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Sistema finanziario Noi operiamo in quello che definiamo il sistema finanziario, nel sistema finanziario che cosa accade? Che ci sono delle unità in surplus cioè che hanno del denaro in più (le famiglie che depositano i soldi sul conto corrente, le aziende che hanno fatturati in positivo ecc..) e ci sono delle unità in deficit cioè che hanno bisogno di soldi (la più grande unità in deficit è lo Stato). Lo Stato è in deficit perché deve garantire l’istruzione, la sanità, le strade, la luce e tutte quante queste cose richiedono un costo e quindi lo Stato che non ce la fa con le tasse (quindi con le entrate) chiede in prestito dei soldi. Come li chiede lo Stato? Emettendo ad esempio titoli obbligazionari. Quindi se ci sono unità in deficit è ovvio pensare che chi ha di più presti a chi ha di meno, il luogo in cui avviene lo scambio tra unità in surplus e unità in deficit insieme a tutti gli strumenti che consentono lo scambio si chiama sistema finanziario. Nel tempo è cambiato perché nel tempo sono cambiate le regolamentazioni quindi sono cambiati gli enti predisposti al controllo ecc.. Come avviene lo scambio? Lo scambio avviene utilizzando gli intermediari finanziari. In genere lo scambio avviene operando sui mercati finanziari, ad esempio lo Stato emette le obbligazioni, le banche le acquistano e le rivendono sul mercato obbligazionario ai cittadini e per fare tutto quanto questo serve che qualcuno controlli. Poiché i tipi di operazioni finanziarie sono differenti, coinvolgono le banche, coinvolgono i mercati azionari, coinvolgono le assicurazioni e varie altre entità, esistono vari enti controllori a seconda di chi sono gli operatori. Quelle che noi dobbiamo definire sono le leggi che regolano lo scambio tra i differenti operatori finanziari, quindi tra le famiglie e le unità in deficit. Quindi quello che dovremmo imparare a fare è: -Formulare il contratto ossia come lo rappresentiamo, quali sono le variabili, come lo raccontiamo; -Dopodiché a valutare il contratto, valutare il contratto vuol dire determinarne il prezzo quindi quanto dobbiamo pagare oggi o quanto dobbiamo rimborsare alla scadenza. Le 2 variabili più importanti sono gli importi e le scadenze, quindi dovremmo sempre stare attenti nella formalizzazione del contratto a dare queste due quantità. Abbiamo detto che nello scambio ci sono 2 persone: una dà e l'altra riceve. Le operazioni finanziarie sono di 2 tipi: Che cosa può accadere? Che noi ad esempio investiamo oggi dei soldi per avere nel futuro dei soldi in più, quindi stiamo trasportando il denaro nel futuro avanti nel tempo, questa operazione si chiama di capitalizzazione. Oppure accade che noi dobbiamo sapere che dobbiamo avere tra 6 mesi €300 e ne abbiamo bisogno subito e allora chiediamo di anticiparli quindi stiamo portando indietro nel tempo il valore del denaro, questa operazione si chiama di attualizzazione. C’è un legame tra queste due operazioni? Si, se l'operazione è la stessa, cioè se io e Francesco ci scambiamo dei soldi, io presto a lui €100 per avere tra 6 mesi €120 io sto facendo un'operazione di capitalizzazione cioè investo oggi 100 per avere 120 nel tempo. Francesco è come se avesse a disposizione €120 tra 6 mesi però poiché lui ne ha bisogno subito me li chiede oggi, quindi per lui è un'operazione di attualizzazione quindi di anticipazione. Quindi se l'operazione è la stessa attualizzare o capitalizzare sono una legata all'altra, questo vorrà dire che basterà definire una sola delle leggi per ricavare l'altra perché se io so come andare da oggi a tra sei mesi saprò anche come tornare indietro cioè da sei mesi tornare a zero. Quindi l'elemento fondamentale è il trasferimento del denaro nel tempo, questa cosa fa sì che il valore del denaro cambi perché cambiano le situazioni di mercato e perché se rinuncio a qualcosa voglio ricevere un premio per aver rinunciato a qualcosa, questo fatto prende il nome di prezzo del tempo (price of time). Cioè è come dire che spostarsi nel tempo ha un prezzo, un prezzo vuol dire un valore economico che può essere positivo se ho fatto un investimento o può essere negativo se ho fatto un finanziamento. Gli importi in valore assoluto sono sempre positivi, non esiste €-50 perché i soldi o ci sono o non ci sono, il segno servirà esclusivamente a dire se è un'entrata o un'uscita. Quindi indicheremo con il segno meno le uscite col segno più le entrate. Si definiscono operazioni di investimento quelle in cui tutte le uscite precedono tutte le entrate, che vuol dire che prima abbiamo tutti importi di segno negativo e poi tutti importi di segno positivo, quindi il segno cambia una sola volta ossia quando da meno passa a più. Invece un'operazione di finanziamento prima abbiamo tutte le entrate e poi tutte quante le uscite, quindi è un'operazione di finanziamento se le entrate precedono le uscite quindi
abbiamo prima tutti i segni positivi e poi tutti quanti i segni negativi, ad esempio un mutuo è un'operazione di finanziamento. Convenzioni per misurare il tempo Gli importi sono in euro quindi non c'è da fare conversione, quali sono i problemi? I problemi incorrono quando abbiamo il tempo, il tempo può essere misurato in giorni, in mesi, in anni. E c’è un'altra grandezza di riferimento che è il tasso di interesse. Queste due grandezze devono essere sempre riferite alla stessa unità di misura, che vuol dire che una delle due deve essere convertita nell'altra cioè se ho il tasso di interesse mensile il tempo lo devo esprimere in mesi, se ho il tasso di interesse semestrale il tempo lo devo esprimere in semestri. Ad esempio un'operazione di 3 anni in mesi è 36, un'operazione di 2 mesi in anni è 2/12. 35 giorni in anni è 35/365. Esistono delle convenzioni in base alle quali viene calcolato il tempo cioè come viene misurato, queste convenzioni sono espresse dal contratto cioè nel contratto c'è scritto come si calcola il tempo, possono essere di differente tipo. Prima cosa l’anno può essere calcolato su 365 giorni e quindi si parla di anno civile, o su 370 giorni anno commerciale. Perché 360? Perché si assume che ogni mese sia fatto solo da 30 giorni, questo naturalmente semplifica le cose. Se però la notazione usata è EFF/EFF cioè effettivi su effettivi vuol dire che se sto considerando un'operazione che ad esempio è partita il 3 gennaio del 2021 e finisce il 31 dicembre del 2022 devo contare i giorni che effettivamente sono in quell'arco di tempo, quindi devo considerare se l'anno è bisestile o no e devo andare a considerare i mesi per quanto sono lunghi. Funzione valore La legge che consente di trasferire il denaro nel tempo, noi sappiamo che legge è un sinonimo di funzione. Che cos'è una funzione? E’ una cosa che collega una variabile all'area (la y alla x), noi qua vogliamo collegare il valore del denaro al tempo. Quindi vogliamo mettere in funzione gli importi e il tempo vogliamo esprimere l'importo in funzione del tempo o della durata dell'operazione, fare questo vuol dire definire una funzione. Parleremo di funzione valore cioè la funzione che esprime il valore dell'operazione finanziaria. Ora per poter parlare di una funzione valore dobbiamo prima rappresentare l'operazione finanziaria, per rappresentare graficamente le operazioni finanziarie bisogna immaginare di rappresentare una retta orientata ossia il tempo. Indichiamo con dei segmenti gli istanti di tempo a cui avviene qualche cosa, nella parte bassa quindi sotto il segmento indichiamo le date, nella parte superiore gli importi che vengono scambiati. Allora ad esempio consideriamo un contratto finanziario in cui c'è il prestito di una somma monetaria S al tempo t = 0 da restituirsi integralmente dopo un anno insieme con una somma di importo I prefissato. Vuol dire che trasferiamo quello che c'è scritto su questo disegno, al tempo t = 0 (quindi la prima data è zero) c’è lo scambio di una somma pari ad S, è stato un prestito quindi ha il segno + quindi è un entrata. Dopo un anno quindi qui scriviamo 1 per dire che è un anno dobbiamo restituire (quindi per noi sarà un'uscita) integralmente l'importo S, quindi dovremmo scrivere S insieme con una somma quindi più un importo pari ad I. Questa operazione, che graficamente possiamo rappresentare sull'asse dei tempi, per poterla scrivere diciamo in modo normale senza dover ricorrere ad una rappresentazione grafica viene scritta in questo modo: Ci sono le parentesi graffe, le parentesi graffe in matematica rappresentano l'insieme. Qui ci sono due insiemi il primo insieme è quello degli importi quindi è il flusso di importi, il secondo insieme sono le scadenze a cui avviene lo scambio quindi questo si legge: consideriamo lo scambio di una somma S al tempo zero con una somma S + I al tempo uno. Dall'altra parte però c'è una persona che ci ha prestato i soldi e che riceverà tra un anno l'importo S+I, quindi per la controparte l'operazione è di investimento e per lui a tempo zero c'è un'uscita pari a -S, mentre al tempo 1 lui riceverà indietro i soldi quindi per lui sarà un entrata S+I.
Operazioni coincidenti Ora se abbiamo più operazioni finanziarie potremmo avere degli scadenziari differenti, ad esempio potrei avere queste due operazioni di investimento, da parte investo €100 e mi danno €10 tra un anno e €110 tra tre anni : La prima definita sullo scadenziario 0, 1, 3 che prevede il pagamento di €100 e poi €10 al tempo uno e €110 al tempo 3, al tempo 2 non accade nulla. E poi faccio un'altra operazione in cui investo €300 al tempo 0, al tempo 6 mesi mi danno €100, al tempo un anno me ne danno altri 100, al tempo un anno e mezzo mi danno altri €100, e a 2 anni mi danno €90. Ho fatto due operazioni di investimento, sono due operazioni differenti ma per me complessivamente ci saranno delle entrate e delle uscite. Che devo fare? Vuol dire che voglio fare la somma di queste due operazioni finanziarie. Fare la somma di due operazioni finanziarie significa prima cosa devo definire il nuovo scadenzario che sarà dato dall'unione dei due scadenzari. Unione vuol dire prendere tutto quanto quello che compare da una parte e dall'altra, lo scadenzario della prima operazione è (0, 1, 3), lo scadenzario della seconda operazione è 0, 0,5, 1 ,1,5, 2), Lo scadenzario unione sarà (0 0,5, 1, 1,5, 2 e 3), quali importi avrò su ognuna di queste date? Devo andare a prendere tutti gli importi che stanno nel primo flusso e tutti gli importi che stanno nel secondo flusso e sommarli se sono sulla stessa data, cioè se al tempo uno da un'operazione mi danno €10 e dall'altra operazione al tempo uno me ne danno 100 complessivamente vuol dire che ho avuto €110. Quindi il flusso dei pagamenti quale sarà? Al tempo zero da una parte ho un'uscita di €100, dall'altra un'uscita di €300 quindi vuol dire che complessivamente avrò un'uscita di €400. La data successiva è 0,5, al tempo 0,5 ho solo da un lato €100 e quindi rimane 100. A un anno ho €10 da una parte e cento dall'altra quindi ho 110. A 1,5 ho solo €100 da una parte. Al tempo 2 ho €90 solo da una parte. E al tempo 3 ho €110 solo da una parte. Quindi se ho due operazioni finanziarie posso sempre ricondurle sullo stesso scadenzario facendo l'unione tra i due scadenzari, il nuovo scadenzario sarà dato da: t = 𝑡' U𝑡'' E come flussi faccio la somma algebrica dei due flussi. Scomposizione di operazioni finanziarie Come abbiamo fatto l'operazione di somma, potremo fare l'operazione inversa in cui ad esempio data un operazione finanziaria scorporo le entrate dalle uscite, gli assett dalle liability. È un'operazione tipica che si fa nelle operazioni di bilancio, allora se ho tutto un flusso di pagamenti che indichiamo con la lettera z, quindi 𝑧 1 , 𝑧 2 ,... 𝑧𝑚 sono i flussi di pagamento alle date 𝑡 1 , 𝑡 2 , 𝑡𝑚, voglio individuare il flusso di attivi e il flusso di passivi e voglio indicare l'operazione di crediti netti con la lettera x e l'operazione di debito con la lettera y. Che vuol dire che se poi farò x + y riotterrò z (che è fatto fagli attivi più i passivi ossia z= x + y).
Questo vuol dire in generale dato un flusso posso separare le quantità, questo mi può essere molto utile se voglio semplificare delle cose. Nel senso che noi vedremo adesso delle operazioni di base che coinvolgono operazioni più semplici perché saper scorporare, dividere o unire le operazioni, vuol dire trasformarle magari in operazioni più semplici, allora se sappiamo fare questo potremmo ricondurre operazioni più complesse ad operazioni più semplici. Definizioni fondamentali Ne studieremo 4 sono due tassi e sono due fattori, queste quattro grandezze sono le grandezze fondamentali di un'operazione finanziaria le definiremo prima separatamente vedremo poi che però sono tutte quante collegate tra di loro, quindi basterà conoscerne una per ricavare tutte quante le altre. Con funzione valore indichiamo il valore che assume un'operazione finanziaria ad una certa data, questo vuol dire che è una funzione che dipende dal tempo. La funzione valore la indicheremo allora con ∆𝑊(𝑡), sarà una grandezza che assume valore per t ≥0 quindi il campo di esistenza di questa funzione è l'intervallo 0 più infinito, e supporremo che la funzione sia monotona crescente del tempo che vuol dire se aumenta la durata dell'operazione finanziaria ci aspettiamo che il valore del nostro denaro aumenti e quindi dovrà essere una funzione crescente. Ora supponiamo di considerare due date: T e T + τ, che vuol dire che la durata di questa operazione finanziaria è la differenza tra data è durata, cioè la data è un istante, mentre la durata è quanto tempo intercorre tra due date. Per definire la durata servono almeno due date, se le due date sono T e T + τ , la durata è τquindi vuol dire che la lunghezza di questo intervallo è τ. Abbiamo detto che con W indichiamo la funzione valore, se faccio la differenza W(T+ ) - W(T), cioè faccio ilτ valore alla scadenza meno il valore iniziale ho la variazione del capitale, quella quantità si chiama interesse. Quindi ∆𝑊(𝑡)rappresenta l'incremento della funzione valore, in questo esempio l'incremento è di 10, perché W(T+ ) è 100 e W(T), questa quantità prende il nome di interesse.τ Graficamente è una funzione crescente, e fare la differenza vuol dire qual è questa variazione quindi è l’incremento sull’asse delle ordinate. La funzione valore dipende dal tempo quindi sull’ascissa c'è il tempo e sull'ordinata c'è la funzione W quindi l'interesse è l'incremento della funzione. Quando si studiano le variazioni, le variazioni assolute così non hanno molta informazione, per avere maggiore informazione vanno espresse le variazioni relative, relative a qualche cosa. Noi qua siamo interessati a sapere quanto varia il capitale rispetto a che cosa? A quello che abbiamo investito all'inizio quindi rispetto a quello che abbiamo investito all’inizio quindi rispetto al tempo iniziale in questo caso quindi rispetto a W(t). Tasso di interesse Se vado a considerare ∆𝑊(𝑡)che è l'incremento, è l'interesse, e lo divido per il valore iniziale W(t) ho una quantità che si chiama tasso di interesse o anche tasso di rendimento. Cioè mi dice per ogni euro che ho investito quanto in più mi viene dato, questa grandezza è adimensionale cioè la sua unità di misura se al ho gli euro e al denominatore ho gli euro è come se si semplificassero, quindi si dice che è una grandezza adimensionale cioè che non ha dimensione.
Tasso di sconto Quando parliamo di attualizzazione stiamo chiedendo di anticipare del denaro, che cosa vogliamo andare a vedere? Vogliamo andare a vedere che su ogni euro che avremmo disponibile alla scadenza (quindi alla fine), se chiediamo di anticiparci i soldi, quanto ci viene tolto su ogni euro? Facciamo un esempio dove abbiamo sempre T e T + τ, questa volta dove però abbiamo i 100 euro alla scadenza mentre oggi ci danno 90 euro. Quindi alla fine dell’operazione ci avrebbero dato 100, ma chiediamo di anticiparli e ce ne danno 90. Il ∆𝑊(𝑡)a quanto è uguale? Al valore alla scadenza 100$ - 90$ = 10$ Se vado a calcolare la quantità che è definita come tasso di sconto o anche tasso di interesse anticipato (d), questa quantità è definita come la variazione della funzione valore (interesse) diviso il valore alla scadenza: Cioè su ogni euro che avevamo disponibile alla scadenza ci vengono tolti 10 centesimi, quindi è una quantità analoga al tasso di interesse, che però da un'informazione non su quanto in più ci viene dato ma quanto è meno ci viene dato se chiediamo di anticipare il denaro. Anche questa quantità è una quantità adimensionale, è un tasso e quindi viene espressa in forma percentuale (%). Fattore di sconto o fattore di attualizzazione Come abbiamo detto per il tasso di interesse e per il fattore montante anche qua per l'operazione di anticipazione come abbiamo definito un tasso così dobbiamo definire un fattore, il fattore che andremo a considerare si chiama fattore di sconto o fattore di attualizzazione. Il fattore ci dà l’informazione su quanto complessivamente ci viene restituito, quindi questa volta l’operazione è che alla scadenza avevamo disponibili 100$, oggi ce ne danno 90$, quindi vuol dire che ce ne hanno dati 90/100, cioè 0,9. Cioè su un euro che avevamo disponibile alla scadenza ce ne resitutiscono 90 centesimi, quindi ci anticipano 90 centesimi. Quindi il fattore di sconto ci dice su ogni euro disponibile alla scadenza quanto ci viene anticipato. Il fattore di sconto è una quantità adimensionale, è positiva perché è il rapporto tra quantità positive, ma è una quantità sempre minore di 1, perché il numeratore è minore del denominatore perché la funzione è strettamente crescente quindi il valore oggi sarà sempre inferiore al valore futuro. Da questa relazione possiamo fare delle considerazioni, se porto il denominatore al primo membro otteniamo che: W(t) = W(T + τ) x v(t, t + τ) Cioè posso dire che il fattore di sconto (v) è la quantità che moltiplicata per il valore alla scadenza restituisce il valore attuale. Infatti se moltiplico 100 x 0,9 ottengo 90 che è quello che oggi mi viene dato. C’è una relazione tra il fattore di sconto e il fattore montante? Certamente, perché il fattore montante è il fattore alla scadenza diviso il valore attuale: m = 𝑊(𝑇 + τ)𝑊(𝑇) Rispetto al fattore di sconto è il reciproco, cioè che il numeratore e il denominatore sono invertiti: v = (^) 𝑊( 𝑇 + τ)𝑊(𝑇) Quindi vuol dire che il fattore montante m è uguale ad 1 diviso il fattore di attualizzazione o sconto: m = (^1) 𝑣, cioè vuol dire che il fattore montante moltiplicato per il fattore di attualizzazione è uguale ad 1: m x v = 1 Ad esempio se prendiamo 2 istanti temporali T e T + τ, e investiamo 1 euro, se investo 1 euro e quindi lo voglio portare avanti nel tempo per determinare il valore alla scadenza che devo fare?
Se lo moltiplichiamo per il fattore montante abbiamo il valore alla scadenza, quindi 1 x m, vuol dire che qui avrò un importo pari ad m: Adesso mettiamoci alla scadenza, la quantità m è un importo, lo voglio riportare indietro nel tempo cioè voglio attualizzare, chiedo di anticiparlo. Per quello che abbiamo appena detto sappiamo che il valore oggi è dato dal valore alla scadenza moltiplicato per il fattore di sconto. Il valore alla scadenza è m, lo devo moltiplicare per il fattore di sconto: m x v Ma se ho 1 euro e lo porto avanti nel tempo e poi lo riporto indietro, sempre 1 devo ottenere e quindi ho 1: m x v = 1 Conosciamo la relazione tra il fattore montante e il fattore di sconto, conosciamo la relazione tra il fattore montante e il tasso di interesse, adesso troviamo la relazione tra tasso di sconto e fattore di attualizzazione: m(T, T + τ) = 1 + j(T, T + τ) , quindi il fattore montante è uguale ad 1 + il tasso di interesse. Il fattore montante è il reciproco del fattore di sconto: m(T, T + τ) = (^) 𝑣(𝑇, 𝑇 + τ)^1 Il tasso di sconto l’abbiamo definito come la variazione della funzione valore diviso il valore alla scadenza: d(T, T + τ) = (^) 𝑊(𝑇 + τ)∆𝑊(𝑇) Ma ∆𝑊(𝑇)ossia l’interesse è il valore alla scadenza meno il valore iniziale: ∆𝑊(𝑇) = W(T + τ) - W(T), quindi otteniamo: 𝑊(𝑇 + τ) − 𝑊(𝑇)𝑊( 𝑇 + τ) , da qui separiamo la frazione: 𝑊(𝑇 + τ)𝑊(𝑇 + τ) - (^) 𝑊(𝑇 + τ) 𝑊(𝑇) , da qui: 1 - v(T, T + τ) Infatti abbiamo detto che il tasso di sconto è quanto ci viene tolto, mentre il fattore di sconto è quanto ci viene dato. Quindi il tasso di sconto è 1 - il fattore di sconto, o anche il fattore di sconto è uguale ad 1 - il tasso di sconto: v(T, T + τ) = 1 - d(T, T + τ) L’ultima relazione che dobbiamo dare è quella tra il tasso di interesse e il tasso di sconto: Partiamo dal tasso di sconto che sappiamo essere uguale ad 1 - il fattore di sconto: d(T, T + τ) = 1 - v(T, T + τ) Ma il fattore di sconto è uguale ad 1 diviso il fattore montante: v(T, T + τ) = (^) 𝑚(𝑇, 𝑇 + τ)^1 , quindi sostituiamo: d(T, T + τ) = 1 - (^) 𝑚(𝑇, 𝑇 + τ)^1 , facciamo il minimo comune multiplo e avremo: 𝑚(𝑇, 𝑇 + τ) − 1𝑚(𝑇, 𝑇 + τ) , ma il fattore montante è uguale ad 1 + il tasso di interesse quindi avremo: 1 + 𝑖(𝑇, 𝑇 + τ) − 11 + 𝑖(𝑇, 𝑇 + τ) , da qui 1 e -1 al numeratore si tolgono e quindi avremo: 𝑖(𝑇, 𝑇 + τ) 1 + 𝑖(𝑇, 𝑇 + τ) Quindi il tasso di sconto è uguale al tasso di interesse diviso 1 + il tasso di interesse: d(T, T + τ) = (^) 1 + 𝑖(𝑇, 𝑇 + τ)𝑖(𝑇, 𝑇 + τ) Facciamo un esempio, consideriamo 2 date ma non esprimo il tempo, supponiamo di investire 98$ e di averne alla scadenza 115$, quindi: W(T) = 98 W(T + τ) = 115 ∆𝑊(𝑇) = 115 - 98 = 17 Il fattore montante è uguale: m(T, T + τ) = 𝑊(𝑇 + τ)𝑊(𝑇) = 11598 = 1, Il tasso di interesse lo possiamo calcolare in 2 modi:
Legge degli interessi semplici Fino ad ora noi abbiamo considerato operazioni su solo 2 date, la data di stipula del contratto e la data di scadenza, adesso supponiamo questo intervallo di tempo di suddividerlo in tanti sotto intervalli e quindi di interrompere l’operazione e passare poi all’istante successivo. E’ come dire invece di considerare 1 anno considero 12 mesi e vedo cosa succede alla fine di ogni mese. Quindi invece di avere una sola operazione avremo m date ed m - 1 intervalli, e supponiamo di investire o di contrarre un prestito di importo S. Invece di vedere direttamente dopo m anni che cosa succede, portiamolo dopo 1 anno, dopo 2 anni, dopo 3 anni fino ad arrivare ad m. Il valore dell’operazione al tempo 0 è S, gli interessi abbiamo detto che se il tasso di interesse relativo al periodo è I moltiplicando il capitale iniziale per l’importo abbiamo gli interessi. i S sono gli interessi prodotti dopo un periodo, quindi dopo 1 anno avrò l’importo S più gli interessi su S. Se metto in evidenza tra queste 2 quantità l’importo S ottengo: Supponiamo adesso che invece di essere passato solo un anno ne siano passati 2: Se i x S è l'interesse che matura in un anno, in due anni quanto avrò avuto? Due volte gli interessi quindi due volte i S però quello che avevo continuo ad averlo all'inizio quindi, metto di nuovo la S in evidenza e ottengo: E così via, se andiamo avanti e facciamo quest'operazione su ogni istante all'istante k che cosa avrò? Avrò l'importo iniziale S + più sono passati k anni quindi k volte i S: Alla scadenza saranno passati m anni e quindi l'importo iniziale S + m volte gli interessi, mettiamo in evidenza S che moltiplica 1 + m per i: Quindi questa si chiama la legge degli interessi semplici e la sua caratteristica è che gli interessi vengono calcolati solo sul capitale iniziale, non vengono considerati gli interessi che in effetti mano mano già maturano. La differenza tra due termini successivi (ad esempio W(2) - W(1)) è costante ed è uguale ad i S, o possiamo dire anche che ogni elemento è uguale al precedente più i S, si dice che la successione di questi termini è una progressione aritmetica di ragione i S: Una progressione aritmetica è una successione di termini in cui la differenza tra due termini successivi e sempre costante. Questa legge: è la legge o regime degli interessi semplici. Perché si chiama regime degli interessi semplici? L'interesse in questo caso è dato da: S(k i), quindi gli interessi sono tasso di interesse per il capitale iniziale per la durata dell'operazione. Si chiama regime degli interessi semplici o anche regime degli interessi lineari perché l'interesse è lineare, se il tempo raddoppia gli interessi raddoppiano, se il tempo triplica gli interessi triplicano, se tempo si dimezza gli interessi si dimezzano: Da questa relazione possiamo interpretare S come il valore iniziale e W(k) come il valore finale (il montante), quindi possiamo calcolare anche il valore iniziale S se conosciamo quello finale, perché S = (^) 1 + 𝑘 𝑖^ 𝑊(𝑘). Quindi una volta che conosciamo la legge di capitalizzazione conosciamo anche come attualizzare. Noi abbiamo detto che i è il tasso d'interesse annuo dell'operazione (quello fissato contrattualmente) però adesso andiamo a calcolare gli interessi che realmente sono stati prodotti istante per istante.
Il tasso di interesse è definito come l'interesse diviso il valore a inizio periodo, andiamo a considerare tutti quanti gli intervalli e prendiamo ad esempio il tempo k-1 e k. Nel periodo k - 1 il valore all'inizio sarà W(k-1), se voglio andare a calcolare il tasso di interesse relativo a questo periodo che cosa devo andare a fare? Gli interessi prodotti diviso il valore dell'operazione inizio periodo, gli interessi prodotti sono I grande (che sarebbe i S) e al denominatore dobbiamo mettere il valore dell'operazione a inizio periodo, quindi otteniamo che sopra rimane I e al denominatore la funzione valore è il capitale iniziale S + k-1 volte gli interessi perché al tempo k-1 abbiamo prodotto k-1 interessi: All’aumentare di k che cosa succede a questa frazione? Visto che tutte le altre quantità sono costanti, quindi se k aumenta cioè aumenta la durata dell'operazione la frazione diminuisce perché il denominatore aumenta e la frazione diminuisce, cioè il tasso di interesse relativo a ogni singolo periodo manomano diventa più piccolo ed è ovvio questo perchè noi non stiamo reinvestendo gli interessi maturati, quindi più passa il tempo cioè più è lunga la durata dell'operazione più a noi questo regime non conviene perché in teoria avremo già un sacco di interessi, ma che non stiamo andando a considerare. Legge degli interessi composti Visto che nel regime precedente abbiamo visto che gli interessi maturati non capitalizzano, adesso invece cerchiamo di utilizzare invece gli interessi che sono stati prodotti. Allora partiamo sempre dal tempo 0 in cui abbiamo l'importo S. Dopo un anno abbiamo prodotto gli interessi i S, e quindi possiamo dire che il valore sarà: S(1 + i). Adesso è come se andassimo in banca, prendessimo tutti i soldi e li riversiamo di nuovo sul conto corrente, quindi adesso gli interessi non li calcoliamo su quello che avevamo investito all'inizio ma su quello che abbiamo già. E noi abbiamo questa quantità: S(1 + i), quindi nel passaggio dal tempo uno al tempo due che cosa avremmo: il capitale iniziale (S(1-i)) più gli interessi calcolati sul capitale iniziale. Questi due termini hanno in comune S(1 + i), quindi se mettiamo in evidenza: Quindi al tempo 2 il capitale che avrò è: S(1 + i)^2. Continuiamo a fare questo, cioè ad ogni periodo reinvestire quello che ho tenuto al passo precedente, in questo modo alla scadenza, al tempo m, avrò un capitale pari al valore iniziale moltiplicato per 1 + i ^ m: Per ora abbiamo considerato m un numero intero di anni, ma se al posto di m mettiamo una qualunque t, cioè un valore t ≥0 possiamo esprimere il valore dell'operazione quale che sia la durata. Se andiamo a vedere i termini di questa successione: Se andiamo a fare la differenza non otteniamo un numero costante, quand'è che otteniamo un numero costante: Se facciamo il rapporto cioè la divisione tra due termini successivi: 𝑊(1)𝑊(0) = + i 𝑊(2)𝑊(1) = 1 + i, e così via Quindi se facciamo il rapporto tra due termini successivi otteniamo un valore costante, si dice che questi termini sono in progressione geometrica. Qual è il valore costante del rapporto? 1 + i
S = 𝑊(𝑇)1+ 𝑖𝑇 = W(T) x 1+ 𝑖𝑇^1 dove (^) 1+ 𝑖𝑇^1 è il fattore di sconto Quindi abbiamo visto già in tutti e 2 i regimi sia come si capitalizza e sia come si attualizza. Ma ci potrebbe anche chiedere: Avete investito 100$ che vi hanno restituito 125$ in 3 anni e mezzo, qual è il tasso di interesse che ci hanno applicato? Se vado a sostituire questi valori nelle 2 leggi, nel regime degli interessi semplici abbiamo: 125 = 100(1 + i x 3,5) Mentre nel regime dell’interesse composto otteniamo: 125 = 100(1 + 𝑖) 3, L’unica incognita sono i tassi di interesse: Nel regime dei tassi di interesse semplice otteniamo: 100125 = 1 + 3,5 x i 1,25 - 1 = 3,5 x i 0,253,5 = i 7,1429% Nel caso del regime degli interessi composti: 100125 =(1^ +^ 𝑖) 3, 1,25 = (1 + 𝑖) , da qui elevo per 3,5 (^1) 3, (1, 25) = 1 3,5 (^) (1 + 𝑖)3,5 𝑥^ 1 3, (1, 25) = 1 + i 1 3, i = ( 1, 25) - 1 1 3, i = 6,5832% Adesso, per quanto tempo dobbiamo investire 100$ per ottenere 115$ se il tasso di interesse applicato è del 5%? RIS: 115 = 100(1 + 0,05T) (^115100) = 1 + 0,05T 1,15 - 1 = 0,05 T T = 0,150,05= 3 RIC: 115 = 100(1 + 0, 05) 𝑇 (^115100) =1, 05 𝑇 1,15 = 1, 05 𝑇 ln(1,15) = ln(1, 05) 𝑇 Tln(1,05) T = 𝑙𝑛(1,15)𝑙𝑛(1,05)= 2,8646 che sarebbero 2,8646 anni ossia 2 anni + 0,8646 mesi 12 𝑥^ = 0, x = 0,8646 x 12 = 10, 10,3752 x 30 = 12 giorni che sarebbero: 2 anni, 10 mesi, 12 giorni Graficamente:
Abbiamo detto che esiste una quantità che si chiama intensità di interesse, allora se consideriamo tre date: Consideriamo l'istante 𝑇 0 in cui stipuliamo il contratto e abbiamo un valore 𝑊(𝑇 0 )quello che noi abbiamo investito, vogliamo andare a vedere se prendiamo due istanti successivi T e T + τche cosa succede soltanto relativamente a questi 2 istanti, con le rispettive funzioni valore W(T) e W(T + τ): Si dice che questa è un'operazione di proseguimento nel senso che tutto è iniziato prima, quello che succede al tempo T è il proseguimento di quello che è già iniziato prima. L’intensità di interesse l’abbiamo definita con la quantità: γ (T, T + τ) 𝑗(𝑇, 𝑇 + τ)τ , ma chi è il tasso di interesse? Il tasso di interesse lo abbiamo definito come la variazione della funzione valore diviso il valore a inizio periodo e tutto quanto diviso la durata dell’operazione: Che possiamo scrivere anche come: Questa quantità mi dice quanto stanno crescendo gli interessi nell'unità di tempo in relazione a quello che ho a inizio periodo. Intensità istantanea di interesse C'è una quantità molto importante che è l'intensità istantanea di interesse, questa che abbiamo definito è per qualunque durata τ. Se io voglio vedere istantaneamente quindi istante per istante proprio, quanto velocemente crescono gli interessi, che cosa devo fare? Devo far diventare questo τil più piccolo possibile, cioè lo devo fare tendere a zero, ora poiché τè a denominatore non può assumere proprio il valore zero quindi si fa l'operazione in matematica di passaggio al limite cioè vado a considerare il limite per τche tende a 0 di questa quantità: Questa quantità si chiama forza di interesse o intensità istantanea. Al numeratore ci W(T + τ) - W(T) che però sono divise per τquindi entrambe dipendono da τ, l'unica quantità che non dipende da τè il W(T) che sta denominatore cioè questo lo possiamo scrivere: E la quantità cerchiata non dipende da τ. La prima frazione ci dice che è un rapporto incrementale, è l'incremento della funzione diviso l'incremento della variabile indipendente, e il limite del rapporto incrementale è la derivata prima.
Quindi vediamo come definire il tasso di interesse su unità di misura del tempo diverse, fare questo vuol dire definire dei tassi equivalenti, perché equivalenti? Perché se cambio l'unità di misura del tempo voglio che comunque i due tassi mi diano lo stesso valore altrimenti non ho fatto una conversione ne ho definito proprio un altro punto e basta. Allora due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante se calcolati per la stessa durata dell’operazione finanziaria. Questo vuol dire che se io considero un'operazione di un anno e uso il tasso di interesse annuo o il tasso di interesse mensile per essere equivalenti devono produrre lo stesso montante, ora poiché il modo in cui il montante si produce dipende dal regime che utilizziamo vuol dire che saranno diverse le formule con cui calcoliamo i tassi equivalenti nel regime dell'interesse semplice e nel regime dell'interesse composto. Iniziamo con la notazione: Se consideriamo la frazione 1 emmesimo vuol dire che in 1 anno ci saranno m periodi, se m è 12, un dodicesimo è la frazione quindi mensile, in un anno ci sono 12 mesi. Allora se tassi sono equivalenti se producono lo stesso montante, che cosa devo fare? Se uso il tasso di interesse annuo dico che la durata è uguale ad 1, se uso il tasso di interesse 𝑖 1 vuol dire che 1 𝑚 anno è fatto da m periodi. Per trovare tassi equivalenti devo imporre che producano lo stesso montante. Supponiamo di investire un capitale pari a €1, iniziamo dal regime dell'interesse semplice: il montante se investo €1 per un anno al tasso annuo sarà uguale a uno che moltiplica 1 + il tasso di interesse moltiplicato per 1 perché la durata è un anno. Se invece uso il tasso di interesse frazionato avrò che il montante sarà €1, che è quello che investo, che moltiplica 1 più il tasso di interesse i di 1 emmesimo 1 e in un anno il tempo che è uguale m: Per essere equivalenti questi due tassi di interesse devono essere uguali i montanti prodotti quindi deve valere l'uguaglianza, cioè deve essere: o se conosco il tasso annuo: Quindi nel regime dell’interesse semplice è abbastanza facile calcolare i tassi equivalenti, ad esempio:
Nel regime degli interessi composti di nuovo dobbiamo esprimere l'equivalenza tra i due montanti, siamo sempre nel caso di €1 investito per un anno. Se uso il tasso di interesse annuo avrò che il montante è: Se uso il tasso di interesse sulla frazione di anno il montante sarà: , perché in 1 anno ci sono m periodi, moltiplicato per 1 che è il capitale iniziale. Per essere equivalenti queste due quantità deve valere l'uguaglianza, cioè deve essere: Questo vuol dire che il tasso hanno sarà uguale ad 1 più il tasso di interesse frazionato ^ m -1: Se invece conosco il tasso di interesse annuo è l'incognita è questa quantità, cioè il tasso di interesse frazionato, devo eliminare quella m all'esponente cioè devo elevare primo e secondo membro ad 1/m, cioè: La cosa importante è che: Quindi riepilogando, facendo riferimento al tasso annuo:
