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Statistica per l’azienda (B)– Esercitazione riepilogativa
ESERCIZIO 1. Sia (X, Y ) una variabile aleatoria bivariata, la cui distribuzione congiunta `e rappresentata nella seguente tabella
Y / X 1 4 6 0 0.05 0.2 0. 2 0.1 0.1 - 4 - 0.05 0.
a) Determinare la funzione di ripartizione (marginale) della variabile X.
b) Calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y.
c) Si definisca la variabile statistica Z = 3X + 12 Y e si determinino E[Z] e Var[Z].
ESERCIZIO 2.
a) Calcolare la probabilita che lanciando due volte un dado regolare la somma dei punteggi dei due lanci sia inferiore a 4 e la probabilita che sia minore o uguale a 10.
b) Si consideri un’urna contenente 4 palline rosse e 3 nere. Si estraggono senza reimmis- sione due palline dell’urna.
(i) Calcolare la probabilita che siano entrambe nere. E quanto vale la probabilita che siano dello stesso colore? (ii) Se la seconda pallina estratta e rossa, quale la probabilita che la prima estratta sia stata nera? (iii) Si supponga di partecipare ad un gioco che consiste in un’unica estrazione: si vince 2 se la pallina estrattae rossa, si perde 3 se la pallina estratta e nera. Si calcoli il guadagno atteso. Il giocoe equo? In caso contrario, si proponga una modifica che renda il gioco equo. (iv) Si supponga di disporre di una seconda urna che contiene 5 palline nere e 10 rosse. Viene estratta un’unica pallina: la probabilita di estrarla dalla prima urnae pari a 3/4, mentre, ovviamente, la probabilita di estrarla dalla secondae pari a 1/4. Calcolare la probabilit`a che la pallina estratta sia nera.
c) Un gruppo di amici organizza una gita escursionistica in montagna. Il 30% dei parteci- panti e fuori allenamento mentre il restante 70% ha un buon allenamento. Si ipotizza che coloro che non sono allenati abbiano una probabilita pari a 0,6 di raggiungere la cima della montagna e che quelli allenati abbiano, invece, una probabilit`a pari a 0,9.
(i) Calcolare la probabilita che un escursionista, scelto a caso, raggiunga la cima. (ii) Sapendo che un escursionista non ha raggiunto la cima, determinare la probabilita che appartenga al gruppo degli escursionisti non allenati.
ESERCIZIO 3. La lunghezza (in mm) X delle viti di una certa marca e una variabile aleatoria la cui legge di probabilita e continua ed ammette una certa funzione di densita. E noto che la probabilit`` a che una vite scelta a caso sia piu lunga di 1,5 mme pari a 1/4. Viene estratto un campione casuale di 4 viti dalla popolazione.
(i) Qual e la probabilita che esattamente 2 viti siano piu lunghe di 1, 5? (ii) Quante viti piu lunghe di 1, 5 mi aspetto di trovare tra le 4 estratte?
ESERCIZIO 4. Si consideri una variabile aleatoria biavariata (X, Y ). Supponendo che le possibilie realizzazione di X siano { 0 , 1 } e quelle di Y siano { 0 , 1 / 2 }, determinare, se possibile, almeno una distribuzione di probabilit`a congiunta per (X, Y ) che soddisfi, rispettivamente, le seguenti condizioni
a) X indipendente da Y ; E(X) = E(Y ). b) E(X) = E(Y ); Moda(X) =Moda(Y ).
oppure vincita di 3 e perdita di 4 senza cambiare palline
(iv) P (N 1 ) =^3437 +^14155 ≈ 0 , 40476
c) FA= {fuori allenamento} e C= {raggiunto la cima}
(i) P (C) = P (F A)P (C|F A) + P (A)P (C|A) = 0, 30. 0 , 60 + 0, 70. 0 , 90 = 0, 81
(ii) P (F A|C) = P^ (F A)P^ (C|F A) P (C)
=^01 ,^30 −. 00 ,, 8140 = 0, 6316.
ESERCIZIO 3.
Per i = 1,... , 4, si definisce
Zi =
1 se i–esima vite e piu lunga di 1, 0 altrimenti =⇒ Zi ∼ bern(θ) con θ = 0. 25 =⇒ Z := ∑^4 i=1 Zi ∼ binom(4; 0, 25)
(i) P (Z = 2) =
(0, 25)^2 (0, 74)^4 −^2 ∼= 0, 21
(ii) E(Z) = nθ = 4 × 0 , 25 = 1
ESERCIZIO 4.
a) In virtu dell’indipendenza, le probabilita congiunte sono note una volta che abbiamo determinato le marginali; infatti pXY (x, y) = pX (x)pY (y). Poich´e
E(X) = pX (1), E(Y ) =^12 pY
l’uguaglianza E(X) = E(Y ) implica che
pX (1) =^12 pY
Se fissiamo, ad esempio, pX (1) = 0.3, allora pY ( 12 ) = 0.6. In modo immediato otteniamo pY (0) = 0.4 e pX (0) = 0.7. La distribuzione richiesta pu`o essere riassunta nella seguente tabella
X / Y 0 1/
b) La richiesta E(X) = E(Y ) ancora una volta implica pX (1) = (1/2)pY (1/2). Dal momento che deve anche risultare Moda(X) =Moda(Y ), ne consegue che pX (0) > pX (1) e pY (0) > pY (1/2). Ad esempio, ponendo pX (1) = 0.15, cosicch´e pY (1/2) = 0.3 si avra pX (0) = 0.85 e pY (0) = 0.7. Una possibile distribuzione che soddisfa le richieste fattee
X / Y 0 1/ 0 0.6 0.25 0. 1 0.1 0.05 0. 0.7 0.
