Corso di Matematica: Geometria 3 - Università di Bologna, Esercizi di Geometria

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Universit`a di Bologna - Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di GEOMETRIA 3 A.A. 2019/20 - N

1. Sia A ∈ M 3 (R) una matrice simmetrica con p autovalori positivi e q autovalori negativi, con p ≥ 1 , q ≥ 1 , p + q = 3. Si provi che X = {x ∈ R^3 | txAx = 1} ´e diffeomorfa a Sp−^1 × Rq^ ⊂ R^3 (dove Sp−^1 = {x ∈ Rp^ | ||x|| = 1}).
2. Si considerino le quadriche

Q 1 = {(x, y, z) ∈ R^3 | 6 xz+8yz− 5 x = 0}, Q 2 = {(x, y, z) ∈ R^3 | 6 xz+8yz−5 = 0}.

a) Si scriva la forma canonica euclidea di Q 1 e Q 2 e si stabilisca se esiste un’isometria che porta una quadrica nell’altra. b) Si scriva un’isometria che porta Q 2 nella sua forma canonica euclidea. c) Si stabilisca se Q 1 e Q 2 sono superfici di rotazione e/o superfici rigate.

3. Sia (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (u, v, uv) una parametrizzazione del paraboloide iperbolico S = {(x, y, z) ∈ R^3 | z = xy} e sia γ(t) = (t, t, t^2 ) una curva di S.

a) Si determini la lunghezza dell’arco di γ per 0 ≤ t ≤ 1. b) Si determini l’angolo formato dalla curva γ con la curva α(t) = (− 2 t, t, − 2 t^2 ). c) Si calcoli l’area della regione

R = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ S | u > 0 , v > 0 , u^2 + v^2 ≤ 1 }.

4. Sia S = {(x, y, z) ∈ R^3 | z =

x^2 + y^2 } e sia α(t) = (tcos t, tsen t, t), 0 ≤ t ≤ 2 π.

a) Si calcoli la lunghezza di α(t). b) Si calcoli l’area della regione di S con 1 ≤ z ≤ 2. c) Si stabilisca se le curve coordinate della parametrizzazione di S definita da (x, y, z) = (ucosv, usenv, u) con u > 0 , 0 < v < 2 π, sono tra loro ortogonali in ogni punto.

5. Si calcoli la prima forma fondamentale del cono di vertice l’origine e che in-

terseca il piano z = 1 nell’ellisse di equazioni

z = 1 (x − 2)^2 + 4(y − 1)^2 = 1.

6. Si determini la prima forma fondamentale della sfera unitaria di R^3 nella parametrizzazione ottenuta grazie alla proiezione stereografica dal polo nord.
7. Sia γ : R → R^3 definita da γ(v) = (coshv, 0 , v) una parametrizzazione della catenaria e sia S la catenoide ottenuta facendo ruotare la catenaria intorno all’asse z.

a) Si parametrizzi γ secondo la lunghezza d’arco.