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C. di L. in Economia Aziendale e Economia e Amministrazione delle Imprese
Prima prova intermedia di Statistica - Sede di Pordenone - 30 aprile 2003
COMPITO ♥
Quesito n. 1
Una azienda conta 2000 lavoratori: 1200 sono donne, i restanti sono uomini. Nel corso dell’anno sono state effettuate delle promozioni (avanzamenti di carriera), in particolare 500 lavoratori sono stati promossi, di questi 250 erano donne. Si calcoli la probabilit`a che un lavoratore scelto a caso
a) sia stato promosso;
b) non sia stato promosso e sia uomo;
c) sia un donna sapendo che `e stato promosso.
Si dica infine se gli eventi ”il lavoratore e non stato promosso” e ”il lavoratoree uomo” sono indipendenti.
Quesito n. 2
Una ditta si rivolge a tre fornitori per l’acquisto di alcuni prodotti. Nella tabella che segue vengono indicati, per ciascun fornitore, le percentuali di prodotti integri e di prodotti con difetti.
Prodotti integri Prodotti con difetti Fornitore A 97 3 Fornitore B 90 10 Fornitore C 96 4
E’ noto inoltre che il 30% dei prodotti acquistati proviene dal fornitore A, il 50% dal fornitore B e il restante 20% dal fornitore C. Si supponga di estrarre a caso un prodotto e di averlo trovato con difetti, qual e la probabilita che sia stato acquistato dal fornitore C?
Quesito n. 3
Facendo riferimento ai dati del quesito 1 si supponga di estrarre dai 2000 lavoratori un campione casuale semplice di 10 lavoratori. Si `e interessati ai lavoratori maschi.
a) Si scriva la funzione di probabilita della variabile aleatoria che conta il numero di lavoratori maschi, fra i 10 estratti; la variabile sceltae un tipo di variabile aleatoria nota? Se s`ı, quale (la si descriva brevemente)?
b) Si calcoli la media e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria individuata al punto precedente.
c) Si calcoli la probabilit`a che: un lavoratore sia maschio; al massimo uno sia maschio; nessuno sia maschio.
Quesito n. 4
Si assuma che un certo processo produttivo sia programmato per produrre componenti dal peso di 20 grammi. Sulla base di controlli fatti in passato e noto che il peso effettivo ha una distribuzione normale con media μ = 20.5 grammi e un scarto quadratico medio σ 1 = 1.5. Un pezzoe considerato difettoso se il suo peso e esterno nell’intervallo (μ − 2 ∗ σ 1 , μ + 2 ∗ σ 1 ). Si calcoli la probabilita di ottenere un pezzo difettoso. Si supponga di ridurre lo scarto quadratico medio a σ 2 = 1.2, supponendo di considerare l’intervallo precedente, (μ − 2 ∗ σ 1 , μ + 2 ∗ σ 1 ), come cambia la probabilita di ottenere un pezzo difettoso? Si parli brevemente della variabile aleatoria normale indicandone le principali proprieta.
COMPITO ♦
Quesito n. 1
Una azienda conta 1000 lavoratori: 200 sono donne, i restanti sono uomini. Nel corso dell’anno sono state effettuate delle promozioni (avanzamenti di carriera), in particolare 300 lavoratori sono stati promossi, di questi 50 erano donne. Si calcoli la probabilit`a che un lavoratore scelto a caso
a) sia donna;
b) sia stato promosso e sia uomo;
c) sia un donna sapendo che non `e stato promosso.
Si dica infine se gli eventi ”il lavoratore e non stato promosso” e ”il lavoratoree donna” sono indipendenti.
Quesito n. 2
Una ditta si rivolge a tre fornitori per l’acquisto di alcuni prodotti. Nella tabella che segue vengono indicati, per ciascun fornitore, le percentuali di prodotti integri e di prodotti con difetti.
Prodotti integri Prodotti con difetti Fornitore A 90 10 Fornitore B 92 8 Fornitore C 95 5
E’ noto inoltre che il 50% dei prodotti acquistati proviene dal fornitore A, il 30% dal fornitore B e il restante 20% dal fornitore C. Si supponga di estrarre a caso un prodotto e di averlo trovato con difetti, qual e la probabilita che sia stato acquistato dal fornitore B?
Quesito n. 3
Facendo riferimento ai dati del quesito 1 si supponga di estrarre dai 1000 lavoratori un campione casuale semplice di 6 lavoratori. Si `e interessati ai lavoratori che non hanno avuto una promozione.
a) Si scriva la funzione di probabilita della variabile aleatoria che conta il numero di lavoratori che non sono stati promossi, fra i 6 estratti; la variabile sceltae un tipo di variabile aleatoria nota? Se s`ı, quale (la si descriva brevemente)?
b) Si calcoli la media e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria individuata al punto precedente.
c) Si calcoli la probabilit`a che: un lavoratore non sia stato promosso; al massimo uno non sia stato promosso; tutti siano stati promossi.
Quesito n. 4
Si assuma che un certo processo produttivo sia programmato per produrre componenti dal peso di 15 grammi. Sulla base di controlli fatti in passato e noto che il peso effettivo ha una distribuzione normale con media μ = 15.2 grammi e un scarto quadratico medio σ 1 = 1.2. Un pezzoe considerato non difettoso se il suo peso e compreso nell’intervallo (μ − σ 1 , μ + σ 1 ). Si calcoli la probabilita di ottenere un pezzo non difettoso. Si supponga di ridurre lo scarto quadratico medio a σ 2 = 1, supponendo di considerare l’intervallo precedente, (μ − σ 1 , μ + σ 1 ), come cambia la probabilita di ottenere un pezzo non difettoso? Si parli brevemente della variabile aleatoria normale indicandone le principali proprieta.
COMPITO ♠
Quesito n. 1
Una azienda conta 2000 lavoratori: 800 sono donne, i restanti sono uomini. Nel corso dell’anno sono state effettuate delle promozioni (avanzamenti di carriera), in particolare 300 lavoratori sono stati promossi, di questi 100 erano uomini. Si calcoli la probabilit`a che un lavoratore scelto a caso
a) non sia stato promosso;
b) sia stato promosso e sia donna;
c) sia stato promosso sapendo che `e una donna.
Si dica infine se gli eventi ”il lavoratore e stato promosso” e ”il lavoratoree donna” sono indipendenti.
Quesito n. 2
Una ditta si rivolge a tre fornitori per l’acquisto di alcuni prodotti. Nella tabella che segue vengono indicati, per ciascun fornitore, le percentuali di prodotti integri e di prodotti con difetti.
Prodotti integri Prodotti con difetti Fornitore A 95 5 Fornitore B 92 8 Fornitore C 90 10
E’ noto inoltre che il 20% dei prodotti acquistati proviene dal fornitore A, il 50% dal fornitore B e il restante 30% dal fornitore C. Si supponga di estrarre a caso un prodotto e di averlo trovato senza difetti, qual e la probabilita che sia stato acquistato dal fornitore C?
Quesito n. 3
Facendo riferimento ai dati del quesito 1 si supponga di estrarre dai 2000 lavoratori un campione casuale semplice di 10 lavoratori. Si `e interessati ai lavoratori donne.
a) Si scriva la funzione di probabilita della variabile aleatoria che conta il numero di lavoratori donne, fra i 10 estratti; la variabile sceltae un tipo di variabile aleatoria nota? Se s`ı, quale (la si descriva brevemente)?
b) Si calcoli la media e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria individuata al punto precedente.
c) Si calcoli la probabilit`a che: un lavoratore sia donna; al massimo uno sia donna; nessuno sia donna.
Quesito n. 4
Si assuma che un certo processo produttivo sia programmato per produrre componenti dal peso di 18 grammi. Sulla base di controlli fatti in passato e noto che il peso effettivo ha una distribuzione normale con media μ = 18.5 grammi e un scarto quadratico medio σ 1 = 1.3. Un pezzoe considerato non difettoso se il suo peso e compreso nell’intervallo (μ − 2 ∗ σ 1 , μ + 2 ∗ σ 1 ). Si calcoli la probabilita di ottenere un pezzo non difettoso. Si supponga di ridurre lo scarto quadratico medio a σ 2 = 1, supponendo di considerare l’intervallo precedente, (μ − 2 ∗ σ 1 , μ + 2 ∗ σ 1 ), come cambia la probabilita di ottenere un pezzo non difettoso? Si parli brevemente della variabile aleatoria normale indicandone le principali proprieta.
C. di L. in Economia Aziendale e Economia e Amministrazione delle Imprese
Prima prova intermedia di Statistica - Sede di Pordenone - 30 aprile 2003
Soluzioni sintetiche - COMPITO ♥
Nota: viene presentata la soluzione di uno dei quattro compiti dato che sono molto simili tra loro.
Quesito n. 1
Dai dati dell’esercizio `e possibile individuare la tabella che segue (PR=promosso, P R= non promosso, U=uomo, D=donna)
PR P R¯ U 250 550 800 D 250 950 1200 500 1500 2000
calcolando poi le probabilit`a come casi favorevoli su casi possibili.
a) P (P R) =
= 0.25; b) P (P R ∩ U ) =
= 0.275 ; c) P (D|P R) =
P (D ∩ P R)
P (P R)
250 2000 500 2000
Se gli eventi P R e U fossero indipendenti si avrebbe che
P (P R ∩ U ) = P (P R) × P (U )
oppure P (P R|U ) = P (P R).
Ma:
P (P R ∩ U ) =
= 0. 275 6 = P (P R) × P (U ) =
×
oppure
P (P R|U ) =
550 2000 800 2000
= 0. 6875 6 = P (P R) =
Quindi gli eventi considerati non sono indipendenti.
Quesito n. 2
”Traducendo” le percentuali il probabilit`a si ha che:
P (A) = 0. 3 P (B) = 0. 5 P (C) = 0. 2 P (I|A) = 0. 97 P (D|A) = 0. 03 P (I|B) = 0. 90 P (D|B) = 0. 10 P (I|C) = 0. 96 P (D|C) = 0. 04
(I=prodotto integro, D=prodotto con difetti) Utilizzando il Teorema di Bayes si ottiene la probabilit`a richiesta
P (C|D) =
P (C ∩ D)
P (D)
P (D|C) × P (C)
P (D|A) × P (A) + P (D|B) × P (B) + P (D|C) × P (C)
0. 04 × 0. 2
0. 03 × 0 .3 + 0. 1 × 0 .5 + 0. 04 × 0. 2
Quesito n. 3
C. di L. in Economia Aziendale e Economia e Amministrazione delle Imprese
Seconda prova intermedia di Statistica - Sede di Pordenone - 19 giugno 2003
Quesito n. 1 Si vuole condurre un’indagine sul numero medio di ore di sonno notturno in una popolazione di uomini adulti. A tal fine `e stato estratto, dalla suddetta popolazione, un campione di n=10 soggetti che ha fornito di seguenti risultati (i tempi sono espressi in ore).
- 9 , 7. 6 , 6. 5 , 6. 2 , 5. 3 , 7. 8 , 7. 0 , 5. 5 , 7. 6 , 6. 7
Facendo le opportune ipotesi sulla distribuzione del tempo si determini una stima non distorta per la media e la varianza. Si calcoli, inoltre, l’intervallo di confidenza, al 95%, per l’ignoto numero medio di ore di sonno notturno. Se e noto che il 12% della popolazione dorme meno di 6 ore e che il 3% dorme piu di 8 ore per notte cosa si pu`o dire dell’intervallo di confidenza precedentemente individuato? Quesito n. 2 Una associazione di albergatori vuole avere informazioni sulla percentuale di coloro che quest’anno spenderanno di meno per le loro vacanze rispetto allo scorso anno. A tal fine viene condotto un sondaggio telefonico su un campione di 500 famiglie alle quali viene chiesto ”Pensate di spendere di meno quest’anno per le vostre vacanze rispetto all’anno precedente?” Il risultato di tale sondaggio viene riassunto nella tabella che segue.
Famiglie S`ı No Non so Totale Rispondenti 200 150 50 400 Non rispondenti 0 0 0 100
a) Si proponga una stima della percentuale di famiglie che spenderanno di meno, rispetto all’anno precedente, per le loro vacanze. b) Si dica qual e lo scarto quadratico medio dello stimatore corrispondente e si proponga una sua stima sulla base dei dati osservati. c) Considerando la popolazione delle famiglie, si determini un intervallo di confidenza al 90% per l’ignota proporzione di coloro che non sanno se spenderanno di meno rispetto all’anno precedente. d) Si supponga che l’associazione in questione voglia condurre un sondaggio analogo l’anno successivo. A tale scopo si vuole fissare un’ampiezza campionaria n tale che l’errore di stima sia al massimo pari a 0.05 con una probabilita pari a 0.95. Si determini n sia sulla base della stima per p individuata al punto a), sia considerando p = 0.5 e si commenti il risultato ottenuto. Quesito n. 3 La spesa media delle famiglie americane e pari a 90 dollari al giorno (Fonte: American Demographics, 1997 ). In un campione di 25 famiglie della citta di Los Angeles si e trovato che la spesa media giornaliera ¯xe pari a 84.5 dollari con uno scarto quadratico medio campionario s di 14.5 dollari. a) Formulare il sistema di ipotesi che puo essere utilizzato per verificare se i dati campionari supportano l’idea che le famiglie della citta di New York hanno, in media, una spesa giornaliera diversa da quella delle famiglie americane. b) Dire, giustificando la risposta, qual e la statistica test da utilizzare in questo caso. c) Si spieghi, in generale, il significato dell’errore del primo tipo e dell’errore del secondo tipo. d) Individuare, al livello di significativita α = 0.1 la regione di accettazione del test. d) Sulla base dei dati campionari e del risultato del punto precedente a quali conclusioni si giunge? Quesito n. 4 Una ditta che vende prodotti on-line deve decidere se continuare a far spedire le proprie ordinazioni dal corriere di fiducia (Corriere Alfa) del quale e di fatto soddisfatta o se rivolgersi ad un corriere concorrente (Corriere Beta). L’addetto alle spedizioni decide di continuare a spedire con il corriere Alfa se il tempo medio di spedizionee lo stesso o inferiore a quello del corriere Beta, diversamente si rivolgera al corriere Beta. a) Si costruisca il sistema di ipotesi piu opportuno per questo tipo di problema. b) Supponendo di considerare due campioni di spedizioni ed ottenendo i risultati riassunti nella tabella che segue
Corriere Numerosit`a Campionaria Media campionaria s.q.m. campionario Alfa nA = 20 x¯A = 14.0 giorni sA = 3 giorni Beta nB = 30 x¯B = 12.5 giorni sB = 2 giorni
si dica, ad un livello di significativita α = 0.01 se l’ipotesi nulla formulata al punto precedente puo essere accettata o meno. Qual `e la statistica test da utilizzare? E quali sono le ipotesi che devono essere soddisfatte affinch´e possa essere utilizzata? c) Che decisione suggerireste, sulla base del risultato individuato al punto precedente, all’addetto alle spedizioni?
C. di L. in Economia Aziendale e Economia e Amministrazione delle Imprese
Prova completa di Statistica - Sede di Pordenone - 19 giugno 2003
Quesito n. 1 Una ditta che produce beni di largo consumo ha commissionato uno spot pubblicitario per il lancio di un nuovo tipo di detersivo ”ecologico”. Viene condotta un’indagine sui consumatori al fine di verificare l’efficacia dello spot. Sulla base di questa indagine e stato possibile assegnare delle probabilita ai seguenti eventi.
A = l’individuo ha acquistato il nuovo detersivo R = l’individuo ricorda di aver visto lo spot pubblicitario A ∩ R = l’individuo ha acquistato il nuovo detersivo e ricorda di aver visto lo spot pubblicitario
Le probabilita assegnate sono state: P (A) = 0.2, P (R) = 0.4, P (A ∩ R) = 0.12. a) Si calcoli la probabilita che un individuo acquisti il nuovo detersivo posto che ricordi il suo spot pubblicitario. b) Sulla base del risultato ottenuto al punto precedente e delle probabilita assegnate si puo dire che lo spot pubblicitario aumenta la probabilita di vendere il nuovo detersivo? Se foste voi il decisore suggerireste alla ditta di continuare lo spot (ammesso che i costi siano ragionevoli)? c) la ditta ha testato anche un altro tipo di spot ottenendo le seguenti probabilita P (R) = 0.3, P (A ∩ R) = 0.10. Come cambia la probabilita individuata al punto a) e quale spot sembra avere la maggiore efficacia? Quesito n. 2 Si assume che il quoziente intellettivo (IQ), in una certa popolazione, sia distribuito normalmente con media μ = 100 e scarto quadratico medio σ = 16. a) Quale la probabilita che un individuo scelto a caso abbia un IQ inferiore a 120? b) Quale la probabilita che un individuo scelto a caso abbia un IQ compreso fra 90 e 110? c) Quale l’IQ che verra superato solo dal 3% delle persone? Quesito n. 3 Si vuole condurre un’indagine sul numero medio di ore di sonno notturno in una popolazione di uomini adulti. A tal finee stato estratto, dalla suddetta popolazione, un campione di n=10 soggetti che ha fornito di seguenti risultati (i tempi sono espressi in ore).
- 9 , 7. 6 , 6. 5 , 6. 2 , 5. 3 , 7. 8 , 7. 0 , 5. 5 , 7. 6 , 6. 7
Facendo le opportune ipotesi sulla distribuzione del tempo si determini una stima non distorta per la media e la varianza. Si calcoli, inoltre, l’intervallo di confidenza, al 95%, per l’ignoto numero medio di ore di sonno notturno. Se e noto che il 12% della popolazione dorme meno di 6 ore e che il 3% dorme piu di 8 ore per notte cosa si pu`o dire dell’intervallo di confidenza precedentemente individuato? Quesito n. 4 Una associazione di albergatori vuole avere informazioni sulla percentuale di coloro che quest’anno spenderanno di meno per le loro vacanze rispetto allo scorso anno. A tal fine viene condotto un sondaggio telefonico su un campione di 500 famiglie alle quali viene chiesto ”Pensate di spendere di meno quest’anno per le vostre vacanze rispetto all’anno precedente?” Il risultato di tale sondaggio viene riassunto nella tabella che segue.
Famiglie S`ı No Non so Totale Rispondenti 200 150 50 400 Non rispondenti 0 0 0 100
a) Si proponga una stima della percentuale di famiglie che spenderanno di meno, rispetto all’anno precedente, per le loro vacanze. b) Si dica qual e lo scarto quadratico medio dello stimatore corrispondente e si proponga una sua stima sulla base dei dati osservati. c) Considerando la popolazione delle famiglie, si determini un intervallo di confidenza al 90% per l’ignota proporzione di coloro che non sanno se spenderanno di meno rispetto all’anno precedente. d) Si supponga che l’associazione in questione voglia condurre un sondaggio analogo l’anno successivo. A tale scopo si vuole fissare un’ampiezza campionaria n tale che l’errore di stima sia al massimo pari a 0.05 con una probabilita pari a 0.95. Si determini n sia sulla base della stima per p individuata al punto a), sia considerando p = 0.5 e si commenti il risultato ottenuto. Quesito n. 5 La spesa media delle famiglie americane e pari a 90 dollari al giorno (Fonte: American Demographics, 1997 ). In un campione di 25 famiglie della citta di Los Angeles si e trovato che la spesa media giornaliera ¯xe pari a 84.5 dollari con uno scarto quadratico medio campionario s di 14.5 dollari.
C. di L. in Economia Aziendale e Economia e Amministrazione delle Imprese
Prova completa di Statistica - Sede di Pordenone - 21 luglio 2003
Quesito n. 1 E stato chiesto a 200 studenti (100 maschi e 100 femmine) della Facolta di Economia di un’Universit`a italiana se intendono proseguire gli studi dopo la laurea di primo livello. 80 dei 100 maschi intervistati e 70 delle 100 femmine intervistate hanno risposto affermativamente.
a) Qual e la probabilita che uno studente non prosegua gli studi sapendo che `e maschio?
b) Qual e la probabilita che uno studente sia femmina sapendo che proseguir`a gli studi?
c) Si dica se gli eventi ”lo studente e maschio” e ”lo studente proseguira gli studi” sono incompatibili.
Quesito n. 2 In una indagine condotta da una banca e risultato che il 35% dei ragazzi con un’eta compresa fra 18 e 22 anni possiede un proprio conto corrente.
a) Qual e la probabilita che, in un campione casuale di 6 ragazzi, nessuno abbia un conto corrente.
b) Qual e la probabilita che, in un campione casuale di 10 ragazzi, almeno uno abbia un conto corrente.
c) Qual e la probabilita che, in un campione casuale di 100 ragazzi, la met`a abbia un conto corrente.
Quesito n. 3 Una associazione di consumatori vuole stimare la media della durata in vita delle lavastoviglie di marca Alfa. A tale scopo viene estratto un campione casuale semplice di ampiezza n = 10 dalla produzione di una certa giornata ottenendo i risultati che seguono (i dati sono espressi in anni).
- 5 , 8. 0 , 6. 2 , 7. 4 , 7. 0 , 8. 4 , 9. 5 , 4. 6 , 5. 0 , 7. 4
a) Si fornisca una stima non distorta della media e della varianza della durata in vita delle lavastoviglie di marca Alfa.
b) Dopo aver fatto opportune ipotesi sulla distribuzione della durata, si calcoli l’intervallo di confidenza, al 95%, per l’ignota varianza.
Quesito n. 4 Un addetto al controllo di qualit`a ha controllato un lotto di 500 pezzi estratti dalla produzione giornaliera. I risultati del controllo sono riportati nella tabella che segue.
Pezzi Numero Non difettosi 450 Difettosi 50 Totale 500
a) Si proponga una stima della proporzione di pezzi difettosi.
b) Si dica qual `e lo scarto quadratico medio dello stimatore corrispondente e si proponga una sua stima sulla base dei dati osservati.
c) Si calcoli l’intervallo di confidenza, ad un livello 1 − α = 0.9 per l’ignota proporzione di pezzi non difettosi.
d) Si supponga che l’addetto voglia ripetere il controllo di qualita su un altro campione di pezzi. A tale scopo di vuole fissare un’ampiezza campionaria n tale che l’errore di stima sia al massimo pari a 0.01 con una probabilita pari a 0.95. Si determini n sia sulla base della stima per p individuata al punto a), sia considerando p = 0.5 e si commenti il risultato ottenuto.
Quesito n. 5 Il Washington Post del 4 agosto 2000 riporta che in America le famiglie utilizzano Internet in media per 13 ore ogni mese. Un sondaggio analogo e stato effettuato in Canada su un campione di 145 famiglie. Nelle famiglie canadesi l’utilizzo di internete stato pari a 10.8 ore mensili con uno scarto quadratico medio di 9.2 ore.
a) Formulare il sistema di ipotesi che pu`o essere utilizzato per verificare se i dati campionari supportano l’idea che le famiglie canadesi utilizzano, in media, internet meno delle famiglie americane.
b) Dire, giustificando la risposta, qual `e la statistica test da utilizzare in questo caso.
c) Individuare, al livello di significativit`a α = 0.01 la regione di accettazione del test.
d) Calcolare il valore sperimentale del test.
e) Sulla base dei dati campionari e del risultato individuato al punto c) a quali conclusioni si giunge?
Quesito n. 6 Si faccia riferimento ai dati del quesito 3. Si supponga che l’associazione dei consumatori decida di analizzare la durata in vita delle lavastoviglie di un’altra marca, la marca Beta. Lo scopo `e quello di mettere a confronto le due marche: Alfa e Beta. Viene quindi estratto un campione casuale di ampiezza n = 15 dalla produzione di una certa giornata, ottenendo i risultati che seguono:
Marca Numerosit`a Campionaria Media campionaria s.q.m. campionario Beta nβ = 15 x¯β = 7.3 anni sβ = 1.6 anni
a) Si costruisca il sistema di ipotesi pi`u opportuno per questo tipo di problema.
b) Si dica, ad un livello di significativita α = 0.05 se l’ipotesi nulla formulata al punto precedente puo essere accettata o meno. Qual `e la statistica test da utilizzare? E quali sono le ipotesi che devono essere soddisfatte affinch´e possa essere utilizzata?
c) A quali conclusioni giunge l’associazione dei consumatori?
Quesiti teorici
Quesito n. 1 Il Teorema di Bayes Quesito n. 2 Lo stimatore varianza campionaria non distorta: definizione e propriet`a. Quesito n. 3 La verifica d’ipotesi per la proporzione p di una popolazione Bernoulliana, caso grandi campioni.
C. di L. in Economia Aziendale e Economia e Amministrazione delle Imprese -
Sede di Pordenone - 3 dicembre 2003
Esercizio 1. La probabilita di essere affetti da una certa patologia nella classe di eta 40-50 anni e pari a 0.05. Un test per la diagnosi di tale patologia risulta positivo nel 99% dei casi se una personae malata e nel 1% dei casi se una persona e sana. Si calcoli la probabilita che: a) il test dia luogo ad una diagnosi errata; b) una persona sia malata se il test indica che lo e. Esercizio 2. E’ noto che in una ditta la percentuale di lavoratori che hanno frequentato un corso di aggiornamentoe pari al 35%. Si supponga di estrarre un campione casuale di 12 lavoratori. a) Si scriva la funzione di probabilita della variabile aleatoria che conta il numero di lavoratori che hanno frequentato un corso di aggiornamento, fra i 12 estratti. b) Si calcoli la media e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria individuata al punto precedente. c) Si calcoli la probabilita che: nessun lavoratore abbia frequentato un corso di aggiornamento; che tutti lo abbiano frequentato. Come cambiano le probabilita al punto c) se il campione estrattoe di numerosita n = 150? Esercizio 3. Un’analisi statistica sulle chiamate extraurbane effettuate in un grosso studio commerciale mostra che la durata delle medesime segue una distribuzione normale di media μ = 240 secondi e di scarto quadratico medio σ = 40 secondi. a)Quale la probabilita che una chiamata duri meno di 180 secondi? b)Quale la probabilita che una particolare chiamata sia durata tra i 180 e i 300 secondi? c)Quale la durata di una chiamata se soltanto l’1% di tutte le chiamate e piu breve? Esercizio 4. L’ufficio per l’assistenza ai clienti di un’azienda municipale del gas vorrebbe stimare la durata media del tempo che intercorre tra la richiesta di assistenza e l’esecuzione del servizio. A tale proposito viene selezionato un campione casuale semplice di ampiezza n = 15 richieste, tratto dai dati relativi all’anno precedente ottenendo i risultati che seguono (i valori sono espressi in giorni)
1 , 3 , 5 , 2 , 3 , 7 , 5 , 2 , 4 , 5 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1.
a)Facendo le opportune ipotesi sulla distribuzione dei giorni che intercorrono tra richiesta ed esecuzione del servizio, si determini una stima non distorta per la media e la varianza. Si calcoli, inoltre, l’intervallo di confidenza, al 95%, per l’ignoto numero medio di giorni intercorrenti tra richiesta ed esecuzione del servizio. b) Nella carta dei servizi dell’azienda si garantisce che il numero medio di giorni intercorrenti tra richiesta ed esecuzione del servizio e pari a 3. Si dica se i dati supportano questa affermazione (si consideri un livello di significativita α = 0.05). Esercizio 5. Il direttore dell’ufficio pubblicita di una compagnia che produce, tra l’altro, cereali per la prima colazione vuole determinare se un nuovo tipo di confezione potrebbe migliorare le vendite dei prodotti. A tale scopo viene estratto un campione di 14 negozi dello stesso tipo, 7 vengono scelti casualmente come mercato di prova per la nuova confezione mentre gli altri 7 continueranno ad avere la vecchia. I risultati, relativi alle vendite settimanali, espressi in una opportuna unita di misura, vengono riassunti nella tabella che segue.
Nuovo 8 4 10 9 8 7 12 Vecchio 6 3 7 8 5 8 9
Al livello di significativit`a α = 0.01 vi sono elementi per sostenere che la nuova confezione abbia comportato un incremento delle vendite?
Quesiti teorici
Quesito n. 1 Si illustri la variabile aleatoria Normale. Quesito n. 2 Si enunci il Teorema del Limite centrale illustrandone poi le maggiori applicazioni in ambito inferenziale. Quesito n. 3 La stima intervallare.
