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Domanda individuale e di mercato
Esercizio 1 La funzione di utilità di Gianna, associata al consumo di cibo C e vestiario V, è data da U(C,V)=C^2 V^2 : a) Si supponga che il cibo abbia un prezzo unitario pari a 1 Euro e che il vestiario costi 3 Euro. Gianna ha un reddito pari a 12 Euro. Si scriva e rappresenti graficamente il vincolo di bilancio di Gianna. b) Qual è la quantità di cibo e vestiario che massimizza l'utilità di Gianna? A quanto ammonta l'utilità totale associata a tale paniere di consumo ottimo? c) Si supponga che Gianna acquisti 3 unità di cibo e 3 unità di vestiario con il suo reddito di 12 Euro. Il saggio marginale di sostituzione tra cibo e vestiario sarà maggiore o minore di quello che avete calcolato al punto (b)? Perché? d) Si supponga ora che sul cibo venga imposta una tassa e il prezzo del cibo aumenti del 20%. Individuate il nuovo paniere ottimale di Gianna. e) Si definiscano i concetti di effetto di sostituzione e di effetto di reddito. Si rappresentino su un grafico i due effetti a seguito dell'aumento del prezzo del cibo di cui al punto d). Soluzione a) Il vincolo di bilancio è dato da:! + 3 $ = 12. b) Si segnala che il saggio marginale di sostituzione quando l’utilità è massimizzata è quello in corrispondenza del paniere ottimale: ()( = *
Sappiamo però che l’SMS è il rapporto tra le due utilità marginali cioè, ()( = ./ 0 ./ 1
. Possiamo quindi riscrivere:
C
− (^1 )
V
Poiché 4), =V e 4)-=C, possiamo riscrivere: $ !
Questa relazione si può sostituire nel vincolo di bilancio: ! + 3 5 6 7 ∙^!^9 =^12 ⟹^2!^ =^12 ⟹^! ∗ (^) = 6 e quindi $∗^ =
L’utilità totale associata al paniere ottimale è, 4 ( 6 , 2 ) = 6 @^ ∙ 2 @^ = 36 ∙ 4 = 144 c) Il saggio marginale di sostituzione in corrispondenza del punto B(3,3) è pari a 1; pertanto in questo caso il saggio marginale di sostituzione risulta maggiore del valore della pendenza del vincolo di bilancio. In questo punto la pendenza della curva di indifferenza è maggiore rispetto al pendenza del vincolo di bilancio e alla pendenza della curva di indifferenza nel punto ottimo: è possibile aumentare l’utilità dell’individuo scambiando vestiti con cibo. Gianna sarebbe infatti disposta a rinunciare a 1 unità di vestiario per ricevere 1 unità addizionale di cibo, ma ai prezzi di mercato, per ottenere 1 unità aggiuntiva di cibo è sufficiente rinunciare a 6 7 unità di^ vestiti;^ Gianna scambia quindi^ vestiti per cibo^ fino ad arrivare al paniere ottimo B∗.
C
V
B∗
B
()(D > F
+! +$
F
()(D > ()(G∗
Un consumatore ha preferenze rappresentate dalla seguente funzione di utilità:
a) determinare la scelta ottimale del consumatore se il suo reddito monetario è pari a 210 e i prezzi
dei beni sono e ;
b) determinare l’ottimo del consumatore nel caso in cui il reddito passi da 210 a 180;
c) determinare le curve di Engel per i due beni;
d) ritorniamo al reddito iniziale di 210; determinare come cambia la scelta del consumatore nel caso
in cui il prezzo del bene x passi da 15 a 20;
e) determinare la curva di domanda individuale per il bene x e per il bene y ;
Soluzione
a) L’ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema
in cui la prima equazione rappresenta la condizione di tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio e la seconda il vincolo di bilancio del consumatore. Possiamo quindi riscrivere il sistema, Dalla prima equazione si ottiene Sostituendo questa espressione nel vincolo di bilancio, si ottiene Risolvendo questa equazione in x troviamo e, per sostituzione Quindi l’equilibrio del consumatore è dato dal paniere E=
b) Dato il nuovo reddito del consumatore, il sistema da risolvere è ora
2 1 2 1
U ( x , y )= x y
p x = 15 py = 60
ï
î
ï
í
ì
R p x p y
p
p
SMS
x y y x x , y
ï
î
ï
í
ì
x y
x
y
y = x
x x
x *^ = 7
y =
( 7 ; 74 )
Dalla prima equazione otteniamo, come nel caso precedente, e, sostituendo nella seconda, per cui Il nuovo equilibrio è quindi 6;3/2) Rappresentiamo graficamente lo spostamento del vincolo di bilancio a seguito dell’aumento del reddito del consumatore e il relativo ottimo del consumatore. Vincolo di bilancio prima dell’aumento del reddito: → Vincolo di bilancio dopo l’aumento del reddito: →
c) Le curve di Engel esprimono la relazione tra il reddito a disposizione del consumatore e la domanda
di ciascuno dei due beni. A livello qualitativo, dal confronto tra gli equilibri E ed E’ si può notare come al diminuire del reddito si riduce la quantità domandata di entrambi i beni: x e y sono pertanto beni normali. Per ricavare algebricamente le curve di Engel, occorre risolvere il sistema seguente (uguale ai precedenti, tranne che per il fatto che non assegniamo un valore numerico al reddito ma lo indichiamo con un generico R):
ï
î
ï
í
ì
x y
x
y
y = x
x *^ = 6
y *^ = 3 / 2
E ' =(
210 = 15 x + 60 y y x
180 = 15 x + 60 y y x
y
6 7 12 14 x
E
E'
Per cui Quindi all'aumentare del prezzo di x , il consumo del bene x diminuisce, mentre quello del bene y rimane invariato. e) Analizziamo più approfonditamente la relazione tra prezzo e consumo dei due beni ricavando le curve di domanda individuali per il bene y e per il bene x (al livello di reddito iniziale). Per fare ciò, impostiamo un sistema simile a quelli dei precedenti punti, lasciando però indicati i prezzi dei due beni come e dalla prima equazione si ricava che sostituiamo nella seconda per ottenere Da cui si ricava e, sostituendo nell’equazione per y Queste equazioni sono le curve di domanda individuale rispettivamente del bene x e del bene y , ed esprimono la relazione tra prezzo di un bene e quantità domandata dello stesso. Risulta quindi evidente che entrambi i beni, in questo caso, seguono la legge della domanda, in quanto all’aumentare del prezzo diminuisce la quantità domandata del bene in oggetto (e viceversa).
÷
ø
ö
ç
è
æ
E ' '
px py
ï
î
ï
í
ì
p x p y
p
p
x
y
x y y x
y =
p
p
x
x y
210 = p x x + p y
p
p
x
x y
p x
x
p y
y
y
21/4 7 14 x
E
E''
21/
Inoltre in questo esempio nell’equazione della curva di domanda individuale per il bene x non compare il prezzo del bene y (e lo stesso vale per la domanda di y rispetto al prezzo di x ): questo significa che i due beni sono indipendenti, in quanto al variare del prezzo di y , la domanda per il bene x rimane invariata. In particolare, si può verificare che l’elasticità incrociata della domanda del bene y rispetto al prezzo del bene x è nulla (e lo stesso vale per quella di x rispetto a ). Esercizio 3 (applicazione teorica per ripasso) Un individuo le cui preferenze sono espresse dalla generica funzione di utilità 4 (P, Q) = R(P, Q), ripartisce il proprio reddito fra i beni x e y e massimizza la propria utilità in corrispondenza del paniere ottimale E(x,y). Se il bene x è un bene inferiore: a) Rappresentare graficamente gli effetti di reddito e di sostituzione associati ad un aumento del prezzo del bene x; b) Cosa accade se px si riduce anziché aumentare? c) Ripetere i punti a) e b) nel caso in cui x sia un bene di Giffen Soluzione a) x è un bene inferiore e il suo prezzo aumenta, la scomposizione è come segue: Se il prezzo di x aumenta, cambia l’inclinazione del vincolo di bilancio L 1 , diventando più ripido, per esempio in corrispondenza del nuovo vincolo L 2. L’aumento di px riduce la domanda di x, perché il bene y è diventato più conveniente in termini relativi. Supponiamo di poter compensare il consumatore della riduzione del potere d’acquisto causata dall’aumento di px, in modo da permettergli di mantenere inalterata la propria utilità: graficamente ciò significa individuare un vincolo di bilancio
py
x
y
E
y*
x*
L 1
L 2
E’
D
ET ES ER
L 3
UE
Il paniere finale E’ contiene una quantità di x superiore rispetto al paniere ottimale iniziale E, nonostante l’aumento del prezzo px: questa violazione della legge della domanda è causata dall’effetto di reddito: non solo effetto di reddito e di sostituzione hanno segno opposto come per i beni inferiori, ma l’effetto di reddito riesce a più che compensare l’effetto di sostituzione. Se il prezzo px invece si riduce, la scomposizione è la seguente:
ET x
y
y*^ E
x*
L 1
L 2
UE
D
E’
ES ER
x
y* E
x*^
L 1
L 2
E’
D
ET ES ER
L 3
UE
y
In questo caso l’effetto di reddito è di intensità tale da compensare in misura maggiore l’effetto di sostituzione: se x è un bene di Giffen, una riduzione di px riduce la quantità domandata del bene. DOMANDE A RISPOSTA MULTIPLA
1. Quale curva è il luogo geometrico di tutte le possibili combinazioni di due beni che massimizzano il benessere del consumatore al variare del prezzo di uno dei due beni? a. La curva di domanda individuale. b. La curva di Engel. c. La curva di reddito-consumo. d. La curva di prezzo-consumo. Soluzioni: a. Errato. La curva di domanda individuale esprime la relazione tra la quantità di un bene acquistata dal consumatore al variare del prezzo del bene stesso. b. Errato. La curva di Engel esprime la relazione tra la quantità di un bene acquistata dal consumatore al variare del suo reddito. c. Errato. La curva di reddito-consumo è il luogo geometrico di tutte le possibili combinazioni di due beni che massimizzano il benessere del consumatore al variare del suo reddito. d. Corretto. La curva di prezzo-consumo può essere rappresentata in un grafico bidimensionale, indicando su ciascuno dei due assi le quantità dei due beni. 2. Scendendo lungo la curva di domanda: a. Il livello di utilità del consumatore diminuisce. b. Il livello di utilità del consumatore aumenta. c. Il livello di utilità del consumatore rimane costante. d. Il livello di utilità del consumatore inizialmente aumenta, poi diminuisce. Soluzioni: a. Errato. Scendendo lungo la curva di domanda, a parità di altre condizioni, il prezzo del bene diminuisce e la quantità consumata del bene aumenta. In conseguenza, il livello di utilità raggiunto non può che aumentare. b. Corretto. Scendendo lungo la curva di domanda, a parità di altre condizioni, il prezzo del bene diminuisce e la quantità consumata del bene aumenta. In conseguenza, il livello di utilità raggiunto non può che aumentare. c. Errato. Scendendo lungo la curva di domanda, a parità di altre condizioni, il prezzo del bene diminuisce e la quantità consumata del bene aumenta. In conseguenza, il livello di utilità raggiunto non può che aumentare. d. Errato. Scendendo lungo la curva di domanda, a parità di altre condizioni, il prezzo del bene diminuisce e la quantità consumata del bene aumenta. In conseguenza, il livello di utilità raggiunto non può che aumentare. 3. Lungo la curva di domanda individuale di caffè, quale dei seguenti valori rimane costante? a. Il prezzo del caffè. b. L’utilità marginale del caffè. c. La quantità domandata di caffè. d. Il reddito del consumatore.
mercato verso sinistra. 6. Al variare del prezzo, la somma spesa da Antonio nell’acquisto di formaggio spalmabile rimane costante. In conseguenza, la sua curva di domanda è: a. anelastica al prezzo. b. elastica al prezzo. c. isoelastica. d. a elasticità unitaria. Soluzioni: a. Errato. Se la curva di domanda di Antonio è anelastica, la somma spesa nell’acquisto di formaggio spalmabile aumenta all’aumentare del prezzo. b. Errato. Se la curva di domanda di Antonio è elastica, la somma spesa nell’acquisto di formaggio spalmabile diminuisce all’aumentare del prezzo. c. Errato. Se la curva di domanda di Antonio è isoelastica, la sua curva di domanda presenta elasticità costante. Ma la relazione tra la spesa e il prezzo dipende dal valore dell’elasticità, non dal fatto che sia costante o meno. d. Corretto. Se la curva di domanda di Antonio è a elasticità unitaria, la quantità domandatavaria in misura esattamente proporzionale al prezzo: a un aumento del prezzo dell’1 per cento corrisponde una diminuzione della quantità domandata dell’1 per cento. In conseguenza, la somma spesa nell’acquisto del bene rimane costante.
