Per ciascun esercizio si individuino l’eventuale correttezza delle affermazioni a), l’unica risposta corretta alle domande b), c), d), e) e si risponda alle domande finali f ).

Si consideri il seguente problema di Programmazione Lineare ed il suo problema duale (D):

(P )

max αx 1 + βx 2 −x 1 + x 2 ≤ 1 − 3 x 1 + x 2 ≤ − 1 x 1 ≤ 2 x 2 ≤ 3 a) La seguente affermazione e corretta? A x = (2, 3) e y = (0, 0 , α, β) soddisfano la condizione degli scarti complementari se e solo se α ≥ 0 e β ≥ 0 falso b) Quale l’insieme di tutte le coppie di valori per cui la soluzione x = (2, 3) e ottima per (P )? I {(α, β) : α ≥ 0 , β ≥ 0 } II {(α, β) : α ≥ −β, β ≥ 0 } III {(α, β) : β ≥ |α|} c) Quale l’insieme di tutte le coppie di valori per cui la soluzione y = (0, 0 , α, β) e ottima per (D)? I {(α, β) : α ≥ 0 , β ≥ 0 } II {(α, β) : α ≥ −β, β ≥ 0 } III {(α, β) : β ≥ |α|} d) Se α = −1 e β = 1, quale l’insieme di tutte le soluzioni ottime di (P )? I {(2, 3)} II {(t, 3 t − 1) : t ≤ 2 } III {(t, t + 1) : 1 ≤ t ≤ 2 } e) Se α = −1 e β = 0, qual e l’insieme di tutte le soluzioni ottime di (D)? I {(0, 0 , − 1 , 0)} II {(0, 0 , t, 0) : 0 ≤ t ≤ 1 } III ∅ f) A Si scelgano valori per α e β tali che esistano infinite soluzione ottime ma x = (2, 3) sia l’unica soluzione ottima di base. Giustificare la scelta effettuata. α = 1, β = 0: la semiretta {(2, 3 − t) : t ≥ 0 }e l’insieme delle soluzioni ottime (ciascuna in scarti complementari con la soluzione duale ammissibile y = (0, 0 , 1 , 0)) B Individuare una direzione ammissibile per x = (1, 2) che sia anche di crescita quando α = 1 e β = 0. Giustificare la scelta effettuata. una qualsiasi direzione nel cono {ξ ∈ R^2 : ξ 2 ≤ ξ 1 , ξ 1 > 0 }: infatti ξ `e

una direzione di crescita se e solo se ξ 1 > 0
una direzione ammissibile per x = (1, 2) se e solo se ξ 2 ≤ min{ 3 ξ 1 , ξ 1 }

Si consideri la seguente coppia (asimmetrica) di problemi duali di Programmazione Lineare

(P )

max − 2 x 1 + x 2 −x 1 + x 2 ≤ 1 − 3 x 1 + x 2 ≤ − 1 x 1 + x 2 ≤ 5 x 1 ≤ 2 x 2 ≤ 3

(D)

min y 1 − y 2 + 5 y 3 + 2 y 4 + 3 y 5 −y 1 − 3 y 2 + y 3 + y 4 = − 2 y 1 + y 2 + y 3 + y 5 = 1 y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ≥ 0

e la loro risoluzione tramite l’algoritmo del Simplesso Primale a partire dalla base B = { 4 , 5 }.

a) Quali delle seguenti affermazioni sono corrette? A La direzione ξ = (− 1 , −1) e ammissibile per x = (1, 2) falso B Le soluzioni di base individuate alla prima iterazione dell’algoritmo sono ¯x = (2, 3) e ¯y = (0, 0 , 0 , − 2 , 1) vero b) Quali sono la direzione di crescita ξ e il passo di spostamento ¯λ individuati alla prima iterazione dell’algoritmo? I ξ = (0, −1), ¯λ = +∞ II ξ = (− 1 , 0), ¯λ = 0 III ξ = (− 1 , −1), ¯λ = 1 c) Quali sono le soluzioni ottime individuate dall’algoritmo? I ¯x = (2, 3), ¯y = (1/ 2 , 1 / 2 , 0 , 0 , 0) II ¯x = (1, 2), ¯y = (2, 0 , 0 , 0 , 0) III ¯x = (1, 2), ¯y = (1/ 2 , 1 / 2 , 0 , 0 , 0) d) Quale un piano di taglio (di Gomory) che esclude la soluzione ottima ¯y trovata alla domanda precedente? I y 1 + y 2 ≥ 2 II y 3 + y 4 + y 5 ≥ 2 III y 4 + y 5 ≥ 1 e) Qual e il cono delle direzioni di recessione della regione ammissibile di (P )? I {ξ ∈ R^2 : ξ 2 ≤ 3 ξ 1 , ξ 1 ≤ 0 } II {ξ ∈ R^2 : ξ 2 ≤ ξ 1 , ξ 1 ≤ 0 } III {ξ ∈ R^2 : ξ 2 ≤ −|ξ 1 |} f) Scegliere un differente vettore di termini noti per il problema (D) in modo tale che (P ) risulti superiormente illimitato. Giustificare la scelta effettuata. qualsiasi direzione di recessione individuata al punto e): il vettore di termini noti di (D)e la funzione obiettivo di (P ) esistono altre scelte corrette

Si considerino il problema del ciclo hamiltoniano di costo minimo sul seguente grafo

3 6

4 1

2

5

ed il seguente metodo “Branch and Bound”: la soluzione ammissibile di partenza e ottenuta applicando l’algoritmo del nodo piu vicino a partire dal nodo 1, la valutazione inferiore e ottenuta utilizzando il 1-albero di costo minimo come rilassamento, la ramificazione viene eseguita per costo crescente degli archi, e l’albero di enumerazionee visitato in ampiezza.

a) La seguente affermazione `e corretta? A L’arco (1, 3) appartiene alla soluzione ammissibile di partenza vero b) Quali archi appartengono all’1-albero di costo minimo? I (1, 4), (3, 4) II (1, 2), (1, 3) III (2, 3), (2, 4) c) Quali sono le valutazioni inferiore e superiore calcolate dall’algoritmo al nodo radice? I vI = 10, vS = 13 II vI = 13, vS = 10 III vI = 13, vS = 13