Esercitazione Statistica: Indici di Posizione - La Media Aritmetica, Esercizi di Statistica

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Indici di posizione. La media aritmetica

• Definizione

La media aritmetica di un insieme di n valori osservati è data dal

rapporto fra la somma dei valori osservati e il totale n delle

osservazioni:

 

n i n i i n i

n

x

x x x x x x nx x x

1 1

Proprietà 1: la media aritmetica è INTERNA

Ossia è un valore compreso fra quello della modalità più bassa e quello

della modalità più alta.

In questo esercizio, infatti, si ottiene come media aritmetica 25,5,

quindi un valore compreso fra 18 e 30, che sono le modalità estreme.

Proprietà 2: la media aritmetica è MONOTONA

In presenza di due successioni di cui una è maggiore dell’altra per almeno un valore, anche la corrispondente media aritmetica sarà maggiore. Ad esempio, se accanto alla successione data: se ne ha un’altra differente per una sola modalità: la media aritmetica della seconda successione è certamente non minore:

ଵ଴ ௜ୀଵ 𝑛

Proprietà 3: trasformazione lineare

La proprietà resta valida anche nei seguenti casi particolari:

• Se fosse a = 0 (trasformazione moltiplicativa) la media di Y sarebbe data da: (esempio: tassi di cambio)
• Se fosse b = 1 (trasformazione additiva) la media di Y sarebbe data da:

Proprietà 3: trasformazione lineare

Esempio «aziendale»

• X  quantità prodotta di un certo bene
• a  costi fissi di produzione
• b  costi variabili di produzione
•  costo totale di produzione  Tramite la proprietà, conoscendo la quantità media prodotta si può determinare il costo medio totale

Proprietà 5: proprietà associativa

Il reddito medio annuo di 20 persone impiegate in agricoltura è pari a 20.000 Euro.

Il reddito medio annuo di 80 persone impiegate nell’industria è pari a 23.000 Euro.

Il reddito medio annuo di 100 persone impiegate nei servizi è pari a 27.000 Euro.

Calcolare il reddito medio complessivo delle 200 persone.

Risposta: quando un collettivo è diviso in più sottogruppi, la media aritmetica complessiva si ottiene

come media ponderata delle medie aritmetiche di tali sottogruppi, con pesi pari alla loro rispettiva

numerosità. In questo caso i sottogruppi sono 3, e sono rappresentati dai lavoratori in agricoltura,

nell’industria e nei servizi. Si ha pertanto:

Proprietà 5: proprietà associativa

Osservazione: la proprietà può essere applicata anche in senso inverso

 Quando si conoscono la media complessiva e quella di tutti i

sottogruppi (tranne uno), è possibile determinare la media di quel

sottogruppo

Determinare il numero medio di esami superati (questionario prima lezione) 𝑥̅ =

Esami 𝑥௝

Totale 90 168

Determinare il numero medio di esami superati usando le frequenze relative: 𝑥̅ = ෍ 𝑥௝ ∗ 𝑓௝ ௞ ௝ୀଵ

La piccola differenza rispetto al calcolo precedente è dovuta solo agli arrotondamenti. Esami 𝑥௝

Totale 90 1 1,

Media aritmetica per distribuzioni in classi

Calcolare la media aritmetica dell’età della popolazione della Sardegna

al 01/01/

Classi di età nj 0-15 169. 15-40 383. 40-65 626. 65-80 286. 80-100 122. Totale 1.587.

• Determinazione valori centrali cj:

• Esercitazione Statistica 03-03-
• (0+15) / 2 = 7,
• (15+40) / 2 = 27,
• (40+65) / 2 = 52,
• (65+80) / 2 = 72,
• (80+100) / 2 =
• 7,5 * 169.063 = 1.267.972, • Moltiplicazione dei valori centrali per le frequenze
• 27,5 * 383.344 = 10.541.
• 52,5 * 626.260 = 32.878.
• 72,5 * 286.019 = 20.736.377,
• 90 * 122.727 = 11.045.

Riepilogo Classi di età nj cj cj * nj 0-15 169.063 7,5 (^) 1.267.972, 15-40 383.344 27,5 10.541. 40-65 626.260 52,5 (^) 32.878. 65-80 286.019 72,5 20.736.377, 80-100 122.727 90 11.045. Totale 1.587.413 (^) 76.470. 𝑥̅ =

௞ ௝ୀଵ 𝑛

= 48,17 anni

Media aritmetica per distribuzioni in classi

Calcolare la media aritmetica del voto di diploma (questionario prima

lezione) con i dati presentati in classi:

Classi di voto nj 60 - 70 23 71 - 80 (^27) 81 - 90 19 91 - 100 22 Totale 91