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Capitolo 1
Esercizi di Programmazione
Lineare
1.1 Modelli matematici di ottimizzazione
1.1.1 Esercizi da svolgere
Esercizio 1. Un’azienda produttrice di automobili ha a disposizione tre sta- bilimenti (S 1 , S 2 , S 3 ) che devono soddisfare la domanda annuale di 4 punti di vendita (V 1 , V 2 , V 3 , V 4 ) pari a 450, 650, 400 e 500 automobili, rispetti- vamente. Nella seguente tabella sono riportati i costi unitari di trasporto (espressi in euro) dagli stabilimenti ai punti di vendita:
V 1 V 2 V 3 V 4 S 1 20 40 10 30 S 2 30 60 50 40 S 3 40 50 60 70
Formulare il problema come problema di ottimizzazione supponendo di voler minimizzare il costo complessivo del trasporto delle automobili ai punti di vendita, considerando che la capacita produttiva annuale dei tre stabilimentie pari a 700, 500 e 800 automobili, rispettivamente.
Esercizio 2. Una casa editrice deve effettuare il trasporto di libri da 3 depositi (D 1 , D 2 , D 3 ) a 4 librerie (L 1 , L 2 , L 3 , L 4 ). Nella seguente tabella sono riportati i costi unitari (espressi in euro) di trasporto da ciascun deposito
1
a ciascuna libreria, le quantit`a di libri disponibili nei depositi e quelle richieste dalle singole librerie:
L 1 L 2 L 3 L 4 Disponibilit`a D 1 1 2 1 1.5 60 D 2 0.5 2 0.8 0.5 100 D 3 1 0.5 1.5 0.5 40 Richieste 20 80 55 45
Poiche i costi di trasporto sono a carico della case editrice, l’obiettivoe quel- lo di minimizzare il costo complessivo del trasporto dai depositi alle librerie soddisfacendo i vincoli di richiesta e disponibilit`a. Formulare il problema come problema di ottimizzazione.
Esercizio 3. Un’azienda ospedaliera deve riorganizzare i turni del personale paramedico. Ogni infermiere, indipendentemente dalla collocazione all’inter- no della settimana, lavora 5 giorni consecutivi e poi ha diritto a due giorni di riposo. Le esigenze di servizio per i vari giorni della settimana richiedono la presenza del seguente numero minimo di infermieri:
Giorno Numero minimo Lunedı 28 Martedı 18 Mercoledı 20 Giovedı 26 Venerd`ı 22 Sabato 13 Domenica 13
Ciascun infermiere viene retribuito in base al giorno della settimana in cui lavora. In particolare il costo che l’ospedale sostiene per retribuire un in- fermiere e di 50 euro al giorno (per i turni del lunedı, martedı, mercoledı, giovedı e venerdı), di 75 euro al giorno per i turni di sabato e di 85 euro al giorno per i turni di domenica. Ad esempio, un infermiere il cui turno comincia il giovedı, per i suoi 5 giorni lavorativi (dal giovedı al lunedı) riceve una retribuzione pari a euro 310 (ovvero 50 × 3 + 75 + 85). Obiettivo del- l’azienda ospedalierae quello di minimizzare i costi complessivi settimanali di retribuzione degli infermieri.
e pantaloni, pari a 6 mila e 7 mila unita rispettivamente. Si tenga presente inoltre che una stessa tipologia di prodotto puo essere ottenuta contempo- raneamente da piu di un impianto e che le capacita produttive di ciascun impianto sono indipendenti dal numero di tipologie di prodotti, per i quali esso viene utilizzato.
Esercizio 6. Il Ministero della Sanita ha in progetto la costruzione di os- pedali ortopedici specializzati, che nel raggio di 200 km siano in grado di servire le seguenti citta: Latina, Lecce, Matera, Napoli, Potenza, Salerno e Roma. Nel seguito, per ogni citt`a, sono elencate quelle situate a una distanza inferiore ai 200 km:
- Latina: Latina, Napoli, Roma;
- Lecce: Lecce, Matera;
- Matera: Lecce, Matera, Potenza;
- Napoli: Latina, Napoli, Potenza, Salerno;
- Potenza: Matera, Napoli, Potenza, Salerno;
- Salerno: Napoli, Potenza, Salerno;
- Roma: Latina, Roma. Ad esempio, se un ospedale venisse costruito a Napoli, esso sarebbe in grado di servire anche le citt
a di Latina, Potenza e Salerno, che si trovano a una distanza da Napoli inferiore a 200 km. Si vuole decidere in quale delle 7 citta costruire gli ospedali, in maniera tale che ogni citta abbia almeno un ospedale ad una distanza non superiore a 200 km e tenendo conto che in una stessa citta non si puo costruire piu di un ospedale. Formulare il problema come problema di ottimizzazione, con l’obiettivo di minimizzare il numero di ospedali da costruire. (Suggerimento: Si definisca una variabile decisionale di tipo binario per ciascuna delle sette citta, ovvero xi = 1 se nella i−esima citta viene costruito l’ospedale, xi = 0 in caso contrario.)
Esercizio 7. Un’azienda manifatturiera, nel rivedere il proprio organico, deve assegnare 5 operai (O 1 , O 2 , O 3 , O 4 , O 5 ) a quattro diversi reparti (R 1 , R 2 , R 3 , R 4 ). Nella seguente tabella sono riportati (in euro) i costi mensili di retribuzione dei 5 operai, in funzione del reparto a cui potrebbero essere assegnati:
R 1 R 2 R 3 R 4
O 1 1200 1100 1050 1300
O 2 1500 1000 1100 1400
O 3 1000 1600 1100 1150
O 4 950 1300 1250 800
O 5 1100 900 1400 1300
Ad esempio se l’operaio O 1 venisse assegnato al reparto R 3 , il suo stipen- dio mensile sarebbe di 1050 euro. Si vuole decidere come assegnare gli op- erai ai reparti, con l’obiettivo di minimizzare i costi complessivi mensili di retribuzione e tenendo conto dei seguenti vincoli:
- ogni operaio deve essere assegnato esattamente ad un solo reparto;
- l’operaio O 2 pu`o essere assegnato solo ai reparti R 1 o R 4 ;
- ai reparti R 1 , R 2 ed R 3 si deve assegnare esattamente un solo operaio, mentre al reparto R 4 si devono assegnare esattamente due operai. Formulare il problema come problema di ottimizzazione.
Esercizio 8. Un’azienda manifatturiera dispone di 4 macchine per produrre 4 diversi tipi di componenti, che poi, in fase di assemblaggio, daranno luogo al prodotto finito. E possibile attrezzare ogni macchina in modo che possa` produrre qualsiasi tipo di componente; i tempi unitari di produzione (espressi in minuti) sono riportati nella seguente tabella:
Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Macchina 1 30 50 15 25 Macchina 2 40 25 40 60 Macchina 3 30 30 50 30 Macchina 4 10 20 80 30
Sapendo che, per ogni tipo di componente, bisogna produrre almeno 20 pezzi, formulare il problema come problema di ottimizzazione, con l’obiettivo di minimizzare i tempi complessivi di produzione.
Esercizio 9. La direzione di un hotel vuole minimizzare le spese giornaliere complessive relative al personale. Nell’intera giornata sono previsti 6 turni, di 4 ore ciascuno; inoltre ciascun dipendente deve lavorare 8 ore consecutive. Per ogni turno `e previsto un numero minimo di personale, secondo quanto riportato nella seguente tabella:
La disponibilita settimanale degli ingredientie di 16 kg di mandorle, 20 kg di nocciole e 10 kg di cioccolato. Le quantit`a di mandorle, nocciole e cioccolato che non sono utilizzate per la produzione dei tre dolci vengono vendute al pubblico a un prezzo pari a 3, 5 e 6 euro/etto, rispettivamente. I prezzi di vendita al pubblico dei tre dolci (A, B e C) sono pari rispettivamente a 10, 25 e 14 euro al chilo. Formulare il problema come problema di ottimizzazione, tenendo conto dei vincoli sulle risorse settimanali e con l’obiettivo di mas- simizzare il ricavo settimanale derivante dalla vendita dei tre tipi di dolce (A, B e C) e degli ingredienti rimasti inutilizzati nella produzione.
Esercizio 12. Un’azienda leader nel campo dell’elettronica deve organizzare una campagna pubblicitaria per il lancio di un nuovo cellulare. La campagna pubblicitaria e basata sull’uso della TV, della radio, di riviste settimanali e di alcune pagine web: in particolare, trasmettere uno spot pubblicitario in TV nel primo pomeriggio costa 800 euro, trasmettere uno spot pubblicitario in TV in prima serata costa 1.100 euro, trasmettere uno spot pubblicitario alla radio costa all’azienda 300 euro, mentre pubblicare una pagina di pubblicita su una qualsiasi rivista settimanale costa all’azienda 500 euro, mentre la pubblicita su Internet costa 250 euro. Nella seguente tabella sono riportate le stime del numero di potenziali acquirenti (espressi in migliaia e suddivisi per fascia di eta, a partire da 15 anni) raggiungibili da ciascun tipo di messaggio pubblicitario:
Fasce di et`a 15 − 17 18 − 25 26 − 40 41 − 60 > 60 TV pomeriggio 200 150 100 120 180 TV prima serata 250 140 130 300 350 Radio 100 120 120 140 170 Rivista 80 100 110 180 200 Internet 400 400 300 100 5
L’azienda deve decidere come organizzare la campagna pubblicitaria, con l’o- biettivo di minimizzare i costi complessivi di pubblicit`a e tenendo conto dei seguenti vincoli:
- il messaggio pubblicitario deve arrivare, per ciascuna fascia di et`a, ad al- meno due milioni di potenziali acquirenti;
- la quantit`a di spot trasmessi alla radio non deve superare il 50% degli spot trasmessi in TV;
- la spesa complessiva sostenuta per la pubblicit`a su riviste non deve super- are il 50% della spesa complessiva sostenuta per trasmettere gli spot in TV. Formulare il problema come problema di ottimizzazione.
Esercizio 13. Un agricoltore produce nel proprio terreno fragole, kiwi, arance e ciliegie. La frutta viene divisa in cassette e portata al mercato or- tofrutticolo utilizzando un furgone che ha la capacit`a massima di 12 quintali. Nella seguente tabella sono riportati il peso (in chili) di ciascuna cassetta, il prezzo di vendita (euro/chilo) e il costo di produzione (euro/chilo) della frutta: Peso Prezzo Costo Fragole 10 2 0. Kiwi 12 1.25 0. Arance 20 1 0. Ciliegie 14 1.50 0.
L’agricoltore deve decidere il numero di cassette di frutta da trasportare al mercato con il furgone, con l’obiettivo di massimizzare il profitto complessi- vo derivante dalla vendita della frutta (che viene venduta solo a cassette) e tenendo conto che, per avere un buon assortimento, devono essere trasportate almeno 4 cassette di fragole, 6 di kiwi, 8 di arance e 6 di ciliegie. Formulare il problema come problema di ottimizzazione.
Esercizio 14. Una compagnia petrolifera deve trasportare settimanalmente, via mare, 4 milioni di tonnellate di petrolio da una piattaforma petrolifera ad una raffineria costiera. Per il trasporto si possono utilizzare tre tipi di petroliera: una superpetroliera da 200000 tonnellate, una petroliera media da 125000 tonnellate e una piccola da 50000 tonnellate. Un viaggio con una superpetroliera costa 200000 euro, uno con una media 100000 euro, mentre una piccola costa 70000 euro per viaggio. Inoltre una superpetroliera ha un potenziale di inquinamento pari allo 0.5%, una media dello 0.25% e una piccola dello 0.1%. Si vuole determinare un piano di trasporto settimanale del petrolio dalla piattaforma alla raffineria considerando che ogni nave puo effettuare solo un viaggio, minimizzando il costo complessivo e tenendo pre- sente che, in base ad accordi con le organizzazioni ambientaliste, il numero di petroliere non puo essere superiore a 30 e che il potenziale di inquinamento complessivo non deve superare le 100000 tonnellate.
1.3 Il Metodo del simplesso
1.3.1 Esercizi svolti
Esercizio 1. Risolvere il seguente problema utilizzando il metodo del simp-
- min Z = 3x 1 + 4x mazione lineare: - x 1 +x 2 ≥ - x 2 ≤ - x 1 −x 2 ≤ - x 1 , x 2 ≥
- min Z = 5x 1 + 7x - x 1 +x 2 ≤ - x 1 +x 2 ≥ - x 1 − 3 x 2 ≤ - 3 x 1 −x 2 ≥
- x 1 , x 2 ≥ - max Z = −x 1 + x - 2 x 1 −x 2 ≤ - x 1 − 2 x 2 ≤ - x 2 ≤ - x 1 , x 2 ≥
- max Z = 2x 1 + x - −x 1 +x 2 ≤ - x 1 − 3 x 2 ≤ - x 2 ≤
- x 1 ≥ 1 , x 2 ≥
- min Z = 2x 1 + x - x 1 +x 2 ≥ - −x 1 +x 2 ≤ - x 2 ≤ - x 1 −x 2 ≤
- x 1 , x 2 ≥ - min Z = 8x 1 + 3x - −x 1 +10x 2 ≤ - x 1 ≤ - x 1 −x 2 ≤ - 4 x 1 +5x 2 ≥ - x 1 , x 2 ≥ - 1 + x 2 + x lesso: max Z = 2x - x 1 +3x 2 +x 3 ≤ - 2 x 1 −x 2 +x 3 ≤ - x 1 +x 2 +4x 3 ≤ - x 1 , x 2 , x 3 ≥
- max Z = 2x 1 + x 2 + x Svolgimento. Scriviamo innanzitutto il problema in forma aumentata
- x 1 +3x 2 +x 3 +x 4 =
- 2 x 1 −x 2 +x 3 +x 5 =
- x 1 +x 2 +4x 3 +x 6 =
- x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ≥
- (0) Z − 2 x 1 −x 2 −x 3 = Le equazioni da risolvere sono:
- (1) x 1 +3x 2 +x 3 +x 4 =
- (2) 2 x 1 −x 2 +x 3 +x 5 =
- (3) x 1 +x 2 +4x 3 +x 6 =
Iterazione 0 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 bi Z x 4 x 5 x 6
Iterazione 1 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 bi Z x 4 x 1 x 6
(^72) −^12 (^32)
(^12) (^12) (^72)
−^12
(^12) −^12
(^72) (^52) (^152)
Iterazione 2 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 bi Z x 2 x 1 x 6
(^27) (^17) (^47) (^237)
(^47) (^27) (^17) −^37
(^57) −^17 (^37) −^27
Soluzione ottima `e (3, 1 , 0 , 0 , 0 , 6), con Z = 7.
Iterazione 1 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 bi Z x 3 x 5 x 6
Iterazione 2 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 bi Z x 3 x 5 x 2
Soluzione ottima `e (0, 5 , 10 , 0 , 19 , 0), con Z = 65. Esercizio 3. Risolvere il seguente problema utilizzando il metodo del simp- lesso: (^) max Z = 7x 1 +^ x 2 + 8x 3 3 x 1 −x 2 +x 3 +x 4 ≤ 6 x 2 +3x 3 +4x 4 ≤ 9 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0. Svolgimento. Scriviamo innanzitutto il problema in forma aumentata max Z = 7x 1 + x 2 + 8x 3 3 x 1 −x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = 6 x 2 +3x 3 +4x 4 +x 6 = 9 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ≥ 0. Le equazioni da risolvere sono: (0) Z − 7 x 1 −x 2 − 8 x 3 = 0 (1) 3 x 1 −x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = 6 (2) x 2 +3x 3 +4x 4 +x 6 = 9
Iterazione 0 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 bi Z x 5 x 6
Iterazione 1 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 bi Z x 5 x 3
(^53) −^43 (^13)
(^323) −^13 (^43)
(^83) −^13 (^13)
Iterazione 2 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 bi Z x 1 x 3
−^139
−^49
(^13)
(^899) −^19 (^43)
(^73) (^13) 0
(^179) −^19 (^13)
Iterazione 3 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 bi Z x 1 x 2
(^133) (^43) 3
(^473) (^53) 4
(^73) (^13) 0
(^103) (^13) 1
Soluzione ottima `e (5, 9 , 0 , 0 , 0 , 0), con Z = 44.
1.4 Il Metodo del simplesso a due fasi
1.4.1 Esercizi svolti
Esercizio 5. Risolvere il seguente problema utilizzando il metodo del simp- lesso a due fasi: (^) min Z = 3x 1 +^ x 2 +^ x 3 x 1 +x 2 +x 3 ≤ 3 2 x 1 +x 2 +x 3 ≥ 4 2 x 1 +3x 2 +x 3 = 6 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0. Svolgimento. Scriviamo il problema nella forma aumentata introducendo una variabile slack, una variabile surplus e due variabili artificiali: min Z = 3x 1 + x 2 + x 3 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 3 2 x 1 +x 2 +x 3 −x 5 +x 6 = 4 2 x 1 +3x 2 +x 3 +x 7 = 6 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0.
Scriviamo ora i problemi che risolve il metodo del simplesso a due fasi: I Fase min Z = x 6 + x 7 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 3 2 x 1 +x 2 +x 3 −x 5 +x 6 = 4 2 x 1 +3x 2 +x 3 +x 7 = 6 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0. II Fase min Z = 3x 1 + x 2 + x 3 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 3 2 x 1 +x 2 +x 3 −x 5 = 4 2 x 1 +3x 2 +x 3 = 6 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0. Poiche il problemae di minimo dobbiamo trasformarlo in un problema di massimo cambiando il segno ai due membri della funzione obiettivo in en-
trambi i problemi:
I Fase max −Z = −x 6 − x 7 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 3 2 x 1 +x 2 +x 3 −x 5 +x 6 = 4 2 x 1 +3x 2 +x 3 +x 7 = 6 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0. II Fase max −Z = − 3 x 1 − x 2 − x 3 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 3 2 x 1 +x 2 +x 3 −x 5 = 4 2 x 1 +3x 2 +x 3 = 6 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0. Le equazioni della I fase sono
(0) −Z +x 6 +x 7 = 0 (1) x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 3 (2) 2 x 1 +x 2 +x 3 −x 5 +x 6 = 4 (3) 2 x 1 +3x 2 +x 3 x 7 = 6.
Per porre in problema in forma canonica bisogna prima sottrarre dall’e- quazione (0) l’equazione (2), ottenendo le nuove equazioni
(0) −Z − 2 x 1 −x 2 − 3 x 3 +x 5 +x 7 = − 4 (1) x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 3 (2) 2 x 1 +x 2 +x 3 −x 5 +x 6 = 4 (3) 2 x 1 +3x 2 +x 3 +x 7 = 6
e poi sottrarre dall’equazione (0) l’equazione (3), ottenendo le equazioni finali per la I fase:
(0) −Z − 4 x 1 − 4 x 2 − 2 x 3 +x 5 = − 10 (1) x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 3 (2) 2 x 1 +x 2 +x 3 −x 5 +x 6 = 4 (3) 2 x 1 +3x 2 +x 3 +x 7 = 6.
Adesso possiamo scrivere il tableau del metodo del simplesso:
II Fase-Tablaeu preliminare Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 bi
Z x 4 x 1 x 2
(^12) (^12) 0
(^14) −^34 (^12)
(^12) (^32) 1
II Fase-Eliminazione coeff. di x 1 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 bi
Z x 4 x 1 x 2
−^12
(^12) (^12) 0
(^94) (^14) −^34 (^12)
−^92
(^12) (^32) 1
II Fase-Eliminazione coeff. di x 2 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 bi
Z x 4 x 1 x 2
−^12
(^12) (^12) 0
(^74) (^14) −^34 (^12)
−^112
(^12) (^32) 1
II Fase-Iterazione 0 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 bi Z x 4 x 1 x 2
−^12
(^12) (^12) 0
(^74) (^14) −^34 (^12)
−^112
(^12) (^32) 1
II Fase-Iterazione 1 Var.base Eq. (^) Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 bi Z x 3 x 1 x 2
(^12) − 1 (^12)
Esercizio 6. Risolvere il seguente problema utilizzando il metodo del simp- lesso a due fasi: (^) max Z = x 1 + 5x 2 x 1 −x 2 ≤ 3 5 x 1 − 2 x 2 = 8 −x 1 +3x 2 ≥ 1 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0. Svolgimento. Scriviamo il problema nella forma aumentata introducendo una variabile slack, una variabile surplus e due variabili artificiali:
max Z = x 1 + 5x 2 x 1 −x 2 +x 3 = 3 5 x 1 − 2 x 2 +x 4 = 8 −x 1 +3x 2 −x 5 +x 6 = 1 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ≥ 0.
