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Indice
Corso Elettrotecnica T - Ingegneria Informatica UNIBO
- MODULO 1.........................................................................................................................................
- ●Richiami elettromagnetismo.........................................................................................................
- ●Teoria dei circuiti........................................................................................................................... - resistore...................................................................................................................................................... - condensatore.............................................................................................................................................. - induttore..................................................................................................................................................... - generatore ideale di tensione..................................................................................................................... - generatore ideale di corrente..................................................................................................................... - generatori controllati............................................................................................................................... - configurazione a stella a triangolo........................................................................................................
- ●Metodi di analisi.......................................................................................................................... - metodo algebrico o di Tableau................................................................................................................. - metodo dei potenziali di nodo.................................................................................................................
- ●Teoremi di rete............................................................................................................................ - teorema di Tellegen................................................................................................................................. - teorema della sostituzione....................................................................................................................... - teorema di sovrapposizione degli effetti.................................................................................................. - teorema di Thevenin................................................................................................................................ - teorema di Norton.................................................................................................................................... - teorema di Millman................................................................................................................................. - teorema del massimo trasferimento di potenza.......................................................................................
- ●Transitori..................................................................................................................................... - circuito RC............................................................................................................................................... - circuito RL............................................................................................................................................... - circuito RLC............................................................................................................................................ - circuiti di ordine superiore al 2................................................................................................................
- MODULO 2.......................................................................................................................................
- ●Circuiti in regime sinusoidale...................................................................................................... - grandezze periodiche............................................................................................................................... - grandezze sinusoidali............................................................................................................................... - potenza dissipata su un resistore R.......................................................................................................... - circuiti isofrequenziali............................................................................................................................. - fasori........................................................................................................................................................ - trasformata di Steinmetz S[ ]................................................................................................................... - metodo simbolico.................................................................................................................................... - risonanza.................................................................................................................................................. - antirisonanza (risonanza parallela).......................................................................................................... - potenza in regime sinusoidale................................................................................................................. - rifasamento monofase.............................................................................................................................. - massimo trasferimento di potenza in AC................................................................................................. - teorema di Boucherot..............................................................................................................................
- ●Filtri............................................................................................................................................. - filtro passa-basso..................................................................................................................................... - filtro passa-alto........................................................................................................................................ - filtro passa-banda.....................................................................................................................................
- ●Sistemi trifase.............................................................................................................................
- ●Circuiti magnetici........................................................................................................................
- ●Trasformatore monofase............................................................................................................
- trasformatore ideale.................................................................................................................................
- Link per esercizi..............................................................................................................................
•conservazione della carica elettrica
∯ S
j⋅n̂ dS = −dQ dt
•legge di Gauss:
∬ S
B⋅̂n dS =∭ V
ρ dV =Qtot
D e H descrivono le cause del fenomeno elettromagnetico. E e B descrivono gli effetti del fenomeno elettromagnetico. Per i materiali lineari le relazioni sono: D = εE ε= εrε 0 ε 0 = 8,85610^-6 F/m [F] farad B = μH μ= μrμ 0 μ 0 = 4π10^-7 = 1.253*10^-6 H/m [H] henry J= σE σ = [S/m] siemeus/metro ρ=1/σ =>resistività elettrica [Ω/m] (caratteristica dei resistori)
•leggi dell'elettromagnetismo
Forma integrale Forma locale I legge di Maxwell (^) ∇×H = j+ ∂^ D ∂ t
∮ lc
E⋅dlc= −d Φ dt
II legge di Maxwell (^) ∇×E =−∂^ B ∂t
Conservazione della carica
Legge di Gauss ∇⋅D=lc
Jt solenoidale
∯ S
B⋅n̂ dS= 0 B solenoidale^ ∇⋅B=^0
∮ lc
H⋅dlc=it
∇⋅ j=
−∂lc ∂ t
∯ S
D⋅n̂ dS=Qtot
∇⋅ jt = 0
∯ S
j⋅n̂ dS = −dq dt
∯ S
jt⋅n̂ dS= 0
●Teoria dei circuiti
Ipotesi:
i fenomeni elettromagnetici sono confinati all'interno del circuito/volume, non c'è propagazione delle onde, all'esterno:
quasi stazionarietà: la lunghezza caratteristica del circuito, lc, è molto inferiore alla lunghezza d'onda del segnale che stiamo trasferendo. λ= velocità di porpagazione nel mezzo frequenza del segnale
=[
m/ s 1 / s
]=[m]
circuito: collegamento di diversi multipoli nodo: punto di congiunzione di due o più rami ramo: componente con i suoi terminali maglia: percorso chiuso formato dai rami
potenza elettrica istantanea [W]:
energia [J]: w^ (t)=∫ t 1
t 2 p( τ )d τ
convenzioni: 1.dell'utilizzatore: la corrente va dal + al - se p(t) > 0 → potenza assorbita se p(t) < 0 → potenza generata
2.del generatore: la corrente va dal – al + se p(t) > 0 → potenza generata se p(t) < 0 → potenza assorbita
Risoluzione di un circuito: calcolare tutte le tensioni e le correnti di tutti i rami con le leggi di Kirchhoff (equazioni topologiche che dipendono da come sono collegati i componenti) e con le equazioni costitutive che descrivono il componente.
Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKT): in ogni istante in ogni maglia deve valere. in una maglia la somma delle tensioni deve essere zero. Il segno di ogni singola tensione dipende dall'orientamento della maglia: se concorde +, se discorde -.
∂ B
∂ t
∂ D
∂t
p (t)=i (t)v (t)
∑ i= 1
n vi = 0 n=numero di componenti
collegamento parallelo: i resistori hanno tutti la stessa tensione
Geq=∑ k = 1
n Gk n= numero dei resistori con collegamento parallelo ; Req=
Geq
un resistore in parallelo con un aperto equivale al resistore (tutta la corrente va nel ramo del resistore); un resistore in parallelo con un corto equivale al corto (la corrente “sceglie” la strada dove trova meno resistenza).
partitore di corrente:
condensatore
capacità, C, [F] (farad) equazione costitutiva:
cariche accumulate: Q(t )=C⋅v (t ) tra le armature c'è un materiale isolante chiamato materiale dielettrico v(0)= effetto memoria elemento con memoria
v(t) descrive lo stato energetico del condensatore, è una variabile di stato; non varia istantaneamente (se fosse possibile ci sarebbe una potenza infinita).
se la derivata è positiva sta assorbendo, se negativa sta cedendo secondo la convenzione dell'utilizzatore.
L'energia immagazzinata è sempre maggiore/uguale di zero => elemento passivo
rappresentazione di un condensatore reale con elementi ideali:
C = condensatore ; Rp = resistore in parallelo al condensatore ; Rs resistore in serie al condensatore.
i(t)=C dv dt
C =^ ε^ S d
v (t ) = (^) ∫ −∞
t 1 C
i ( τ )d τ =
C
∫ −∞
0 i (τ )d τ +
C
∫ 0
t i(τ )d τ = v ( 0 ) +
C
∫ 0
t i( τ ) d τ
p (t)=v (t )C dv dt
w (t2, t 1 ) = (^) ∫ t 1
t 2 p( τ )d τ = C (^) ∫ t (^1)
t (^2) v ( t) dv dt
dt = C (^) ∫ t (^1)
t (^2) v (t ) dt =
C [v^2 (t )]t^2 t 1
w(t2, t 1 ) = 1 2
C [ v 2 ( t 2 )−v^2 (t 1 )]
v= Req i=
R 1 R 2
R 1 +R 2
i i 1 =
R 2
R 1 + R 2
i
i 2 =
R 1
R 1 + R 2
i
collegamento parallelo, hanno la stessa tensione
collegamento serie, sono attraversati dalla stessa corrente; hanno la stessa carica
induttore
induttanza L [H] (henry) equazione costitutiva: v^ (t^ )=L^ di dt
L=μ NS l variazione del flusso → forza elettromotrice:
i(0) = effetto memoria elemento con memoria.
La corrente non può variare istantaneamente, se così fosse ci sarebbe una potenza infinita. Se la derivata è positiva sta assorbendo, se negativa sta cedendo potenza seconda la convenzione dell'utilizzatore.
Elemento passivo
rappresentazione di un induttore reale con elementi ideali:
L = induttanza ; Rs = resistore in serie all'induttore
collegamento serie, attraversati dalla stessa corrente
Leq=∑ k = 1
n Lk n=numero di induttori con collegamento serie
collegamento parallelo
generatore ideale di tensione
equazione costitutiva: v(t) = e p(t) = e*i(t) >0: potenza erogata secondo la convenzione del generatore
Ceq= (∑ k= 1
n 1 C (^) k )
− 1 n=numero di condensatori concollegamento serie
Φ(t)=L i(t) v (t)= d Φ dt
= L
di dt
i(t)=∫ −∞
t 1 L
v (τ) d τ =
L
∫ −∞
0 v (τ) d τ +∫ 0
t v ( τ)d τ = i( 0 ) + (^) ∫ 0
t v (τ )d τ
p (t)=i (t ) L di dt
w (t2, t 1 )=∫ t (^1)
t (^2) p (τ) d τ = (^) ∫ t (^1)
t (^2) L i (τ ) di d τ
d τ = L∫ t (^1)
t (^2) i (τ) di=
L
[i^2 (t 2 )−i^2 (t 1 )]
Ceq=∑ k= 1
n C (^) k n=numero di resistori con collegamento parallelo
Leq=(∑ k = 1
n 1 Lk )
− 1 n=numero di induttori con collegamento parallelo
collegamento parallelo i(t) = a 1 +a 2
collegamento serie NON AMMISSIBILE, ogni generatore genera una corrente diversa
passivare generatore di corrente
generatori controllati
tensione e corrente dipendono dalla tensione/corrente in un altro punto del circuito, vp(t), ip(t) @GENERATORE DI TENSIONE controllato in tensione: v(t) = kvp(t) controllato in corrente: v(t) = cip(t)
@GENERATORE DI CORRENTE
controllato in tensione: i(t) = kvp(t) controllato in corrente: i(t) = cip(t)
configurazione a stella a triangolo
trasformazioni:
@ da triangolo a stella (conosco Ra-b, Rb-c, Rc-a)
Ra =
Ra−b Rc−a Ra−b+Rb−c+Rc−a
Rb=
Rb−c Ra −b Ra −b+ Rb−c+Rc−a
Rc=
Rb−c Rc−a Ra−b+Rb−c+Rc−a
@ da stella a triangolo (conosco Ra, Rb, Rc)
Ra−b=
Ra Rb +Rb Rc+Rc Ra Rc
Rb−c=
Ra Rb+Rb Rc+Rc Ra Ra
Rc−a =
Ra Rb+Rb Rc+Rc Ra Rb
Ra +Rb= Ra−b / /[ Rc−a+Rb−c ] Rb +Rc=Rb−c / /[ Ra−b+ Rc−a ] Ra +Rc=Ra −b / /[ Ra−b+Rb−c ]
●Teoremi di rete
teorema di Tellegen
teorema della sostituzione
ipotesi: * la parte 1 e la parte 2 interagiscono solo attraverso i e v
- no accoppiamenti (né magnetici, né generatori controllati)
- unica soluzione
sostituire la parte 2 con un generatore di tensione
o di corrente.
/ linearità: una funzione è lineare quando gode delle proprietà: / #additività: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) / #omogeneità: f(kx)= kf(x)
teorema di sovrapposizione degli effetti
le variabili del circuito (effetti) possono essere calcolate come sommatoria degli effetti dovuti dalle singole cause (generatori). Ipotesi: linearità
la potenza non è lineare
∑ i= 1
n P (^) generate i=∑ j= 1
m Passorbite j
teorema di Thevenin
ipotesi: rete (parte colorata) lineare no accoppiamenti no ipotesi sul carico
la rete può essere sostituita con un generatore di tensione e una resistenza equivalente di Thevenin in serie:
la tensione equivalente di Thevenin, Eeq,Th, si ricava calcolando la differenza di tensione a circuito aperto tra i capi A e B la resistenza equivalente di Thevenin, Req,Th, si calcola dal punto di vista dell'aperto AB, passivando tutti i generatori della rete.
teorema di Norton
stesse ipotesi del teorema di Thevenin
la rete può essere sostituita con un generatore di corrente e una resistenza equivalente di Norton in parallelo: la corrente equivalente di Norton, Ieq,Nt, si ricava calcolando la corrente che circolerebbe tra i nodi A e B se ci fosse un corto invece che il carico la resistenza equivalente di Norton, Req, Nt, si calcola dal punto di vista dell'aperto AB, passivando tutti i generatori della rete.
Relazione Thevenin/Norton
I (^) eq, Nt =
Eeq ,Th Req, Nt
Req ,Th=Req , Nt Eeq, Th= Req , Nt⋅I (^) eq , Nt
●Transitori
Si parte da uno stato energetico e si tende ad un altro stato energetico. I transitori possono essere dovuti da: -generatori variabili, -guasti, -interruttori
Le grandezze di interesse sono le variabili di stato (la corrente per l'induttore e la tensione per il condensatore) che descrivono l'energia immagazzinata.
RISOLVERE UN EQUAZIONE DIFFERENZIALE
Nei circuiti lineari, le equazioni differenziali sono ordinarie a coefficienti costanti. L'ordine dipende da quanti condensatori e induttori ci sono: circuiti RL e RC sono di primo ordine, i circuiti RLC sono di secondo ordine.
Metodo di risoluzione dell'equazione differenziale: metodo di Cauchy la soluzione è data da: -soluzione dell'omogenea associata o(t) -soluzione particolare p(t)
b(t) : termine noto an, an-1, …, a 1 , a 0 : coefficienti costanti x(t) : incognita _ x(t) = o(t) + p(t) condizione iniziale: stato energetico nel momento in cui l'interruttore si chiude.
[si può usare per calcolare anche la corrente nel caso del condensatore anche se non è una sua variabile di stato o per calcolare la tensione nell'induttore anche se non è una sua variabili di stato]
an d n^ x (t) dt
an− 1 d n−^1 x (t) dt
⋯ + a 1 dx(t) dt
a 0 = b( t)
E−vR−v (^) L−vC = 0 v (^) R=Ri
v (^) L= L di dt i=C
dv dt → vC =∫
i C dt
E−Ri (t)−L di
(t) dt
−∫
i(t) C
dt= 0
x (t)={ x( 0 )−x (∞)}e
− τt
circuito RC
T inizialmente aperto, all'istante t=0s si chiude vc(t=0-) = vc
p(t) dipende dal termine noto, essendo questo una costante anche p(t) è una costante (la sua derivata è nulla)
o(t) dvC dt
vC RC
= 0 omogenea associata
λ+
RC
= 0 polinomio caratteristico
λ=−
RC
v(t) per trovare A bisogna usare la condizione iniziale sapendo vc(t) = A e-t/RC^ + E e che vc(0) = vc
l'evoluzione libera → come se fosse senza generatore → scarica del condensatore, la tensione ai suoi capi diminuisce. Costante di tempo.
Si considera il transitorio esaurito dopo 5 τ
carica/scarica del condensatore
la R di si calcola dal punto di vista di C a transitorio concluso: con l'interruttore aperto o chiuso in base a cosa succede all'istante t=0.
soluzione vC (t)= p(t)+o( t)
sistema E−v (^) R−vC= 0
v (^) R=Ri → v (^) R=RC
dvC dt
iC =C
dvC dt
equazione differenziale
E −RC
dvC dt
−vC= 0
dvC dt
vC RC
E
RC
vC ( t ) = ( vC0 − E ) e
− (^) RCt
− (^) RCt
− (^) RCt ]
( vC0 − E )e
− (^) RCt : risposta transitoria E :risposta a regime
vC0 e
− (^) RCt : evoluzione libera
E [ 1 −e
− (^) RCt ]: risposta forzata
τ=RC
o(t)= Ae
− (^) RCt
b( t)=
E
RC
→ p (t)=P
dp(t) dt
p(t) RC
E
RC
p(t)=E
τ
circuito RLC
T si chiude all'istante t=0s condizioni iniziali: i(0-) = 0 vC(0-) = VC
termine noto è nullo, la soluzione dell'equazione differenziale è data solo dalla soluzione dell'omogenea associata.
in base ai valori del fattore di smorzamento e della pulsazione di risonanza la soluzione dell'equazione differenziale può essere calcolata in tre modi:
Δ>0 α>ω 0 2 soluzioni reali distinte dalle condizioni iniziali si ricavano A e B
λ^2 +
R
L
λ+
LC
= 0 λ1,2=
−R
2L
√(^
R
2L )
2 −
LC
i(t)=A eλ^1 t^ +B eλ^2 t i( 0 )=A+ B= 0 → A=−B
E−R i( 0 )−L di dt
−vC0= 0 → calcolata dove i= 0 di dt
E−vC L di dt
=A λ 1 eλ^1 t+B λ 2 eλ^2 t
A λ 1 + B λ 2 = A(λ 1 +λ 2 )=
E−vC L
→ A=
E−vC L(λ 1 +λ 2 )
i(t)=
E−vC L (λ 1 +λ 2 )
[ eλ^1 t−eλ^2 t^ ]
i (t)=
E−vC
L( 2 √α^2 −ω^2 )
[e(−α+√α
(^2) −ω 02 )t −e(−α−√^ α
(^2) −ω 02 )t ]
i (t)=
E−vC 2L (^) √ α^2 −ω 02
[et^ √α
(^2) −ω 02 −e−t^ √α
(^2) −ω 02 ]e−αt
α=
R
2L
FATTORE DI SMORZAMENTO ω 0 =
√ LC^
PULSAZIONE DI RISONANZA
sistema E−vR−v (^) L−vC= 0 v (^) R=R i
vL=L di dt vC=
C
∫i dt
equazione differenziale di II ordine E−R i−L di dt
C
∫ i dt=^0 ↓ derivare
R di dt
+L
d 2 i dt
C
i = 0
d 2 i dt
+ R
L
di dt
LC
i= 0
Δ= 0 α=ω 0 λ= - α 2 soluzioni reali coincidenti
Δ<0 α<ω 0 2 soluzioni immaginarie
sapendo che:
l'oscillazione è dovuta da uno scambio di energia tra il condensatore e l'induttore
Δ=0 risposta più veloce, il transitorio si esaurisce più velocemente Δ<0 risposta ancora più veloce ma ci sono oscillazioni
nei circuiti con di 2° ordine o superiori si può avere:
- sovraelongazione: la corrente/tensione può valere più di quella a regime •sottoelongazione: la corrente/tensione può essere negativa
i (t)=( A+ B)eλ^ t i( 0 )=A= 0 di dt
E−vC L
→ calcolata dove i= 0 di dt
= B
di dt
=B eλ^ t+( A+Bt )λ eλ^ t^ → B=
E−vC L
i(t)=
E−vC L
t e−α^ t
λ 1 =−α+√α^2 −ω 02 =−α+√−(ω 02 −α^2 )=−α+ j ωd λ 2 =−α−√α^2 −ω 02 =−α−√−( ω 02 −α^2 )=−α− j ωd
i (t)=
E−vC 2L (^) √α^2 −ω 02
[ (^) et^ √α
(^2) −ω 02 −e −t (^) √α^2 −ω (^02) ] e−αt
i (t)=
E−vC 2Lj ωd
[ e j^ ωd^ t−e−^ j^ ωd^ t^ ] e−α^ t
i( t)=
E−vC L ωd
sin (ωd t) e−αt
cos ( φ )= e^
j φ (^) +e− j φ 2
sin( φ )= e^
j φ (^) −e− j φ 2j
