equazioni lineari e matrici, Dispense di Matematica Generale

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Matematica Generale

Sistemi di Equazioni Lineari

e Matrici

Marco A. Boschetti

Università di Bologna

● Una equazione lineare in due incognite 𝑥 e 𝑦 è una espressione che può essere scritta nella forma: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 (1) dove 𝑎, 𝑏 e 𝑐 sono numeri reali. Chiameremo 𝑎 coefficiente di 𝑥, 𝑏 coefficiente di 𝑦 e 𝑐 termine noto. ● La soluzione dell’equazione (1) è costituita da una coppia di numeri (𝑥, 𝑦), che ovviamente devono soddisfare l’equazione stessa. ● Un esempio di equazione lineare in due incognite è il seguente: 3𝑥 − 𝑦 = 15 dove una possibile soluzione è 𝑥 = 5 e 𝑦 = 0 , che possiamo anche scrivere 𝑥, 𝑦 = ( 5 , 0 ). Ma non è l’unica soluzione, perché ve ne sono infinite e più precisamente sono tutte le soluzioni della forma: 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 − 15 dove 𝑥 è la variabile indipendente e 𝑦 la variabile dipendente.

● Metodo Grafico: la soluzione di un sistema di equazioni lineari è il punto di intersezione. Perché? Soluzione 𝑥, 𝑦 = ( 2 , 1 ) 𝑥 − 𝑦 = 1 𝑥 + 𝑦 = 3

● Metodo Algebrico: Nell’approccio algebrico si cerca di combinare le due equazioni in modo da eliminare una delle due variabili. ● Per esempio possiamo svolgere i seguenti passi: ቊ

● Un’altra opzione è sommare la prima equazione alla seconda: ቊ

− 15 + 13 26 𝑦 = 5 13

2 26

1 13 𝑦 = 5 13 Se risolviamo non usando le frazioni e approssimando alla seconda cifra decimale abbiamo: ቊ

𝑥 = − 1. 5 × 0. 38 + 0. 5

C’è differenza tra i due risultati?

Chiamiamo (𝑥𝑓, 𝑦𝑓) la soluzione ottenuta utilizzando con le frazioni e (𝑥𝑑, 𝑦𝑑) quella ottenuta non utilizzando le frazioni e approssimando alla seconda cifra decimale: ൞

1 13 𝑦𝑓 = 5 13 e ቊ

Calcoliamo la differenza: 𝐸𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑑 = −

Qual è l’errore relativo? E’ accettabile?

● Come dimostra l’esempio, il metodo grafico è di difficile utilizzo. ● Proviamo a risolverlo algebricamente: ቊ

Risolviamo: ቊ

5 3

10 3

5 3

− 10 + 9 3

5 3

1 3

5 3

Provate a risolvere il sistema di equazioni lineari non utilizzando le frazioni, ma approssimando alla seconda cifra decimale.

● Esempio 4: Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari: ቊ

Possiamo pensare di risolvere il sistema lineare sommando la prima equazione alla seconda, ma otterremo il seguente risultato: 2𝑥 − 6𝑦 + −2𝑥 + 6𝑦 = 10 + 8 2𝑥 − 2𝑥 − 6𝑦 + 6𝑦 = 18 ( 2 − 2 )𝑥 − ( 6 − 6 )𝑦 = 18 0 𝑥 − 0𝑦 = 18 0 = 18 Come è possibile? Abbiamo sbagliato qualcosa?

● Esempio 5: Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari: ቊ

Possiamo moltiplicare la prima equazione per − 2 ottenendo: ቊ

Se sommiamo la prima equazione alla seconda, otteniamo: −2𝑥 − 2𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦 = − 4 + 4 −2𝑥 + 2𝑥 − 2𝑦 + 2𝑦 = 0 (− 2 + 2 )𝑥 − ( 2 − 2 )𝑦 = 0 0 𝑥 − 0𝑦 = 0 0 = 0 E quindi? Forse non è il metodo giusto.

● Proviamo a risolvere il sistema di equazioni lineari in modo diverso: ቊ

Da cui si ottiene: ቊ

Quindi ci rimane solo un’equazione con due variabili. ● Cosa ne possiamo dedurre? Una delle due equazioni era ridondante. ● Il sistema di equazioni lineari ha infinite soluzioni. In particolare, le soluzioni 𝑥, 𝑦 sono tutte quelle che soddisfano l’equazione: 𝑥 = −𝑦 + 2 che possiamo anche scrivere 𝑥, 𝑦 = −𝑦 + 2 , 𝑦 , dove 𝑦 è la variabile indipendente e 𝑥 è la variabile dipendente.

● Secondo step: dobbiamo definire i vincoli (in forma di equazioni) a cui sono soggette le variabili 𝑥 1 e 𝑥 2 utilizzando le informazioni fornite nel testo: o Le parti d’acqua complessivamente disponibili sono 30000 e per ogni litro di succo di tipo 1 se ne usano 30 e per ogni litro di succo di tipo 2 se ne usano 20: 30 𝑥 1 + 20 𝑥 2 = 30000 o Le parti succo di mela concentrato complessivamente disponibili sono 3600 e per ogni litro di succo di tipo 1 se ne usano 2 e per ogni litro di succo di tipo 2 se ne usano 12: 2 𝑥 1 + 12 𝑥 2 = 3600 Il sistema di equazioni lineari risultante è il seguente: ቊ

● Per risolvere il sistema di equazioni lineari: ቊ

possiamo iniziare svolgendo delle “ normalizzazioni ” dividendo il primo vincolo per 10 e il secondo per 2: ቊ

Risolvendo ቊ

● Il sistema di disequazioni: ቊ

Richiede l’ulteriore vincolo di “non negatività” delle variabili 𝑥 1 e 𝑥 2 , 𝑥 1 ≥ 0 e 𝑥 2 ≥ 0. Perché? ● Può essere trasformato in un sistema di equazioni aggiungendo delle “variabili di scarto” 𝑠 1 e 𝑠 2 : ቊ

Anche per le variabili di scarto 𝑠 1 e 𝑠 2 è necessario il vincolo di non negatività, 𝑠 1 ≥ 0 e 𝑠 2 ≥ 0. Perché? ● Ma i vincoli di non negatività non complicano le cose? La risposta è no.

● Il sistema di disequazioni: 30 𝑥 1 + 20 𝑥 2 ≤ 30000 2 𝑥 1 + 12 𝑥 2 ≤ 3600 𝑥 1 ≥ 0 𝑥 2 ≥ 0 Soluzione sistema equazioni lineari ( 900 , 150 ) Insieme dei punti ammissibili del sistema di disequazioni: “Regione Ammissibile”