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ESERCIZI DI STATISTICA
ESERCIZIO 1.
La variabile X “voto in statistica” è stata rilevata su 15 studenti:
Calcolare la distribuzione in classi e gli opportuni indici di sintesi :
- Numero minimo delle classi dati n dati (in questo esempio n=15):
- Ampiezza delle classi:
- (^) Distribuzione in classi:
Le classi sono quindi di uguale ampiezza ( w =2). I dati in forma tabellare sono riportati di seguito:
Voto n i v.c. v.c.*ni fr Fr
- La media aritmetica ponderata:
Per il calcolo della media aritmetica ponderata potevamo usare anche la formula con le frequenze
relative. Attenzione “v.c.” sta per valore centrale.
La classe mediana, individuata cercando la classe che ha il valore della frequenza relativa cumulata
immediatamente superiore a 0,5, è la 25|-27. Quindi utilizzando la formula otteniamo:
In questo caso, visto che le classi sono di uguale ampiezza, la classe modale è individuata
scegliendo quella che presenta una frequenza assoluta maggiore:
Classe Modale = 25 |- 27
Il primo quartile, individuato nella classe che ha il valore della frequenza relativa cumulata
immediatamente superiore a 0,25, è nella classe 21|-23. Quindi utilizzando la formula otteniamo:
Il terzo quartile, individuato nella classe che ha il valore della frequenza relativa cumulata
immediatamente superiore a 0,75, è nella classe 25|-27. Quindi utilizzando la formula otteniamo:
ESERCIZIO 1.
La seguente tabella riporta il tasso d’incremento del prodotto interno lordo (PIL) di una nazione
negli anni dal 1995 al 2002:
Anno 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Tasso 0,02 0,03 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,
Anno tasso (1+i) log(1+i) 1995 2% 1,02 0, 1996 3% 1,03 0, 1997 1% 1,01 0, 1998 2% 1,02 0, 1999 4% 1,04 0, 2000 5% 1,05 0, 2001 6% 1,06 0, 2002 4% 1,04 0, 1,303 0,
- Il coefficiente medio di incremento, ovvero la media geometrica:
Il tasso medio di incremento è quindi uguale a (1,0336-1)= 0,0336. Quindi 3,36%
Una delle proprietà della media geometrica è che il logaritmo della media geometrica (semplice o
ponderata) è la media aritmetica (semplice o ponderata) dei logaritmi :
il tasso medio di incremento è naturalmente: 3,36%
In questo caso è stata usata come base del logaritmo 10, ma è possibile usare qualsiasi altra base.
Nel caso di distribuzione di frequenza, la formula è la seguente:
ESERCIZIO 1.
v.c. ASIATICI (^) vcfr/f* (^) .j 6,5 0,093 1, 9,5 0,222 6, 0,315 8,
Per semplicità di trattazione sono state mostrate separatamente le tre colonne della tabella di
contingenza delle frequenze relative, ma come si può notare nella formula sono state riportate le
frequenze condizionate per colonna , cioè le f i1 , fi2 ed f i3 , rapportate al rispettivo marginale di
colonna f .1 , f. 2 ed f ..
ESERCIZIO 1.
Dati i seguenti risultati sul un test di un Quoziente di Intelligenza:
Calcolare il valore mediano, il primo e il terzo quartile:
La prima operazione da effettuare è quella di riordinare i dati in senso crescente o decrescente:
Dati ordinati 11 104 106 108 109 115 125
In numero di dati è dispari , cioè
n=7. Il valore mediano ha posizione. Il valore mediano è quindi x 4=108.
- Il primo e il terzo quartile:
Il primo quartile ha valore:
Il terzo quartile ha valore:
ESERCIZIO 1.
Dati i seguenti punteggi ottenuti da un’indagine sui disturbi di ansia:
Calcolare il primo, il secondo e il terzo quartile:
- La mediana, cioè il secondo quartile:
La prima operazione da effettuare è quella di riordinare i dati in senso crescente o decrescente:
Dati ordinati 24 24 25 30 31 32 32 34
In numero di dati è pari , cioè n=8. In questo caso si ottengono due valori mediani, cha hanno
rispettivamente posizione: ed. Quindi i valori mediani sono x 4=30 e x5=31. Si può inoltre calcolare
la media tra i due valori, ottenendo un solo valore mediano, cioè
- Il primo e il terzo quartile:
Visto che il numero dei dati è pari e che la variabile rilevata è possibile considerarla misurata su una
scala a rapporti costanti, consideriamo il calcolo direttamente sulla media dei due valori del primo
quartile e i due valori del terzo quartile:
ESERCIZIO 1.
In un pronto soccorso di un ospedale sono stati registrati il numero di interventi giornalieri (X) su
un arco di 100 giorni, ottenendo la seguente distribuzione:
1. Costruire la tabella della distribuzione di frequenza;
2. Calcolare la media degli interventi;
3. Calcolare la mediana.
X n fr (^) X (^) *i fr Fr 0 2 0,02 0 0, 1 9 0,09 0,09 0, 2 18 0,18 0,36 0, 3 22 0,22 0,66 0, 4 16 0,16 0,64 0, 5 12 0,12 0,6 0, 6 9 0,09 0,54 0, 7 5 0,05 0,35 0, 8 4 0,04 0,32 0, 9 2 0,02 0,18 0, 10 1 0,01 0,1 1 100 1 3,
È stata usata la media aritmetica ponderata con le frequenze relative, ottenendo come risultato ,
mentre il valore mediano, con il consueto calcolo delle frequenze relative cumulate è: Me=3. Si
consiglia di esercitarsi a risolvere i problemi mediante l’uso delle tabelle, in modo da rendere più
semplice il calcolo dei vari indici e anche perché in questo modo è più semplice tenere sotto
controllo eventuali errori di calcolo.
- La Media delle medie (proprietà associativa):
Per mostrare questa proprietà bisogna calcolare le medie parziali della Y per le tre classi di reddito
(come visto sopra), ottenendo i seguenti risultati:
La media generale di ottiene calcolando la media delle medie parziali, ponderata per la numerosità
della classe della x, cioè:
Oppure in forma tabellare come segue:
E(Y (^) i ) n (^) i. E(Y (^) i)n* (^) i. 1,329 38 50, 1,737 40 69, 1,583 36 57 114 177
Dove E(Y i ), sta per il valore medio della Y, condizionato alla classe i-esima della X.
ESERCIZIO 1.
Rappresentare graficamente, mediante un istogramma, la seguente distribuzione dei voti di statistica
in classi, individuando la classe modale:
Cl. di Voto ni Ampiezza (h (^) i ) Densità (di ) 18 | - 20 6 2 3 20 | - 23 10 3 3, 23 | - 24 6 1 6 24 | - 27 15 3 5 27 | - 29 8 2 4 29 | - 30 5 1 5 50
Visto che l’ampiezza delle classi di voto non è costante, bisogna costruire l’istogramma riportando
sull’asse delle ordinate la densità di frequenza, pari al rapporto tra la frequenza assoluta e
l’ampiezza della classe:.
L’istogramma è di seguito riportato. La classe modale è la 23 |- 24.
ESERCIZIO 1.
La tabella riporta il numero di reclami per tipo di Struttura degli Enti erogatori di servizi sanitari:
STRUTTURE Numero Segnalaz. Percentuale AMB O POLIAMB 348 0, ASL 1.812 0, CASA CURA PR 1.479 0, I.R.C.C.S. DIR. PRIV. 1.157 0, I.R.C.C.S. DIR. PUB. 339 0, LAB ANALISI 72 0, OSP REL CL. 766 0, NON RILEVATO 13 0, 5.986 1
Rappresentare le segnalazioni di reclami mediante un grafico a torta.
STRUTTURE gj AMB O POLIAMB 20, ASL 108, CASA CURA PR 88, I.R.C.C.S. DIR. PRIV. 69, I.R.C.C.S. DIR. PUB. 20, LAB ANALISI 4, OSP REL CL. 46, NON RILEVATO 0, 360
Basta semplicemente calcolare per ogni modalità della variabile il grado dell’angolo
corrispondente, secondo la semplice formula: , dove fj è la frequenza relativa. Poi serve un
goniometro e un po’ di pazienza!!!!!
ESERCIZIO 1.
Per produrre il tipico olio di oliva salentino, si esegue un processo di raffinazione con 5 filtri, che
riducono l’olio nelle seguenti percentuali: un filtro lo riduce del 20%, i due filtri successivi lo
riducono ciascuno del 14% e del 10%, mentre gli ultimi de filtri lo riducono ciascuno del 5%.
Calcolare su 2000 litri di olio prodotto, quanti se ne ottengono di olio raffinato e quale è la
percentuale media di perdita per ogni litro.
i (1-i) 0,2 0,
