Scarica Prova di Esame di Statistica del 05.04.2018 - Testo A e B - Prof. Ricciardo Lamonica e più Prove d'esame in PDF di Statistica solo su Docsity!
STATISTICA - Prova di Esame del giorno 05. 04 .20 18 Testo A COGNOME ___________________ NOME ____________________ N. MATRICOLA ______ NOTA BENE. Tutto il materiale (fogli e copia del testo) consegnato all'inizio della prova deve essere riconsegnato al termine della stessa. La copia del testo va completata con i dati identificativi richiesti. In caso contrario la prova sarà ritenuta nulla. Esercizio 1 Data la seguente funzione di ripartizione della variabile statistica X : x x<3 (^3) x<6 6 x<8 8 x< 10 x 10 F(x) 0 0.3 0.5 0.8 1 Determinare l’indice di differenza media assoluta con ripetizione della variabile Y legata alla variabile X dalla seguente relazione: Y=X-7. Esercizio 2 Enunciare e dimostrare la proprietà di internalità della media potenziata. Esercizio 3 Date le seguenti distribuzioni di frequenza delle variabili X e Y: X p(x) Y p(y) x 1 0.3 y 1 0. x 2 0.2 y 2 0. x 2 0. Si costruisca la distribuzione congiunta (X;Y) sotto l’ipotesi di massima dipendenza. Esercizio 4 Siano A e B due eventi di un esperimento, con AB. Determinare la probabilità dell’evento B nell’ipotesi che A e B siano indipendenti. ( Suggerimento: partire dalla condizione di indipendenza e tenere conto del fatto che se AB allora AB=A) Esercizio 5 Da una popolazione X avente media e varianza ^2 , finite e ignote, viene estratto un campione casuale con ripetizione di n unità per stimare il parametro legato alla media della popolazione dalla seguente relazione (dove e sono due costanti note): =-
a) Utilizzando il metodo dei momenti individuare uno stimatore corretto di ; b) Determinare la varianza dello stimatore individuato al punto a); c) Verificare se lo stimatore individuato al punto a) è consistente per . Esercizio 6 Sia X una variabile aleatoria distribuita in modo Normale con parametri E(X)=μ e Var(X)=3. Estratto un campione casuale (X 1 , X 2 , X 3 ), si considerino le seguenti due ipotesi: H 0 : μ= 2 H 1 : μ= 1 Data la seguente regione di rifiuto dell’ipotesi nulla: R={Tn < 1.2} e la seguente statistica: Tn= 2 X 1 – 2 X 2 + X 3 a) Calcolare la media di Tn; b) Calcolare la varianza di Tn; c) Calcolare α (la probabilità di commettere un errore di primo tipo). ( Suggerimento : la statistica Tn è distribuita in modo Normale. Inoltre, alcuni quantili della distribuzione Normale standardizzata Z sono i seguenti: z0.5596=0.154, z0. 938 = 1. 54 , z0.95=1.64 5 , z0.957=1.721, z0.975=1.96, z0.985=2.17, z0.99=2.326, z0.998=2.86).
Esercizio 5 Da una popolazione X avente media e varianza ^2 , finite e ignote, viene estratto un campione casuale con ripetizione di n unità per stimare il parametro legato alla media della popolazione dalla seguente relazione: = 1 - 5 a) Utilizzando il metodo dei momenti individuare uno stimatore corretto di ; b) Determinare la varianza dello stimatore individuato al punto a); c) Verificare se lo stimatore individuato al punto a) è consistente per . Esercizio 6 Sia X una variabile aleatoria distribuita in modo Normale con parametri E(X)=μ e Var(X)=3. Estratto un campione casuale (X 1 , X 2 , X 3 ), si considerino le seguenti due ipotesi: H 0 : μ= 2 H 1 : μ= 1 Data la seguente regione di rifiuto dell’ipotesi nulla: R={Tn < 1.2} e la seguente statistica: Tn= 2 X 1 – 2 X 2 + X 3 a) Calcolare la media di Tn; b) Calcolare la varianza di Tn; c) Calcolare α (la probabilità di commettere un errore di primo tipo). ( Suggerimento : la statistica Tn è distribuita in modo Normale. Inoltre, alcuni quantili della distribuzione Normale standardizzata Z sono i seguenti: z0. 5596 = 0 .154, z0.938=1.54, z0.95=1.64 5 , z0.957=1.721, z0.975=1.96, z0.985=2.17, z0.99=2.326, z0.998=2.86).
