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1. Esercizi di ALGA - Numeri complessi 1
(Semestre Invernale 2021/2022)
Prof. Maria Evelina Rossi Prof. Arvid Perego
Numeri complessi
Esercizio 1. Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
(1) √1+i 3 −i (2) ( √1+i 3 −i
2
7+i 2 − 3 i (4) |(3 + 4i)^12 |, (5) (
3 + i)^4045
(6)
k=
cos
2 π 3
2 π 3
))k
Svolgimento 1. Calcoliamo le espressioni proposte.
(1) Per scrivere in forma algebrica il numero √1+i 3 −i abbiamo almeno due metodi.
Metodo 1: razionalizzazione. Moltiplichiamo e dividiamo la frazione proposta per il coniugato del suo denominatore, cio`e per
3+i. Troviamo allora
1 + i √ 3 − i
1 + i √ 3 − i
3 + i √ 3 + i
(1 + i)(
3 + i)
(
3 − i)(
3 + i)
Ora, ricordiamo che se z ∈ C, allora zz = |z|^2 , quindi
3 − i)(
3 + i) = |
3 − i| 2 = 4.
Inoltre, si ha
(1 + i)(
3 + i) =
3 − 1 + i(
quindi si trova
1 + i √ 3 − i
che `e la forma algebrica cercata. Metodo 2: esponenziale. Trasformiamo numeratore e denomina- tore in forma esponenziale. Osserviamo che
|1 + i| =
2 , arg(1 + i) =
π
4
(ricordiamo che se z ∈ C e z 6 = 0, l’argomento di z e l’unico angolo in [0, 2 π) il cui cosenoe Re(z)/|z| e il cui seno e Im(z)/|z|, e quindi arg(1 + i)e l’unico angolo in [0, 2 π) il cui coseno `e 1 /
2 e il cui seno `e 1 /
2 , cio`e π/ 4 ), e
3 − i| = 2, arg(
3 − i) = −
π
6 1
(come prima, l’argomento di
3 − i e l’unico angolo, stavolta in [−π, π) il cui cosenoe
3 / 2 e il cui seno `e − 1 / 2 ). Ma quindi
1 + i =
2 e i π 4 ,
3 − i = 2e −i π 6 ,
e quindi
1 + i √ 3 − i
e i( π 4 −(− π 6 )) =
e i 512 π =
cos
( 5 π
12
sin
( 5 π
12
Osservazione: abbiamo ottenuto due forme algebriche visivamente diverse con i due metodi diversi, ma si tratta della stessa forma. Inoltre, uguagliando le due espressioni `e possibile ricavare i valori di cos
5 π 12
e sin
5 π 12
. Si ha infatti √ 3 − 1
4
cos
( 5 π
12
da cui si ottiene
cos
( 5 π
12
e in modo analogo si trova
sin
( 5 π
12
(2) Per scrivere in forma algebrica il numero
√1+i 3 −i
abbiamo almeno tre metodi. Metodo 1: prima razionalizziamo la frazione e poi calcol- iamo il quadrato. Usando quanto fatto nel punto precedente si ha che
1 + i √ 3 − i
Si ha dunque
( (^) 1 + i √ 3 − i
i =
i.
Metodo 2: prima facciamo i quadrati e poi razionalizziamo. Si ha che ( (^) 1 + i √ 3 − i
(1 + i)^2
(
3 − i)^2
Ma
(1 + i) 2 = 2i, (
3 − i) 2 = 2 − 2
3 i,
e quindi
cos
4045 π
6
= cos
π
6
sin
4045 π
6
= sin
π
6
da cui si ottiene
3 + i) 4045 = 2 4045
i
4044 (
3 + i).
(6) Concludiamo ora con la scrittura in forma algebrica di
(^2021) ∑
k=
cos
2 π
3
2 pi
3
))k
.
Anzitutto osserviamo che
cos
2 π
3
2 pi
3
= e i 23 π =: j,
quindi stiamo calcolando (^2021) ∑
k=
jk.
Usiamo ora la formula (che dimostreremo per induzione alla fine dell’esercizio)
∑^ n
k=
w k =
1 − wn+
1 − w
che vale per ogni numero complesso w 6 = 1. Si ha allora
∑^2021
k=
j k =
1 − j^2022
1 − j
Calcoliamo ora j^2022 , e quindi
j 2022 = e i 40443 π .
Dato che 4044 `e multiplo di 6, si ha che esiste p ∈ N tale che 4044 = 6p, quindi
e i 40443 π = e 2 ipπ = 1.
Si ottiene quindi (^2021) ∑
k=
j k =
1 − j
Metodo alternativo. Osserviamo che j 3 = e i 63 π = 1, quindi
1 + j + j 2 = 0
(usando sempre la formula vista in precedenza). Si ha dunque
(^2021) ∑
k=
jk^ = 1 + j + j^2 +
∑^2021
k=
jk^ =
k=
jk^ = j^3
k=
jk−^3 =
∑^2018
l=
jl.
Continuando in questo modo si trova che
∑^2021
k=
j k =
k=
j k =
k=
j k = · · ·
Dato che 2021 = 673 · 3 + 2, possiamo riscrivere questa sequenza come 3 ·673+2∑
k=
j k =
k=
j k =
k=
j k = · · · =
∑^2
k=
j k = 1 + j + j 2 = 0.
Concludiamo con la dimostrazione della formula usata nell’ultimo calcolo, vale
a dire dimostriamo che per ogni w ∈ C \ { 1 } e per ogni n ∈ N si ha
∑^ n
k=
w k =
1 − wn+
1 − w
Lo dimostriamo per induzione su n.
- Per n = 0 troviamo che il membro sinistro dell’equazione
e 1, quello destroe 1 −w 1 −w = 1, e quindi la formula `e vera per n = 0. - Supponiamo che la formula sia vera per n − 1 ≥ 0 , mostriamo che `e vera per n. In effetti si ha
∑^ n
k=
w k =
n∑− 1
k=
w k
1 − wn
1 − w
dove l’ultima uguaglianza `e conseguenza dell’ipotesi di induzione. Ma osserviamo che 1 − wn
1 − w
1 − wn^ + wn^ − wn+
1 − w
1 − wn+
1 − w
il che conclude la dimostrazione.
Esercizio 2. Risolvere le seguenti equazioni in C.
(1) iz + 5 = z (2) (1 + ia)z + 1 − i = 0 con a ∈ C (3) z^2 = −8 + 6i (4) (1 + i)z^2 + 1 − i = 0 (5) z^2 − (5 − 14 i)z − 24 − 10 i = 0 (6) z^4 = − 4 (7) z^8 − 15 z^4 − 16 = 0 (8) z^7 = z (9) (z − 1)^5 = (z + 1)^5 (10) z^4 − z^3 + z^2 − z + 1 = 0 (11) az = z con a ∈ C
