Esercizi Calcolo Numerico, Esercizi di Calcolo Numerico

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QueSdi |ateeve . Sì consideri un elaboratore operante con rappresentazione in base 8 = 10, aritmetica floating- point e tecnica di arrotondamento. Siano m = 4 le cifre a disposizione della mantissa (escluso il segno) ed n = 2 le cifre per la caratteristica (escluso il segno) Dato il vettore v = (0.074456, 121.48, fl(v), e si calcoli la norma 1 di fI(v) 1 0), si scriva la sua rappre zzando l’aritmetica dell’elaboratore. in macchina, Vv " (0.34456 0°, 0,4241948 l0°, -0.20 10°) = (0.3446 0*, 0.4245 l0°, -0.2000 40°) Il {£ W)II4 = 0.3446 10% © 0.4245 10° © 0.2000 10° = 0. 00003446 10° ©) 0.4215 103 © 0. 0200 I° = 0, 44453 05 = 0. 4446 105 2. Consideriamo un elaboratore operante in base 8 = 10, aritmetica floating-point e tecnica di arrotondamento. Siano m = 4 le cifre a disposizione della mantissa (escluso il segno) ed n = 2 le cifre per la caratteristica (escluso il segno). Dati a = 0.0056177, b = 10.254, scrivere fl(a), fl(6) e calcolare fl(a) © fl(b) Definire la precisione di macchina. Indicare il valore della precisione di macchina per l’elabo- ratore considerato. a= 0. 56433 107 be 0.40254 (0° 5 2 ge (0) = 0. 5648 10°? fe (6)= 0.4025 0 ge) © pe) = 0.5618 10° © 0.4025 0ì 0. 00005618 10% € 0.402510 0. 10256 l0È o. 1026 10* la peddione di macchina Em & la fimitazion® supero all’ETO® ML AEUO COMMESSO N pesata UN NIMSO X _ MICMI s Ce = x 90601 € Em IKI Em 4 un namero dhe dipende dala base di numerazione, Bf dallo spazio m porla mms e deus regda utiazata por formare fl fiosting dib de lemcorsto® cera per arotmdamento | Em dpr = 0.5 10È DI Dato il vettore x = (21,9 ...,2n), scrivere la forma di [|], e] Dati i vettori x, è € R", scrivere la forma dell'errore assoluto e de (1) 4) calcolare ||l]; e | Al]. Ripetere l'esercizio con norma 2 e infinito rore relativo fra x e È. Dati il vettore v e la matrice A Do) lixla = S ]w] 41 Ig lia = ded Ixlloo = max lxgl ititm di Y, FER? —»> Cas CI Ivlia > 40+4 = 44 NANA n max È 141 + l&241, 10421 + 102217 max Î 4+2, 0443 amor $i 3,42 4 IVI ce n max È (0, 4î = 40 IL Alco may È la44l+|042] , 1&241 + 12221? max È 4+0, 2+48 MX È 4,6% G lIivia = (400 +4 = Vio4a lata = max )i (ATA) TOT) eurini "8 l@ trovo gli auto LLoi fisdundo 4A- L [> -3 ) > SO-5\-W\+\° -6e = 0 18. 64 x - 24) + le = 0 ji fe_99 \s2 = 21t {833 a mor Co = 21t (3 > HAI, = [244593 2 2 4. Dato il vettore x = (71,22 ..., n), scrivere la forma di ||e]}i, ||e]la, |lelo- _ { -100 101 7a 1 ssoluto e l’errore relativo fra x e è usando la norma 1 (riptere l'esercizio Dati i vettori x e T calcolare l’errore con norma 2 e infinito) m Ila = => Ivel Uxla = | xii = max lx FEES eri aL Lem Ca = IIx-Xila = II (-400, -4) - (-404 ,-4) Ila = ll (4,0)0l4 di Ca = Ix-Xla = 4 cd xa 400+4 404 C = lix-%1, = \I-1600,-4) - (-d04, -2)]? = \[(4,0%1 = J4+0 = 4 Ca = lix-Zlla = ri 14 Iiyglta 4 = 2 Vio'ow +4 \io004 400 Ca = Iig- lo = max (4,0) = 1 = ly-Xllo = A Il x lroa dali ? punti (Wi, Yi), L= 0,4,2,3, fl polinomio Mierpolara € unico pod f nodi Xi smo tutti dWSHai usando la rageresontazione di Adios cOsruisco > tsvda due, di fperenz® divise ZE RTE Bra = Sia 2 STiow]= 2-2 =) N grane 3-5 = 2 4 N alalA rn QI 3A fot] = 4-0 S gle] dor = 3 / gra, 1] => 3-2 = d Dear 4013_/ FT SJ n È fn 6) = -24 2(yt2) +0(wadleati 4 (v+2) (4-4) (4-2) 40 = -242%+4 + 4 (X4%-2) (4-2) 0 = 2r+ 2 + A+ du dx AVE 2 10 40 5 5 5 5 = dux 1 +2% +12 40 40 5 5 7. Sono dati i punti (x;, yi), #= 0, 1,...,n. Definire il polinomio interpolante i punti asse; Indicare quando il polinomio esiste ed è unico giustificando la risposta teoricamente; specifi- care come si giunge al sistema lineare con matrice di Vandermonde Stabilire se il polinomio p(+) = 23 + 2x2 + 5 interpola i seguenti punti Dart punti Ck Y4) d= 0,4) 1, m_S depiniste polinamio Prlerpolarie 00, polinomio Pm (4) tate che | fm (Wi) = Yi ti= 0,4, M TI po&namro Pnteposte esse ed, € Unico quando ? rodi vi s02 10K? distinti AMlX) = Ao + Dix + Q2x° +... + Amx” fimpongo le edizioni di repolazone = (Anfo) = Ao + AI Yo + 02% +... Amo” fm(X4) = Oo + D4Yvi + Aa Xa® +... AmXa” fmCYm) = Do + Qu4 mt Az Ym® + +. Omm a Ym Mn Yo Ya Meno Yn Sistema fica de posso fisduere cm le main: 4% Vot Vo? Qo Yo dl val lat Qi | ya 4° MM tm? am Ym matrice di Uadermonde (V) det (V) = T (vi - 45) i, »0 4>j la &uaione dee sitema dnes® & unica (quindi I promo E niko) quando Il deseminsie deus marice & dveso da 200 afinch& der (UT) + O, Xi # Y; doti ? neoli devono essere disrint: per vede Se fi podinomuo più Miepos f put: dl, frmpongo | condizioni di fnepotazione a: pl-2) - 5 » -8+9+5=5Q0 pl4) = 8 > 442+5 80 2 CSO) p(2) = 24 > 2+8+5 p(3) = 50 23+8+S SI pognamio fotepos ? pui dar (È verificare se la funzione è una spline di grado due. qa +9 r<0 249 e>0 Verificare se la funzione @) r3+1 x<1 s(©) = 2 6216 4 3x2 — 622 +6r-1 x>1 è una spline cubica. fer venpicoe Mo CÒ sa di grado 2, devo vergicoe ne lb fanzoe e ls suo deuss simo comnue net nodlo x=0 im SI = Cdm X+19 = 2 vo o xv o Qnm La) = &m 2x2+9 = 9 VERSI xoot dm S'() = Um 2% = O wo wo o Um S'(%) = &m 4% = O xo o* wet SV) E ua sn di gsdo due Per verigicore de SC) si> ma spl cubica oevo venpicse he ls funzione , sa derivata pira e > sus deivara Secmda sino eMtinu® in Xed dm SW) = &m Wta = 2 var oa dim S() = im 3X° -6r°+6%-41 = 2 vo de vo st Wim S'(4) > im Sx = 3 Les COLT la spine SG nm $ Wwbica dom S'(Ò = dm Gyv-l20x +6 = O yost Yost 9. Data la funzione spline, s(a)=2r+3+(r-2)4 scriverne la forma polinomiale negli intervalli [--2, 2), [2,6]. Verificare se interpola i punti m UG simigica risolvere, A Siem dnese m = Qo m ded = 1] moi =“ è % au Carcoto l> dI di migliore, aprotti mesiore + Py) = Ao + Max RARERI En) Ma AI pietra = 5 SE +204= 5 200 + 404 = 2 > Qo = 2-%1 2 2 G- 1204 + 484 = do Ao = ) -804= 4 Qi = dL 2 2 =L2 el = 2-4% 2 . Approssimare l'integrale definito / = /J sin(r) dr mediante la formula del punto medio. Sapendo che il valore esatto è / = 2 calcolare l’errore relativo. Ripetere l’esercizio con la formula dei trapezi e di Simpson. (b-a) di) 2 (1-9) 3 (È 2 " ITpy [33 n (i aai So(E) = Lim ea = | rw- teCgI\ = |2-T| = 0. 53080 bi t1cy21 EI Ir [gl (22°) (Ja) + g(6)) 2 = (E)(0+9 = 0 2 = (© *EP#) © 2 = TL = 27 © :D ind m FASC img je 13. Dato l’integrale definito [ = 1a f(x) da, scrivere la formula dei trapezi e la formula dei trapezi composta. Definire il grado di p sione di una formula di quadratura e indicarne il valore per le formule del punto medio, trapezi e Simpson. formua dei sapesi : Lr (f1 = ( ca) ga) + 16) z famosa dei Kepezi Composta + I tg) LE S (dies) (ILYD + 4 yi) ivo 2 08 farmela ole gusta ha grado oli prectsimo d' se È essa quando l> fnzione f ads $ rs godo mio 0 vg0te di d e esse ama UN polinomio pd godo d+4 por wi Peroe Em Eg2 È n colo Epu I31 = E) g' (2) 2ela,b) d= 4 3 2 & 192 - a (b-a)? god vela,b) de 2 z 5 Es [93 = -4 (ba N(w) wela,b) ded RR i (ad) re la formula dei trapezi composita 1{”? definita su una partizione a = ro < #1 < b. Quale è il valore di limn_,x0 1??? 1: cgl > a (se Yù ) ( QOY + PG) 30 I pl - ( dae) (Ad + JD) + (#ne)l POD + Jeud) +... + (tte ){460 +46) Qom Ir 753 = I Lg) M-0 00 che la funzione f(x) = —5x3 + e” ha uno zero nell’intervallo [0,1]. A partire da tale intervallo, eseguire un passo del metodo di bisezione. Eseguire un passo del metodo di bisezione per risolvere il problema f(x) = x! — endo dall’intervallo [a, 5) = [1,3] +1=0 Quante iterazioni del metodo di Bis 10-* partendo dall’intervallo [ao, bo] ione sono necessarie per soddisfare il controllo |bx—ax| < 1,2)? fer verficae 1 presenza di uno 290 net Aiervzito To, 4) devo cIcotare 200) 34) zo 16 =4>o0 } PIervstto (0,4) cmtimne uo 200 di £ (CO) -5+© LO eseguo vn passo del mmoetbdo di bisezione : calo fl pub medio dell fhiervalto + Xo = dt0 » 2 2 2 8093 (9 (4) +eÈ) ) O Gua © 4) bea = bx 8g ago PAXervaltO Tastsde[ 4, “4 18. Scrivere la definizione di algoritmo. Scrivere l’algoritmo relativo al metodo di Bisezione. Un Agoritmmo E Na 509035 finità di fEtrUBIONE , ne fn aMOdo nm ambiguo , > ui esouzioe permato di passre dsl dt: di vo prodoma aa Soluzi “a Un +empo finto Algoritmo del Metodo di Bsszione : DIE B,00, bo ta he Jl0d) fe) L o , &4, E2 , Lomay K= 0,4, > Kms foni va = bulk, catodo YUw) 2 x [gou)| £ E° stop. Se g (ax) fw) LO poù Qued = Ok), bura = Xx ettrimenli Qutd = Yk , bra = bx Se lbus- Quesl € 22 Stop. 19. Scrivere la definizione di algoritmo. Scrivere l’algoritmo relativo al metodo di Newton. (03) atgorimmo È > £2900 12 finito di fSvaiDni , aesegndte în modo nn ambi penmo di poszae dai di: di un praderma ala soluzione fn untempo fitto , l> ui esecuzione, Algontimo retiuo £ modalo di Newtm : DI: P, Yo. 4, €2,E3, kmar © £ ly(4)l £ E4 stop. © Fe K= 0,4, ..., km x f'(Ww) =0 Sp. Fallumedto fori Vira = Vu — Qt) fù So lf) L 84 R lia = | £ E lXx1 +E3 Sp. @

O n DE I, Ax. bu tali che glo) gli) O Catcot> fl punto medio dell frieruallo Ya = bi+tau e f(%) — dimezzano linteuso mi DI abviuno maggiomele ua sotusoRe Lot so Yu) pla) > O pori Quad = Xx, bgrd e bk agiso fo modo de, gol, earomi dee NUO frtervatto l> nai Ad L se gow) g (ax) 2 © powù Qurd = OK, bed = posto (ETERNI Do Dei Se gra = 0 Sp podè siougica fe E un 90 di 2 Yo = citi =0 2 (20) Jk) = (-3-4+ So@)-3)(-3)>0 04 = o = O ) b4 = bo = 4 Cas, b41=C 0,43 Yi = dt0 = 1° 2 AI F(24) 04) = CO(S+44 S0(4) I) > o A. = fac 4/2 , ba = ba=1 Ca. 5.2 <[4. 4] z Un atgoitmo & Una Sequenza finita di fsmaiont , fo modo Na ambiguo , ra eseuiZIONO permeata, di passe dal d& di Un prode aa soluaioe în mp0 Anto 1 Uitgi di 0% ded metodo di bsesioe SMI: ® cirio di +allerna — Consrotlto aL vstore Aa fans neu’ Nerata varerte 1g(%)] 4 E4, 84 tolleransa , Emo Ea ud @ Controllo SWiia distanza +2 due Nerd suuessivo o lbx- ax i €, , Emtezud4 e&>0 YxeR LL, bd f" 19 sogro costata nel fnievalto x> 0 . g69 g' 4%) O g(3) 50 velsls {'(® 50 9. Eseguo un psezo del motto di Newrm cm Xo= 3 Yi= 3 - gd = s- 2ei-20° PLS PD se°+ e?- 223 d 5. I we di areo restivi a MAbLlo di Newrm sMO € e cero di Aid — Sab w numero massimo di Heszioni bmx e citzio di tolleran2a — SMFFolO sir valore che atfume 9 ne’ Nersta covele Ifdl e & )» E4 +0lernza, Eml C4U4 e controllo di Ho misdb +» cminollo SI Asta + duo Heratà suxessue lyuta — %l L E, lyl + 83 Em 2 E2,E3 44 6. fer fl pimmo toema sula CovyVNZI dee mondo di Nautm i 3) =0 +» vye*-2e* =0 e (x-2) = O e*= o Vv v me lol da | wlzlal n giunto +» -2(2%)+ 2(e) +e #0 © ta forsione 9 È deivsuie due voke cm comvtinuitt fA Un frtemo di v* = 2 esise in 850 mote piccolo tare, dhe. 52 lYo - X*| € S_ altora > sucesso, GmNSS del metodo di Mauro cmuogo a xt e lYra — x* | & NM ]yx- x* 1° per Un qoSIce M>o @Esercizio 1) Usando la rappresentazione di Newton, costruire il polinomio che interpola i dati r|-1 012 y|\ 2 422 Mostrare la correttezza del risultato trovato. 2) Scrivere la forma analitica di una spline di grado due e nodi 29 = —1, 21 2e specificare come è definita la potenza troncata (x — 1)} per x < le per x > 1. 3) Calcolare la spline di grado due e nodi 20 = —1, 21 = 1, 22 = 2 che interpola i punti della precedente tabella (risolvere il sistema lineare con un metodo a piacere) 4) Dati i punti (-1,—2.1), (0,0.2), (1, 1.9), definire la retta di migliore approssimazione nel si dei minimi quadrati che li approssima e scrivere la forma del problema di minimo che definisce la retta. ) 5) Calcolare la retta di migliore approssimazione approssimante i dati al punto 4), calcolare il vettore deviazione e la sua norma 2. 4) 4 © " Jo] = 4-2 @ a +4 N FI = 2-2 © (2) Seu 24 LIA 444 N 27 1-0 X L 3 DA FIX, Mi, XY] = 442 = > = 2- Xi] = +2 = d Eroi 27 Lene = —. E ioZIA en PO CÒ = 24 2(Y44) - 2 (Yt4) (1-0) + 4d( 4 (4-0) (4) Pm (-4) fm (0) fm (4) fr (2) 2) 2) 4) 5) = 2+ 2X42 - av 21 +1 (0d] = 92454 43 - x ©) . SGIA = Ao + Qiy + Dax + Calyed)f bpAab SLLS (RI TRN TRRO PD paEna> torsi (vd) & depintia come { o e vi (xd? se ved S(-4) = 2 > Qo- Q4+ 92 = 2 S(0) = 4 > Q@Ao0=4 S(4) = 2 -— Qo+04+02 = 2 S(a= 2 — Ao + 204 + 402 + C4= 2 Qo- A4 + Az = 2 3 _ 02=--2+04 — A2z=-2 Qo = 4 Ao +04+02 = 2 —> 4+014-2+01=2 — 204 = 0 — Q4=0 Ao + 204 + 402 + CA = 2 —> 9-2 + C4= 2 ca = 6 SI = 4-28 + 6(v-2dÎ fepacio 5 (amo ci megane, arpa mona ot sasa et matri dt OMR P(4) = Ao + 4%, cm ) ni te da rendere minimo fl oo Ae norma 2 deg veIaE AeviDatONe, defi niro come de ( Y4- PI; Ya POI ce im - POM) Wol® = s (Ya - poa)î = E (Yi -Qo — Quv)® = S(A0,04) ded ui po trovse Ao e Ad minimi duo catcolse VS= O, che conisponte > nsdvee A Sssema dno® f farma MAIdcae : m Sw Ao s Ye m da = | #4 n e dm Gi E Pi = wu Red Di 204 l> et> di Miglio SPRrOSBImmaZIONE MAL SNO dei minimi gISArda E pi) = 2 d = (-2.4- p(-4), 0.2- (0), 4.9 - p(Ò) = (-2.4+2, 0.2, 4.9-2) = (-0.4, 0.2, - 0.4) ld Ia = V0.04 + 0.01 + 0.04 = Vo.oG È) norma 2 deg vrmoe Aviazione. l> fomma del vere deviszioe, Si: d=((Y4- pix), Yacpi)) ..., Ym- pom) Nati? = S (yi - po)? = E (yi do QUI © S(A0,0) dei di fer +rovae Ao e Ad minimi dArvo calcola VS= 0, che onmispondte > nsquee A Ssema dinor® f fama Madetdto : m . um m = % Ao 5 Wi ATA pes pievi Sa Lu gle JI m Fal = Vj Pa Calcolo > (15 cli migtioe prossimazinO Nel Senso dei miniami qsti di “ DI 4° 3 te ae) =D. (C) di (°) 40 - 284 = 2 — 203-204 = -2 —» IO04 =-2 — 04= 1 “20 +604 < O. —» lo = 601 = 304 — Qo= 3 -5 LA. 5 PO) =