algebra Equazioni parametriche: tabella delle condizioni
v 2.9 © 2019 - www.matematika.it 1 di 1
condizioni
cosa fare
sotto forma di enunciato sotto forma algebrica soluzione
una radice è nulla
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝟎𝟎
sostituire zero al posto di 𝒙𝒙
𝒙𝒙=𝟎𝟎
una radice è uguale ad un
numero n
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝒏𝒏
sostituire n al posto di 𝒙𝒙
𝒙𝒙=𝒏𝒏
la somma delle radici è uguale
al numero n
𝒙𝒙𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐=𝒏𝒏
porre la somma uguale a
n
−𝒃𝒃
𝒂𝒂=𝒏𝒏
il prodotto delle radici è
uguale al numero n
𝒙𝒙𝟏𝟏∙𝒙𝒙𝟐𝟐=𝒏𝒏
porre il prodotto uguale a
n
𝒄𝒄
𝒂𝒂=𝒏𝒏
le radici sono opposte
𝒙𝒙𝟏𝟏=−𝒙𝒙𝟐𝟐 → 𝒙𝒙𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐=𝟎𝟎
porre la somma uguale a 0
−𝒃𝒃
𝒂𝒂=𝟎𝟎 →𝒃𝒃=𝟎𝟎
le radici sono reciproche
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐 →𝒙𝒙𝟏𝟏∙𝒙𝒙𝟐𝟐=𝟏𝟏
porre il prodotto uguale a 1
𝒄𝒄
𝒂𝒂=𝟏𝟏 →𝒄𝒄=𝒂𝒂
le radici sono antireciproche
𝒙𝒙𝟏𝟏=−𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐 →𝒙𝒙𝟏𝟏∙𝒙𝒙𝟐𝟐=−𝟏𝟏
porre il prodotto uguale a -1
𝒄𝒄
𝒂𝒂=−𝟏𝟏 →𝒄𝒄=−𝒂𝒂
le radici sono concordi
𝒙𝒙𝟏𝟏∙𝒙𝒙𝟐𝟐> 0
porre il prodotto > 0
𝒄𝒄
𝒂𝒂> 0
le radici sono discordi
𝒙𝒙𝟏𝟏∙𝒙𝒙𝟐𝟐< 0
porre il prodotto < 0
𝒄𝒄
𝒂𝒂< 0
le radici sono coincidenti
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝒙𝒙𝟐𝟐
porre il 𝛥𝛥= 0
𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄=𝟎𝟎
le radici sono reali
𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐 ∈ℝ
porre il 𝛥𝛥≥ 0
𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄≥𝟎𝟎
le radici sono reali e distinte
𝒙𝒙𝟏𝟏≠𝒙𝒙𝟐𝟐 ∈ℝ
porre il 𝛥𝛥> 0
𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄> 0
le radici sono non reali
𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐 ∉ℝ
porre il 𝛥𝛥< 0
𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄< 0
l’equazione è pura
𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒄𝒄=𝟎𝟎
nell’equazione data porre
𝒃𝒃=𝟎𝟎
l’equazione è spuria
𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒃𝒃𝒙𝒙=𝟎𝟎
nell’equazione data porre
𝒄𝒄=𝟎𝟎
la somma dei reciproci delle
radici è uguale a n
𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟏𝟏+𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐=𝒏𝒏
porre 𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥2
𝑥𝑥1∙ 𝑥𝑥2 uguale a
n
−𝒃𝒃
𝒄𝒄=𝒏𝒏
la somma dei quadrati delle
radici è uguale a n
𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐=𝒏𝒏
porre (𝑥𝑥1+𝑥𝑥2)2−2𝑥𝑥1𝑥𝑥2=𝑛𝑛
�−𝒃𝒃
𝒂𝒂�𝟐𝟐−𝟐𝟐𝒄𝒄
𝒂𝒂=𝒏𝒏
la somma dei quadrati dei
reciproci delle radici è
uguale a n
𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐+𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐=𝒏𝒏
porre 𝑥𝑥12+ 𝑥𝑥22
𝑥𝑥12∙ 𝑥𝑥22 uguale a
n
�−𝒃𝒃
𝒂𝒂�𝟐𝟐−𝟐𝟐𝒄𝒄
𝒂𝒂=𝒏𝒏�𝒄𝒄
𝒂𝒂�𝟐𝟐
la somma dei cubi delle radici
è uguale a n
𝒙𝒙𝟏𝟏𝟑𝟑+𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑=𝒏𝒏
porre (𝑥𝑥1+𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1
2+𝑥𝑥2
2−𝑥𝑥1𝑥𝑥2)=𝑛𝑛
�−𝒃𝒃
𝒂𝒂�𝟑𝟑−𝟑𝟑𝒄𝒄
𝒂𝒂�−𝒃𝒃
𝒂𝒂�=𝒏𝒏
la somma dei cubi dei
reciproci delle radici è
uguale a n
𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟏𝟏𝟑𝟑+𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑=𝒏𝒏
porre 𝑥𝑥13+ 𝑥𝑥23
𝑥𝑥13∙ 𝑥𝑥23 uguale a
n
�−𝒃𝒃
𝒂𝒂�𝟑𝟑−𝟑𝟑𝒄𝒄
𝒂𝒂�−𝒃𝒃
𝒂𝒂�=𝒏𝒏�𝒄𝒄
𝒂𝒂�𝟑𝟑
una radice è multipla
dell’altra secondo il fattore n
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝒏𝒏∙𝒙𝒙𝟐𝟐
risolvere il sistema
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝒏𝒏∙𝒙𝒙𝟐𝟐
𝒙𝒙
𝟏𝟏
+𝒙𝒙
𝟐𝟐
=−𝒃𝒃
𝒂𝒂
𝒙𝒙𝟏𝟏∙𝒙𝒙𝟐𝟐=𝒄𝒄
𝒂𝒂
ricorda che
•
𝒔𝒔=𝑥𝑥1+𝑥𝑥2=−𝒃𝒃
𝒂𝒂 è la relazione tra la somma delle radici e i coefficienti dell’equazione di II grado
•
𝒑𝒑=𝑥𝑥1∙𝑥𝑥2=𝒄𝒄
𝒂𝒂 è la relazione tra il prodotto delle radici e i coefficienti dell’equazione di II grado
osserva che le radici di una equazione parametrica si possono accettare solo se appartengono al campo di esistenza
dell’equazione. Il campo di esistenza si calcola imponendo il Δ ≥ 0 cioè 𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄≥𝟎𝟎
