
.
Il campo elettrico può essere generato sia da cariche elettriche sia da variazioni del campo
magnetico.
Il teorema di Ampere generalizzato
Intorno al 1860, James Clerk Maxwell suggerì che anche una variazione di flusso del campo
elettrico genera un campo magnetico. Quindi le sorgenti del campo non sono solo le correnti
elettriche, ma anche le variazioni del flusso del campo elettrico. Aggiunge così un nuova
parte al teorema di Ampere, la cosiddetta corrente di spostamento, dove il flusso di E è
calcolato attraverso una superficie avente come bordo la curva y.
Maxwell considerò un circuito RC nella fase di carica del condensatore e considerò una
circonferenza γ con centro sul filo e piano perpendicolare al filo. Secondo il teorema di
Ampere, il filo genera un campo magnetico tale che
Γ ( B )= μ 0 ∗ I
Consideriamo una superficie cilindrica che racchiude una parte di un condensatore:
all’esterno il campo elettrico è nullo mentre all’interno è uniforme e perpendicolare alle basi
del cilindro. Il flusso di E è
1
( E )=
Q
ε 0
, con
Q = I ∗ Δ t
In un secondo momento, la carica passa da
Q
a
Q + I ∗ Δ t
, quindi
2
Q + I ∗ Δ t
ε 0
.
La variazione totale del flusso è pari a
Δ Φ ( E )= Φ
1
( E )− Φ
2
( E )=
Q + I ∗ t
ε 0
Q
ε 0
I ∗ t
ε 0
da cui segue I = ε 0
ΔΦ ( E )
Δ t
.
- Le equazioni di Maxwell
Maxwell pubblicò nel 1873 un’opera dove parlava delle regole che regolavano il
comportamento dei campi elettrico e magnetico.
● Legge di FNL
Γ ( E )=
− Δ Φ ( B )
Δt
● Teorema di Ampere generalizzato Γ ( B )= μ 0 ¿
In queste formule troviamo un legame tra B e E, che nel caso di staticità sono campi distinti.
E e B formano il campo elettromagnetico che si manifesta nei fenomeni elettromagnetici.
- Le onde elettromagnetiche
Intorno al 1870 Maxwell (poi Heinrich Hertz) iniziò a studiare le onde elettromagnetiche: un
campo elettrico variabile genera un campo magnetico variabile che a sua volta genera un
campo elettrico variabile e così via. L'oscillazione di uno comporta l’oscillazione dell’altro: le
oscillazioni si propagano nello spazio sotto forma di onda elettromagnetica. Le onde
elettromagnetiche si propagano alla velocità della luce e anche nel vuoto; sono onde
trasversali (perpendicolari rispetto alla direzione di propagazione dell’onda) e in fase con la
stessa frequenza. Maxwell dimostrò che
v =
; se sostituiamo i valori nell’equazione, troveremo che
v =3,0 10
8
m
s
, quindi
c =
Da ciò capiamo che la luce è un’onda elettromagnetica.
Sostituendo U con le equazioni contenenti campo elettrico e campo magnetico, troviamo che
l’irradiamento dipende anche dai due campi. L’irradiamento medio si ottiene con i valori
efficaci dei due campi. Unità di misura:
J
m
2
∗ s
W
m
2
La densità di quantità di moto di un’onda elettromagnetica
La quantità di moto è una grandezza vettoriale, ma parlando di onde elettromagnetiche si dà
più importanza alla densità di quantità di moto. In un’onda elettromagnetica, il vettore E e B
sono entrambi perpendicolari alla direzione dell’onda, per cui il prodotto tra i due ha stessa
direzione e stesso verso dell’onda. Il modulo è pari a
P = ε 0 ∗ E ∗ B ∗ sen α
il seno viene 1 perché l’angolo tra i due vettori vale 90 gradi
⇒ P = ε 0 ∗ E ∗ B
Se consideriamo
B =
E
c
, P diventa
P = ε 0
E
2
c
u
c
. Unità di misura:
kg
m
2
∗ s
.
La pressione di radiazione
Se le onde elettromagnetiche trasportano quantità di moto, allora danno origine ad una
pressione quando vengono assorbite o riflesse da una superficie. Consideriamo un’onda che
incide perpendicolarmente su una parete assorbente: nel tempo t, l’onda incide sulla parete
con Δ q = P ∗ A ∗ c ∗ t ; la quantità di moto è contenuta nel volume di base A e altezza c*t.
p =
F
A
q
tA
PcAt
At
= Pc ;P =
u
c
⇒ p = u .
Se la superficie è completamente riflettente, l’onda riflessa ha una quantità di moto uguale e
opposta a quella incidente, quindi
q = PcAt −(− PcAt )= 2 PcAt ⇒ p = 2 u
Nel caso di non perpendicolarità, bisogna tener conto dell’angolo di incidenza:
parete assorbente p = u cos θ ; parete riflettente p = 2 u cos θ.
Se la radiazione è diffusa:
parete assorbente
p =
u
; parete riflettente
p =
u .
La polarizzazione delle onde elettromagnetiche
Essendo trasversali, le onde possono essere polarizzate. Le onde si dicono polarizzate
linearmente quando vibrano lungo un’unica direzione, detta di polarizzazione. La luce
polarizzata può essere prodotta a partire da luce non polarizzata utilizzando particolari
materiali, che possono essere attraversati solo dalla componente del campo elettrico in una
particolare direzione, mentre assorbono le componenti del campo perpendicolari a questa
direzione. La direzione di polarizzazione che riesce ad attraversare il materiale si dice asse
di trasmissione. Indipendentemente dall'orientamento dell’asse, l’irradiamento della luce
polarizzata trasmessa è la metà di quello della luce incidente non polarizzata: questo perché
la luce non polarizzata contiene tutte le direzioni di polarizzazione.
La legge di Malus
Dopo aver prodotto luce polarizzata, si può utilizzare un altro materiale polarizzato, detto
analizzatore, per cambiare direzione di polarizzazione e intensità della luce. L’asse di
trasmissione dell’analizzatore è orientato secondo un angolo θ rispetto all’asse di
trasmissione del polarizzatore. Se il modulo del campo elettrico che attraversa il
polarizzatore è E, allora il modulo del campo che attraversa l’analizzatore sarà la
componente parallela E cos θ. Quindi, l’irradiamento medio della luce polarizzata che
attraversa l’analizzatore è proporzionale a cos
2
θ
.
S = S
0
cos
2
θ
con
S
0
= irradiamento entrante nell’analizzatore. Tale relazione è detta legge di (Étienne-
Louis) Malus. Se la luce entrante nell’analizzatore non è polarizzata, allora
S =
S
0
, dove ½
è la media di cos
2
.
