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ESERCIZI SU MINIMI QUADRATI E COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE
a) Costruite una retta che interpoli i dati in tabella. b) Trovare un’equazione per tale retta.
SOLUZIONE
a) Si riportano i punti (2,1),(3,3),(5.7),(7.11),(9,15) e (10,17) su un sistema di coordinate cartesiane. Tutti i punti giacciono su una retta , che interpola i dati esattamente.
b) Per determinare l’equazione della retta data da
Y = a 0 + a 1 X
Sono quindi necessari solo 2 punti. Scegliamo i punti (2,1) e (3,3). Per il punto (2,1), X=2 e Y=1. Avremo quindi
1 = a 0 + 2a (^) 1.
Analogamente per il punto (3,3), X=3 e Y=3. Sostituendo ,
3 = a 0 + 3a (^) 1.
Risolvendo simultaneamente,
a (^) 0=- a 1 = 2, quindi
Y = -3 + 2X
Y = 2X – 3.
Dal problema precedente, trovare a) Y quando X= b) Y quando X= c) Y quando X= d) X quando Y=7. e) X quando Y=0.
SOLUZIONE
Assumiamo che la stessa relazione Y= 2X –3 valga anche per valori di X e Y diversi da quelli specificati.
a) Se X=4, Y=8 – 3 = 5. Dato che vogliamo trovare il valore di Y corrispondente a un valore di X compreso fra due valori dati di X, questo procedimento è detto interpolazione lineare. b) Se X=15, Y=2(15) – 3=27. Dato che vogliamo trovare il valore di Y corrispondente ad un valore di X estremo ai valori dati di X, tale procedimento è detto estrapolazione lineare. c) Se X=0, Y=2(0) – 3 = 0 –3 = -3. Il valore di Y quando X=0 è detto intercetta sull’asse delle Y. E’ il valore di Y nel punto in cui la retta (eventualmente prolungata) taglia l’asse delle Y. d) Se Y = 7.5, 2X= 7.5 + 3 = 10.5 , X= 10.5/2 = 5.25. e) Se Y=0, 0 = 2X –3 : quindi 2X = 3 e X = 1.5. Il valore di X quando Y=0 è detto intercetta sull’asse delle Y. f) E’ il valore di X nel punto in cui la retta (eventualmente prolungata) taglia l’asse delle X.
Dimostrare che l’equazione della retta passante per i punti (X (^) 1,Y1) e (X2,Y (^) 2) è data da
SOLUZIONE
L’equazione della retta è
Y = a 0 + a 1 X
Poichè (X (^) 1,Y1) giace sulla retta, Y 1 = a 0 + a 1 X (^) 1. Poichè (X (^) 2,Y2) giace sulla retta, Y 2 = a 0 + a 1 X (^) 2. Sottraiamo le prime due equazioni e otteniamo Y – Y 1 = a 1 (X – X (^) 1)
Sottraendo la seconda e la terza equazione e otteniamo
Y 2 – Y 1 = a 1 (X 2 – X (^) 1), quindi
da cui l’equazione desiderata. L’espressione è spesso indicata anche con la lettera m ed è il coefficiente angolare della retta.
Trovate a) il coefficiente angolare, b) l’equazione, c) l’ordinata all’origine e d) l’intercetta sull’asse delle X della retta passante per i punti (1,5) e (4,1).
SOLUZIONE
a) Utilizzando l’equazione
L’equazione della retta è Y = a 0 + a 1 X,
che applicata ai punti vale 1 = a 0 + a 1 (0) 7.5 = a 0 + 12 a 1. Si ottiene quindi
a 0 = 1 a 1 = 6.5/12 = 0.542. Si ottiene così
Y = 1 + 0.542 X.
Altro metodo, usando
Y - 1 = [(7.5 –1)/(12 – 0)] (X – 0)
Y – 1 = 0.542 X
Y = 1 + 0.542 X.
Interpolate i dati del problema precedente con una retta dei minimi quadrati, usando X come variabile indipendente.
SOLUZIONE
L’equazione della retta è
Y = a 0 N + a 1
F 0 5 3 X.
Le equazioni normali sono
F 0 5 3 Y = a 0 N + a 1
F 0 5 3 X F 0 5 3 XY = a (^0)
F 0 5 3 X + a (^1)
F 0 5 3 X 2
Il calcolo delle somme viene ordinato per colonne:
Dato che ci sono 8 paia di valori di X e Y, N=8, e le equazioni normali diventano
8a 0 + 56 a 1 = 40
56 a 0 + 524 a 1 = 364.
Risolvendo simultaneamente,
a 0 = 6/11 = 0.
a (^) 1= 7/11 = 0.636. La retta dei minimi quadrati richiesta è
Y = 0.545 + 0.636 X.
(Applicazione alle serie temporali) In tabella è riportata la produzione di acciaio di un certo paese in milioni di tonnellate durante gli anni 1946-1956.
a) Tracciate il grafico dei dati b) Trovate l’equazione della retta dei minimi quadrati interpolante i dati. c) Stimate la produzione di acciaio per gli anni 1957 e 1958 e confrontate con i veri valori, che sono rispettivamente 112,7 e 85.3 milioni di tonnellate.
d) (^) Stimate la produzione di acciaio per gli anni 1945 e 1944 e confrontate con i veri valori, che sono 79.7 e 89.6 milioni di tonnellate.
SOLUZIONE
a)
b)
Usiamo l’equazione
y=
dove x = X - F 06 0 X e y = Y - F 06 0 Y.
Il lavoro può essere ordinato come in tabella :
L’equazione richiesta diventa
Y = (434.1/110) x ossia y = 3.95 x Che può essere riscritta nella forma
Y – 95.0 = 3.95 (X – 5) o Y = 75.2 + 3.95 X
Dove l’origine X=0 è l’anno 1946 e l’unità di misura di X è l’anno.
La tabella riporta le rispettive masse X ed Y di un campione di 12 padri e dei loro figli primogeniti. a) Costruite un diagramma di dispersione b) Trovate la retta di regressione dei minimi quadrati di Y su X
SOLUZIONE
a) Si ottiene il diagramma di dispersione riportando i punti (X,Y) su un sistema di coordinate cartesiane come in figura.
b) La retta di regressione di Y su X è data da Y = a 0 + a 1 X, dove a0 e a1 vengono ottenute risolvendo le equazioni normali
F 0 5 3 Y = a 0 N + a 1
F 0 5 3 X
F 0 5 3 XY = a (^0)
F 0 5 3 X + a (^1)
F 0 5 3 X 2
Calcolate le dovute somme, si ottiene
12 a 0 + 800 a 1 = 811
800 a 0 + 53418 a 1 = 54417
da cui
a 0 = 35. a 1 = 0.
Y = 35.82 + 0.476 X.
Calcolate
a) la devianza totale b) la devianza residua c) la devianza spiegata
per i dati del problema precedente.
SOLUZIONE
Compiendo le somme sotto indicate si verifica che:
a) Devianza totale =
F 0 5 3 (Y – F 06 0 Y) 2 =
F 0 5 3 y^2 = 38.
b) Devianza residua =
F 0 5 3 (Y –Y (^) stim ) 2 = 19.
c) Devianza spiegata =
F 0 5 3 (Y (^) stim – F 06 0 Y)^2 = 38.92 – 19.70 = 19..
Trovate a) il coefficiente di determinazione e b) il coefficiente di correlazione per i dati per problema precedente.
SOLUZIONE
a) Coefficiente di determinazione = r 2 = devianza spiegata / devianza totale = 19.22 / 38.92 =
b) Coefficiente di correlazione = r = F 0B 1F 0D 6 0.4938 = F 0B 1 0..
Dato che la variabile Y (^) stim aumenta all’aumentare di X, la correlazione è positiva e scriviamo quindi r = 0..
