Esercitazioni geometria, Esercizi di Geometria

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ZW (^) : ( 3 - Zi )(- Rti) : -3 tsitzi - 2T (^) = (-3+2) +^ si^ =^ -^1 tsi

È. =^ '^

'

C- sti^ )(-^ n -^ i)^ 1+1^ io

scrivi in (^) forma algebrica

. (^) + 4-ikitil-lz.is^

'

• Latilla - il

a-

Ztzi -^ i^ - il -

• liti )
• 2 - riti -^ il a-

t ztzi^

• Ita - tai - (^) il
• (^3) t Sti^ -374i

t fi

Esercizio 1.6. Calcolare

a) (i 4

• 2)(i 3 3);

b) 5 i

1 i

3 4 i

1 4 i

5 + 12i

c)

(3i)^3 (5 7 i)

4 i(3 i)

3 + 4i

7 i

Esercizio 1.7. Verificare che z + w = z + w e

z w

z w con^ z^ = 3 + 4i^ e^ w^ = 2^ ^5 i.

Esercizio 1.8. Dire per quali valori di x 2 R il seguente numero complesso è reale o

immaginario: x 1 + 3i

x 2 i

Esercizio 1.9. Determinare modulo e argomento di z = 3 i

p

3. Osservare che

arg z 6 = arccos

Re z

|z|

, arg z 6 = arcsin

Im z

|z|

e arg z 6 = arctan

Im z

Re z

Esercizio 1.10. Determinare modulo e argomento dei numeri complessi

z =

⇣p 3 i

(1 + i), w =

2 2 i

3 + 3i

Esercizio 1.11. Scrivere in forma algebrica i numeri complessi che hanno come modulo

e argomento le coppie

p 2 , ✓ 1 =

Esercizio 1.12. Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi e posizio-

narli sul piano di Gauss. Se ✓ 2 R, usiamo la notazione e i✓ = cos ✓ + i sin ✓.

a) w 1 = i;

b) w 2 = 1 ;

c) w 3 = 1 + i;

d) w 4 = 1 + i

p 3 ;

e) w 5 = 3 e i ⇡ 6 ;

f) w 6 = 3 i;

g) w 7 = i(1 + i);

h) w 8 = 4

p 3 + 4i;

i) w 9 =

i

p 3

2

j) w 10 =

1 + i

p 3

k) w 11 =

(1 + i

p 3)^3

l) w 12 =

3 + 3i

m) w 13 =

p 3

5

i;

n) w 14 =

p 3

2

i;

o) w 15 =

1 + i

1 i

p) w 16 =

(1 i)(1 + i

p

2 i

Esercizio 1.13. Eseguire le operazioni indicate. Se ✓ 2 R, usiamo la notazione e i✓ =

cos ✓ + i sin ✓.

a) z 1 = (2 + 5i)(7 i);

b) z 2 =

2(cos ⇡ 7 + i sin ⇡ 7 )

3 + 3i

c) z 3 = (7 i)(7 + i);

d) z 4 =

2 i

p 3

2 ei^

⇡ 6

Esercizio 1.14. Si considerino i numeri complessi

z 1 = 2(1 + i), z 2 = 1 + i

p 3 , z = z 1 z 2.

Posizionare sul piano complesso le immagini di z, ¯z e 1 z

Esercizio 1.15. Determinare i numeri complessi z per cui z 2

• 2 risulta reale e stret-

tamente positivo, si abbia cioè

z 2

• 2 > 0.

Esercizio 1.16. Data l’equazione nel campo complesso

z

(1 + 2i)^2 + 2

= 3 + 2i

determinare z, |z| , z, Re z, Im z.

Esercizio 1.17. Risolvere in C le seguenti equazioni.

a)

z

z

b) z 2

• 2z + 5 = 0;

c) z 2

• z + 1 = 0;

d) z + 2iz = 4i;

e) z 2

• 2z + 1 = 0;

f) 2 z + z 2 = 1 + 2i;

g) |z| = z + |i z|;

h) z 2

• |z 2 1 | = Re z;

i) | Re z| + | Im z| = |z|.

3

1. (^) 1) Z : 5 -^ Zi^ , w =^ Ztsi

> Ztw : (51-2) ti

( 3-^ 2)^ =^ 7-^ ti

1. 2. Z:3-^ Zi^ w :^ -^ Itri

Zw ;^ = Z^. = Z. = Z^

' ¥

= (3-zi) C- 1-i)

• E

: - E ( it 1 )

E

Zhi-^ i^ -^ il^ _ (^) ( 4- zitir)

r-zizttftzi.it/-H--li )

} -^ i^.^ ti^ 8 i^ g

→

. (^). tzi = (^)? - if -^ Itri^ e^ t I = (^) ftp.i

" o

Xl t 4

= Six^ t^ Xl -^ X^ - 6 -^ si = ilsx-zti.ir

× 2 t^4

il (^5) ×-2) = o^ →^ I

× =^215

1.9 (^) 2- =^ -3 -^ it^ trace (^) modulo e (^) arg di Z

IZI va^ da^ -^ IT^ a^ tt^ , non^ posso usare^ arctg

lzt.TT =^ ¥. Ti^ =^ 2lb

@ =^ zt^ f- (^)?

• Ia (^) )

sin @^ =^ - la

cosa =^. §

}

it

2- =^253 ( (^) cost - fatti (Sint

• IND

1.17 Utile usare la forma

IZI =^ Ztli^ -^ ZI^ algebrica

2- =^ atib - a-ibti (^) = li_ zl

a (^) farti = (^) atibt TÈ )

'

a (^) Wit (^) se

{

Relwt Rect^ )

Imlw )^ :^ lnnlt)

atibtatti.tt

'

• (^) Tatto

{

at -^ 'al :O^ se^ aw

b >^ o

{

attratta senso (^) impossible

bio

{

sia =^ - atti se^ aco

bio

{

a ' ti = Ga

? ce - È = - §

< (^ cosÌ +^ isin^ =^ sei

2- 4 :^2

"

. ci

ÌIT

= (^) , gli

Itt

a-

" ? (^) ± tai

I

2. (^3) c (^) )

h :^5 ,

-2=1 ti^ S: I =^ VE

÷!^

= (^) E

} ;^

fiei

• (^) fa di^

Étzittm)

° ZÈ

' ft (^). et

ilÈ tzitm)

=

' TE. eic

Et En )

Parto da^ nun

Za :

" VI. eil^

t (^) ¥)

m>^2 fino a me 5 ... ce ne 6

-22 e ' ' II. e

:( It^ f.^

it )

EQUAZIONI

-23. IZI =^ O 2- =^ f. e

=p

? @

i 30

• Z' = (^) IZI o è (^) una soluzione . Seio =^ f

? ei

30

°

{

!:{

' → (^) Slitta ) :O (^) ftp.D-o f. a

Ot 2kt:^30

2.5 b

B :^ {^ ZEE : (^) te #- H

2- =^ atib

• (^) IZ -11^ = - (a-1^ )

? tb

? a=x

bey

• f)

' i (^) lz -

ÌC (X^

' t (^) >

' c

civconf centro (^1) (X-

' ty

? (^) = ! 4,0^ )^

e

raggio

" 2

2 LX

' ty

? =L ,

centro 0 ) raggio

2