Introdurre il vettore riga x = (52, 54 , 56 , ..., 80), porre uguali ad 1 le componenti di indice 3 , 7 , 11 , 15 e calcolare le norme 1, 2 e ∞ del vettore x modificato.
Definire il vettore x=[1:-0.1:0] e comprendere il significato dei seguenti comandi Matlab:

a) x([1 4 3]); b) x([1:2:7 10])=zeros(1,5); c) x([1 2 5])=[0.5*ones(1,2) -0.3]; d) y=x(end:-1:1).

Definire la matrice

A =

e comprendere il significato dei seguenti comandi Matlab:

a) size(A); b) B=A.A; c) B=AA; d) B=A’A; e) B=AA’; f) A(1:2,4), A(:,3), A(1:2,:), A(:,[2 4]), A([2 3 3],:); g) A(3,2)=A(1,1); h) A(1:2,4)=zeros(2,1); i) A(2,:)=A(2,:)-A(2,1)/A(1,1)*A(1,:).

Introdurre la matrice A = [4, 8 , 10; − 1 , − 3 , −5], scambiare le colonne 1 e 3 e calcolare le norme 1, 2 e ∞ della matrice A modificata.
Generare la matrice triangolare superiore A di dimensione 10×10, con gli elementi della prima colonna uguali a 1, quelli della seconda colonna uguali a 2, quelli della terza uguali a 3 e ... quelli della decima uguali a 10. Quindi ridefinire gli elementi A(i, j) della parte triangolare inferiore in modo tale che A(i, j) = A(j, i). Denotata con B la matrice A modificata, verificare che B `e simmetrica.
Definire la matrice tridiagonale B di dimensione 10 × 10, i cui elementi della diagonale princi- pale sono tutti uguali a 5 e quelli delle codiagonali inferiore e superiore sono rispettivamente uguali a −1 e a 3. Quindi porre uguale a 2 gli elementi delle colonne 6 e 9 e delle righe 5 e 8.

Definire la matrice

A =

Successivamente generare le matrici

P 1 =

0 λ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

 ,^ P^2 =

 ,^ P^3 =

0 λ 0 1

con λ = 10, e calcolare i prodotti

a) L 1 = P 1 A e R 1 = A P 1 ; b) L 2 = P 2 A e R 2 = A P 2 ; c) L 3 = P 3 A e R 3 = A P 3.

Commentare i risultati. Generare infine le matrici Li e Ri, i = 1, 2 , 3, a partire dalla matrice A, senza utilizzare le matrici Pi, i = 1, 2 , 3.

Generare due matrici non singolari A e B di ordine n di numeri pseudo-casuali e verificare le seguenti propriet`a dell’operazione di inversione di matrici:

i) (AB)−^1 = B−^1 A−^1 ; ii) (AT^ )−^1 = (A−^1 )T^ ; iii) gli autovalori di A−^1 coincidono con i reciproci degli autovalori di A; iv) l’inversa di una matrice triangolare superiore (inferiore) e ancora una matrice triangolare superiore (inferiore); v) l’inversa di una matrice diagonalee ancora una matrice diagonale i cui elementi non nulli coincidono con i reciproci degli omonimi elementi della matrice di partenza.

Generare una matrice non singolare A di ordine n di numeri pseudo-casuali e verificare che la matrice B = AT^ A e simmetrica e definita positiva. Utilizzare poi la matrice B per verificare che una matrice simmetrica e definita positivae invertibile e la sua inversa `e anch’essa simmetrica e definita positiva.
Utilizzare il comando Matlab pi`u appropriato per rappresentare graficamente le seguenti funzioni: f (x) = tan(x), in [0, π/4] f (x) = tan(x), in [π/ 4 , π/2)

f (x) =

100(1 − 0. 01 x^2 )^2 + 0. 02 x^2 (1 − x^2 )^2 + 0. 1 x^2

, in [0. 1 , 100].

I seguenti numeri vengono introdotti in un calcolatore nel quale i numeri vengono rappresentati in aritmetica floating-point, con base N = 10 e t = 5 cifre riservate alla mantissa (tecnica di arrotondamento (ii)): a = 1. 483593 , b = 1. 484111. Utilizzare il comando chop di Matlab per determinare il risultato ¯s = ¯a ™ ¯b = fl(fl(a) − fl(b)), ove fl(x) indica l’operazione di arrotondamento, nella suddetta aritmetica, di x a numero