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Soluzioni degli esercizi sulle FUNZIONI DI DUE VARIABILI
- Insiemi di definizione:
(a)
x + y
x − y
e definita se il denominatoree diverso da zero, cio`e per x 6 = y: graficamente
significa rimuovere dal piano la retta y = x
(b)
xy e definita se xy ≥ 0, cioe per x ≥ 0 e y ≥ 0 oppure x ≤ 0 e y ≤ 0: graficamente
significa considerare il primo e il terzo quadrante, assi compresi
(c)
x
x^2 + y^2
`e definita se x
2
2 6 = 0 cio`e per (x, y) 6 = (0, 0): graficamente significa rimuovere
dal piano l’origine
(d)
xy
x
2 − y
2
`e definita se x
2 − y
2 6 = 0 cio`e per y 6 = ±x: graficamente significa rimuovere dal
piano le due rette y = x e y = −x
(e)
p 4 x^2 + 9y^2 − 36 `e definita se 4x
2
2 − 36 ≥ 0, cio`e visto che
x
2
y
2
= 1 rappresenta
un’ellisse che ha per asse maggiore l’asse x e asse minore l’asse y, se (x, y) non `e contenuto
all’interno dell’ellisse: graficamente vanno bene tutti i punti sull’ellisse oppure esterni ad
essa
0
1
2
-3 -2 -1 1 2 3
(f)
p x
2 − y
2
`e definita se x
2 − y
2
0 cio`e per y
2 < x
2 vale a dire per − |x| < y < |x|:
graficamente significa rimuovere dal piano le due rette y = x e y = −x e i due quadranti
che stanno al di sopra ed al di sotto di esse
0
2
4
-4 -2 2 4
(g) ln(1 + xy) e definita se 1 + xy > 0 cioe
se x > 0 per y > −
x se x = 0 per ogni y
se x < 0 per y < −
x
: graficamente significa
che la funzione `e definita sull’asse y e sui punti a sinistra di esso ma “sotto l’iperbole”
di equazione y = −
x
e a destra di esso ma “sopra” la stessa iperbole: complessivamente
sono tutti i punti compresi tra i due rami dell’iperbole
0
2
4
-4 -2 2 4
(h)
cos (x − y)
e definita se cos (x − y) 6 = 0 cioe, osservando che cos (x − y) = cos (y − x) ,
per y − x 6 =
π 2
- kπ (con k intero): graficamente significa rimuovere dal piano tutte le
rette di equazione y = x +
π 2
- kπ (al variare di k nei numeri interi)
0
5
10
-4 -2 2 4
(i)
p
x
2 − y
`e definita se x
2 − y > 0 cio`e per y < x
2 : graficamente significa rimuovere dal
piano tutti i punti della parabola di equazione y = x
2 e quelli nella regione al di sopra
della parabola stessa.
0
2
4
6
8
10
12
-4 -2 2 4
- Calcolo di limiti
(a) lim (x,y)→(1,π)
cos (xy)
1 − x − cos y
cos (1 · π)
1 − 1 − cos π
cos (π)
− cos π
= −1: infatti la funzione `e continua
ove `e definita (in quanto rapporto di composizione di funzioni continue e somme algebriche
di funzioni continue con denominatore che non si annulla nel punto.
si vede che f(x, ax
2 ) =
x
2
2 x
4
ax^2
a
2 e quindi, avvicinandosi all’origine lungo
parabole con diverso coefficiente a, la funzione tende ad assumere differenti valori
a
Ma il limite, se esiste, e unico: aver trovato piu valori significa che il limite non esiste.
(b) lim (x,y)→(0,0)
sin(xy)
x^2 + y^2
0 0
Anche in questo caso il passaggio in coordinate polari non aiuta. Ma se ci si avvicina a
(0, 0) lungo le rette di equazione y = mx, si vede che f(x, mx) =
sin(mx
2 )
x^2 (1 + m^2 )
e poich´e,
per x → 0, sin(mx
2 ) `e asintotico a mx
2 , lim x→ 0
sin(mx
2 )
x^2 (1 + m^2 )
= lim x→ 0
mx
2
x^2 (1 + m^2 )
m
1 + m^2
quindi, avvicinandosi all’origine lungo rette con diverso coefficiente angolare m, la fun-
zione tende ad assumere differenti valori
m
1 + m^2
Ma il limite, se esiste, e unico: aver trovato piu valori significa che il limite non esiste.
- Derivate parziali prime e loro valutazione in punti particolari
(a) f(x, y) = xy + x
2 ha derivata parziale
rispetto a x: fx(x, y) = y + 2x che in (2, 0) vale fx(2, 0) = 4
rispetto a y: fy(x, y) = x che in (2, 0) vale fy(2, 0) = 2
(b) f(x, y) = ln (1 + e
xy ) ha derivata parziale
rispetto a x: fx(x, y) =
ye
xy
1 + exy^
che in (2, −1) vale fx(2, −1) =
−e
− 2
1 + e−^2
rispetto a y: fy(x, y) =
xe
xy
1 + e
xy
che in (2, −1) vale fy(2, −1) =
2 e
− 2
1 + e
− 2
(c) f(x, y) = sin
x
y
ha derivata parziale
rispetto a x: fx(x, y) =
y cos
x
y
che in
π 3
vale fx
π 3
= 2 cos
2 π 3
rispetto a y: fy(x, y) =
x
y
cos
x
y
che in
π 3
vale fy
π 3
π
cos
2 π 3
π
- Equazione del piano tangente al grafico di una funzione di due variabili in un suo
punto.
Ricordiamo che se esistono e sono continue in (x 0 , y 0 ) le derivate parziali prime della funzione
f (x, y), esiste il piano tangente ed ha equazione
z − f (x 0 , y 0 ) = fx(x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + fy(x 0 , y 0 ) (y − y 0 )
(a) f(x, y) = x
2 − y
2 `e una funzione continua e le sue derivate parziali prime sono continue
in tutto il piano e quindi in particolare in (− 2 , 1).
Risulta f(− 2 , 1) = 4 − 1 = 3, fx(x, y) = 2x, fy(x, y) = − 2 y e quindi l’equazione del piano
tangente al grafico nel punto (− 2 , 1 , 3) `e z − 3 = −4 (x + 2) − 2 (y − 1).
(b) f(x, y) = cos
μ x
y
`e una funzione continua e le sue derivate parziali prime sono continue
in ciascuno dei due semipiani “delle ordinate positive” e “delle ordinate negative” e quindi
in particolare in (π, 4). Risulta
f(π, 4) = cos
π
fx(x, y) = −
y
sin
μ x
y
=⇒ fx(π, 4) = −
sin
π
fy(x, y) =
x
y
2
sin
μ x
y
=⇒ fy(π, 4) =
π
sin
π
2 π
e quindi l’equazione del piano tangente al grafico nel punto
π, 4 ,
√ 2 2
`e
z −
(x − π) +
2 π
(y − 4).
(c) f(x, y) = ye
−x^2 `e una funzione continua e le sue derivate parziali prime sono continue in
tutto il piano e quindi in particolare in (0, 1). Risulta f(0, 1) = 1, fx(x, y) = − 2 xye
−x^2 ,
fy(x, y) = e
−x^2 e quindi l’equazione del piano tangente al grafico nel punto (0, 1 , 1) `e
z − 1 = 0 (x − 0) + 1 (y − 1), cio`e z = y.
(d) f(x, y) =
p 1 + x^2 y^3 `e una funzione continua e le sue derivate parziali prime sono continue
purch´e 1 + x
2 y
3
0 e quindi in particolare in (1, 2). Risulta
f(1, 2) =
fx(x, y) =
2 xy
3
p
1 + x
2 y
3
=⇒ fx(1, 2) =
fy(x, y) =
3 x
2 y
2
p
1 + x
2 y
3
=⇒ fy(1, 2) =
e quindi l’equazione del piano tangente al grafico nel punto (1, 2 , 3) `e
z − 3 =
(x − 1) + 2 (y − 1).
- Gradiente delle funzioni di cui ai punti 4, 5.
Ricordiamo che grad (f (x, y)) = (fx(x, y) , fy(x, y)); quindi
4a: grad (f(x, y)) = (y + 2x, x)
4b: grad (f (x, y)) =
μ ye
xy
1 + e
xy
xe
xy
1 + e
xy
4c: grad (f (x, y)) =
μ √ y cos
x
y
x
y
cos
x
y
5a: grad (f(x, y)) = (2x, − 2 y)
5b: grad (f (x, y)) =
μ
y
sin
μ x
y
x
y^2
sin
μ x
y
5c: grad (f (x, y)) =
− 2 xye
−x^2 , e
−x^2
5d: grad (f (x, y)) =
Ã
xy
3
p
1 + x
2 y
3
3 x
2 y
2
p
1 + x
2 y
3
- Trovare la velocit`a di variazione delle funzioni assegnate, nei punti e nelle direzioni
assegnate, significa calcolare la derivata direzionale della funzione f(x, y), nella direzione as-
segnata v, nel punto assegnato (x 0 , y 0 ). Si sa che se f(x, y) ha derivate parziali prime continue,
denotato con ` = (cos t, sin t) il versore ottenuto dividendo il vettore v per il suo modulo questo
equivale a fare il prodotto scalare grad (f (x 0 , y 0 )) • `
(a) f(x, y) = 3x − 4 y, (x 0 , y 0 ) = (0, 2), vettore direzione assegnato v = − 2 i =⇒versore
corrispondente ` = −i = (− 1 , 0):
grad (f(x, y)) = (3, −4) = grad (f(x 0 , y 0 )) in ogni punto (x 0 , y 0 ) del piano
velocit`a di variazione nella direzione assegnata: (3, −4) • (− 1 , 0) = −3.
(b) f(x, y) = x
2 y, (x 0 , y 0 ) = (− 1 , −1), vettore direzione assegnato v = i+2j = (1, 2) =⇒versore
corrispondente ` =
√^1 5
√^2 5
fy(x, y) =
x
2 − 2 y
1 + (x
2 y − y
2
2
fyx(x, y) =
2 x
h
1 + (x
2 y − y
2
2
i
−2 (x
2 − 2 y) (2xy + 1) (x
2 y − y
2
1 + (x
2 y − y
2
2
fyy(x, y) =
h
1 + (x
2 y − y
2
2
i
−2 (x
2 − 2 y)
2 (x
2 y − y
2
1 + (x
2 y − y
2
2
(e) f(x, y) = x
2 sin y − y sin (x
2 )
fx(x, y) = 2x sin y − 2 xy cos (x
2 ) =⇒
fxx(x, y) = 2 sin y − 2 y cos (x
2 ) + 4x
2 y sin (x
2 )
fxy(x, y) = 2x^ cos^ y^ −^2 x^ cos (x
2 )
fy(x, y) = x
2 cos y − sin (x
2 ) =⇒
fyx(x, y) = 2x cos y − 2 x cos (x
2 )
fyy(x, y) = −x
2 sin y
- Determinazione e classificazione dei punti critici di funzioni.
Ricordiamo che i punti critici di una funzione f (x, y) sono quelli le cui coordinate annul-
lano il gradiente grad (f (x, y)) e, tra di essi, sono punti di sella quelli per i quali l’Hessiano
H(x, y) =
fxx(x, y) fxy(x, y)
fyx(x, y) fyy(x, y)
`e negativo, mentre sono punti di massimo o minimo locale
quelli per cui H(x, y) > 0 (massimo se fxx(x, y) < 0; minimo se fxx(x, y) > 0).
(a) f(x, y) = xye
−(x^2 +y^2 )/ 2
grad (f(x, y)) =
(y − x
2 y) e
−(x^2 +y^2 )/ 2 , (x − xy
2 ) e
−(x^2 +y^2 )/ 2
= (0, 0) se e solo se (
(y − x
2 y) e
−(x^2 +y^2 )/ 2 = 0
(x − xy
2 ) e
−(x^2 +y^2 )/ 2 = 0
y (1 − x
2 ) = 0
x (1 − y
2 ) = 0
tale sistema si scompone nei due sistemi
y = 0
x = 0
e
x
2 = 1
y
2 = 1
che hanno soluzioni (0, 0), (1, 1), (− 1 , 1), (1, −1) e (− 1 , −1) : questi sono i punti critici.
fxx(x, y) = [−xy (1 − x
2 ) − 2 xy] e
−(x^2 +y^2 )/ 2 = xy (x
2 − 3) e
−(x^2 +y^2 )/ 2
fxy(x, y) = (1 − y
2 ) (1 − x
2 ) e
−(x^2 +y^2 )/ 2 = fyx(x, y) (valgono le ipotesi del teorema di
Schwartz)
fyy(x, y) = [−xy (1 − y
2 ) − 2 xy] e
−(x^2 +y^2 )/ 2 = xy (y
2 − 3) e
−(x^2 +y^2 )/ 2
Quindi l’Hessiano H(x, y) = e
−(x^2 +y^2 )/ 2
xy (x
2 − 3) (1 − y
2 ) (1 − x
2 )
(1 − y
2 ) (1 − x
2 ) xy (y
2 − 3)
i. nel punto (0, 0) vale H(0, 0) = e
0
= − 1 < 0, per cui l’origine `e un punto di
sella;
ii. in ciascuno dei due punti (1, 1) e (− 1 , −1) vale e
−(1+1)/ 2
= 4e
− 1
0, per cui i due punti sono estremanti locali e pi`u precisamente massimi,
in quanto 1 (1 − 3) < 0;
iii. in ciascuno dei due punti (1, −1) e (− 1 , 1) vale e
−(1+1)/ 2
= 4e
− 1
0, per cui i due punti sono estremanti locali e pi`u precisamente minimi, in
quanto −1 (1 − 3) > 0.
