Esercitazione Statistica: Esercizi di Probabilità e Statistica Descrittiva | Esercizi di Statistica

ESERCITAZIONE STATISTICA

Esercizio 1. Determinare la distribuzione di probabilit`a e la funzione di ripartizione

della variabile casuale discreta X = fnumero di croci in 3 lanci di una moneta

g. Calcolare F(􀀀1), F(1.5) e F(300).

Esercizio 2. Un dado regolare viene lanciato 8 volte. Calcolare la probabilit`a di

ottenere 4 numeri maggiori o uguali a 3.

Esercizio 3. La probabilit`a di laurearsi di uno studente che entra in una certa

universit`a `e 0.3. Calcolare la probabilit`a che, su 5 studenti:

(1) nessuno riesca a laurearsi

(2) uno riesca a laurearsi

(3) almeno due studenti riescano a laurearsi

Esercizio 4. Un’azienda deve verificare la produzione. Secondo l’esperienza passata,

la probabilit`a che un pezzo prodotto sia difettoso `e pari a 0.05. Si scelgono 4

pezzi a caso. Calcolare:

(1) la probabilit`a di osservare 2 pezzi difettosi;

(2) la probabilit`a di non osservare alcun pezzo difettoso;

(3) la probabilit`a di osservare almeno 1 pezzo difettoso.

Esercizio 5. Sia Z la v.c. normale standardizzata. Calcolare:

(1) P(Z < 1.52);

(2) P(Z > 1.52);

(3) P(Z < 􀀀1.52);

(4) P(Z > 􀀀1.52);

(5) P(0 < Z < 2.15);

(6) P(􀀀1.52 < Z < 0.89);

(7) P(􀀀2 < Z < 􀀀1);

(8) il quantile di ordine 0.6;

(9) il quantile di ordine 0.4.

Esercizio 6. Una fabbrica produce un prodotto il cui diametro X `e una v.c.

normale con media 100 e scarto quadratico medio 0.8. Calcolare la probabilit`a che

il diametro di un singolo prodotto

(1) sia inferiore a 102;

(2) sia almeno pari a 99;

(3) sia compreso tra 99 e 102.

Calcolare inoltre il diametro sotto il quale si trova il 67% dei prodotti.

Esercizio 7. Si analizza un processo produttivo in base al contenuto medio

di zucchero. Si osserva che il 4.5% dei prodotti viene scartato perch´e hanno un

contenuto di zucchero inferiore a 35 grammi: mentre il 7% viene scartato perch´e

presentano un contenuto di zucchero superiore a 50 grammi. Ammettendo che il

contenuto di zucchero abbia una distribuzione normale, qual `e il modello normale

che meglio rappresenta l’intero processo produttivo.

Esercizio 8. Le variabili casuali X1, X2 e X3 hanno valore atteso E(X1) = 2,

E(X2) = 1, E(X3) = 0 e varianza Var(X1) = 1, Var(X2) = 4 e Var(X3) = 9.

Calcolare media e varianza di T = X1 + 4X2 􀀀 2X3

(1) nel caso in cui le variabili casuali siano a due a due indipendenti;

(2) se Cov(X1, X2) = 􀀀6, Cov(X1, X3) = 2.5 e Cov(X2, X3) = 􀀀2.

Esercizio 9. Un macchina eroga due materie prime, A e B, per la produzione

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ESERCITAZIONE STATISTICA

Esercizio 1. Determinare la distribuzione di probabilit`a e la funzione di ripartizione della variabile casuale discreta X = fnumero di croci in 3 lanci di una moneta

g. Calcolare F(􀀀 1 ), F(1.5) e F( 300 ).

Esercizio 2. Un dado regolare viene lanciato 8 volte. Calcolare la probabilita di ottenere 4 numeri maggiori o uguali a 3. **Esercizio 3.** La probabilita di laurearsi di uno studente che entra in una certa universitae 0.3. Calcolare la probabilita che, su 5 studenti: (1) nessuno riesca a laurearsi (2) uno riesca a laurearsi (3) almeno due studenti riescano a laurearsi **Esercizio 4.** Un’azienda deve verificare la produzione. Secondo l’esperienza passata, la probabilita che un pezzo prodotto sia difettoso e pari a 0.05. Si scelgono 4 pezzi a caso. Calcolare: (1) la probabilita di osservare 2 pezzi difettosi; (2) la probabilita di non osservare alcun pezzo difettoso; (3) la probabilita di osservare almeno 1 pezzo difettoso. Esercizio 5. Sia Z la v.c. normale standardizzata. Calcolare:

(1) P(Z < 1.52);

(2) P(Z > 1.52);

(3) P(Z < 􀀀1.52);

(4) P(Z > 􀀀1.52);

(5) P( 0 < Z < 2.15);

(6) P(􀀀1.52 < Z < 0.89);

(7) P(􀀀 2 < Z < 􀀀 1 );

(8) il quantile di ordine 0.6; (9) il quantile di ordine 0.4. Esercizio 6. Una fabbrica produce un prodotto il cui diametro X e una v.c. normale con media 100 e scarto quadratico medio 0.8. Calcolare la probabilita che il diametro di un singolo prodotto (1) sia inferiore a 102; (2) sia almeno pari a 99; (3) sia compreso tra 99 e 102. Calcolare inoltre il diametro sotto il quale si trova il 67% dei prodotti. Esercizio 7. Si analizza un processo produttivo in base al contenuto medio di zucchero. Si osserva che il 4.5% dei prodotti viene scartato perch´e hanno un contenuto di zucchero inferiore a 35 grammi: mentre il 7% viene scartato perch´e presentano un contenuto di zucchero superiore a 50 grammi. Ammettendo che il contenuto di zucchero abbia una distribuzione normale, qual `e il modello normale che meglio rappresenta l’intero processo produttivo. 3

Esercizio 8. Le variabili casuali X 1 , X 2 e X 3 hanno valore atteso E(X 1 ) = 2,

E(X 2 ) = 1, E(X 3 ) = 0 e varianza Var(X 1 ) = 1, Var(X 2 ) = 4 e Var(X 3 ) = 9.

Calcolare media e varianza di T = X 1 + 4X 2 􀀀 2X 3

(1) nel caso in cui le variabili casuali siano a due a due indipendenti;

(2) se Cov(X 1 , X 2 ) = 􀀀6, Cov(X 1 , X 3 ) = 2.5 e Cov(X 2 , X 3 ) = 􀀀2.

Esercizio 9. Un macchina eroga due materie prime, A e B, per la produzione

di un prodotto. Si puo ragionevolmente pensare che le quantita di materie prime erogate si distribuiscano secondo una distribuzione normale. In particolare, si ha che la media e la deviazione standard delle quantit`a erogate sono rispettivamente:

- per la materia prima A: m A = 1.5 e deviazione standard s A = 0.2;

- per la materia prima B: m B = 1 e deviazione standard s B = 0.05.

Se la specifica di produzione richiede una quantita massima di materie prime compresa tra 2.3 e 2.6, quale la percentuale di prodotti conformi ipotizzando che: (1) le variabili casuali A e B siano indipendenti;

(2) Cov(A, B) = 􀀀0.6;

(3) r = 0.6.

Esercizio 10. Il voto dell’esame di e Statistica segue una distribuzione normale

di media m = 20. `E noto inoltre che il 70% degli studenti supera l’esame. Calcolare

il voto che viene superato dal 20% degli studenti.

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ESERCITAZIONE STATISTICA

g. Calcolare F(􀀀 1 ), F(1.5) e F( 300 ).

(1) P(Z < 1.52);

(2) P(Z > 1.52);

(3) P(Z < 􀀀1.52);

(4) P(Z > 􀀀1.52);

(5) P( 0 < Z < 2.15);

(6) P(􀀀1.52 < Z < 0.89);

(7) P(􀀀 2 < Z < 􀀀 1 );

Esercizio 8. Le variabili casuali X 1 , X 2 e X 3 hanno valore atteso E(X 1 ) = 2,

E(X 2 ) = 1, E(X 3 ) = 0 e varianza Var(X 1 ) = 1, Var(X 2 ) = 4 e Var(X 3 ) = 9.

Calcolare media e varianza di T = X 1 + 4X 2 􀀀 2X 3

(2) se Cov(X 1 , X 2 ) = 􀀀6, Cov(X 1 , X 3 ) = 2.5 e Cov(X 2 , X 3 ) = 􀀀2.

- per la materia prima A: m A = 1.5 e deviazione standard s A = 0.2;

- per la materia prima B: m B = 1 e deviazione standard s B = 0.05.

(2) Cov(A, B) = 􀀀0.6;

(3) r = 0.6.

di media m = 20. `E noto inoltre che il 70% degli studenti supera l’esame. Calcolare