Esercizi risolti sugli spazi affini: Geometria e algebra lineare, Esercizi di Geometria Lineare

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Spari

affini

/lezione

G

esercizio

A

=

&(7 ,^

y)(m

g

= x}

v =^ (IR

,

IR ,

+.

4

= A XA^

DV

:

4((71, 31.^ ( ,

y26)

= (^72)

• 7

· Stabilire se

A = (A

,

V

,

è S

. affine

e stabilire

se è^ rutta o spazio aff.

Soluzione

A contiene i Penti^ di Cra Parabola

:

V

S

Der

V è manudimensionale ,

infatti 4

Trea uno spostamento

Suo su^ X

In questo caso Ponan^ è^ Diansuvca , han è (^) ne Suriettiva perché no capre

Tutto R e^ ne incettive parche

alcuni vatteri^ spost^ sono^ uguali esercizio (^3)

in Alt

prendiamo S

:G

,

3) A^

; t (^) = 0

v

a) S non^

è sotto S

. af

.

perché

la giac non è sott .

S

. vett. b)

à S

. SP

.^ AF.

la giac

dis

è (^) S . S . V ., ma S non è^ SSA. d) (^) nessuna

Soluzione

A =

ER ,

CR

,

R

. +. ) ,

P((

. 31)^. (72^ ,ge)

= (*).(^

Disegnamo S^ (Pagina Dopo

31

S

↑

S

1

V

D 7

M

2

&

7

C

L

V 1

sono tutti i

punti o^

con z=o o y

= (^0) , quindi i

Punti Sugli Assi^

,

Dobbiamo

Usare la

restrizione Di

↑ sas ,

la cui

immagine

i de lo^

spazio

veteriale

Graficamente (^) notiamo che la

giacitura

di S^ coincida^ con

IR

,

che è^ Spazio Vettoriale ,

ma ad un^ generico punto

pi

S (^) non possiamo

applicare ogni^

Spostamento

quindi

S han è^ Spazio affine .

esercizio

in An Siano^

Polo

,

u) , Pe(1^ , 0)^ .Pe^ (

.

1. eQ(1,

,

Due Sistemi di

riferimento

Bro = (Po

,

Pope

,

Popa) e

Bpe =^ (Pa^

,

PIPz

,

Pipo)

Quali

sono

la

carpinata di^ Q^

rispetto a^

Bro

eBpe

esercizio S

In Ar scrivere^ che^ representazione Algebrica

e

Parametrica della retta^

V Contenente D

,

(^01) e

Q( ,

1 ,

Soluzione

Il sistema ,

visto (^) che non è^ specificato ,

usiamo

Bo =^

,

[1 (^) , 22 , 23]

%

9

Per iniziare

cacaimo il vettore

Q

Pa

= P(P ,

Q) =^ (

• 1 ,

1 ,

0 ·

p

,

• D

PQ genera

la

giacitura

della retta r

che cre scriveremo

in Nuoparametrico^.

[]

= p +=^

[]

e[i]

veR

prapresente

un

qualsiasi punto

della (^) rutta

,

andava

banc (^) Anche QtQ

La Radra^ sortazione

Algebrica

d Invece :

3

A = 1 -^ t

V

·E S

Devo (^) renderli zwo

[e[

H

Soluzioni nc

per Avere

SISTEMA

{

PS

Por trovare (^) il fascio di^ piani che^ contengano

la

retta

~

paro :

Or

,

BEIR

or( + +

y

B(z

• ) =^0 (N^ , B)^ =( ,

s

:

[][)

e []

E (^) anatura

↑

11 PenTop

[i]

[]

par

essere (^) =

rusce Capelli

E

23

e

Spazi Metteriali

euclidei

esercizio 1 in IR Siano 4 = ( , %

. 1)^ e^ Ef

= (^) ( ,

,

, Determina la proccione Ortogonal Di

nu Su Ue Scrivere

La Matrice che

rappresenta

la p .

o. Pu^

rispetto

alla basa canonica Di IR Soluzione ho (^) dimenticato di scriverlo me

testo ma^ Wifula)

~ Pre .. questa è la formula della P

.^ O.

2(2.

• (^1)

, 03 (1, 1 . 13]

Pu(W)

=

, 1 , e) 112

. 11

=

5 ( . 1 ,

1.^5 , (^5) P = [Pu]e

1. (^11) Hercons

CI

d) (^) nessuna

Soluzione

HercPn)

=

&El

BA) =^03 definizione pi new

avvero ripresentano TUTTI^ ,^

vettori

can prozione

non (^) esistente ,

ovvero quelli Ortogonali

#h ,

Le Vereh

e

quindi

essendo ertogonale

a It ,appartiene

a

H+

quindi

11 Kar(Pn)

= ht che per Definizione^

e

Tutto

crioganale a^

I

esercizio (^3)

Sianc

,

1 ,

e te

=

,

0 .

,

a sia

V =

,

Trave una basa

.

Di V

Soluzione

Au e de sono linearmente^ Dipendenti ,

quindi

formano

mabasa

,

la dim(V) : 2 e

quindi

le

Dim(V (^) = 1 parche Il^ comp. (^) actogonale Di un

Piano

è (^) una retta .

V= E(x , (^3) ,

z)e (^) (2( ,

4 ,

, mi)

= 0 exie

, z),

wiz =^0

2)^7 , 3 ,

z) ,

( ,

1

, 2)^

= (^0) =) (^) y +^ 2z^ =^0 3

• (^) 2z= 0

E

E

, 3 , 2)^

,

,

0 , 13 :^0

= 3 - atz = 0

• x
  • z = (^0)

Z =t

• (^) = + t

VE([])

ese (^) anche

E

9 =^

• 2t =

base

z =

t

"

esercizio (^4)

in IR^

con p. S.^

euclideo

,

sia

U =^

S (1,

• ,

al Ut

= Sn(( ,

,

) ( ,

1 ,

b) U

=

= 3x

y

• z = (^0)

c) Ue^ an

piano

a

Utma

ratta

B((

,

,

1. (- ,

1

,

e)

Base di^

Ut

esercizio S

Sie U :

S(x

, (^9) , z)^

EIR + + y-z

= ob

1. Trcua (^) una basa^

autonomele di

U ca

estmpile

a base orTanormal Di^ IR

tran Poles^ can

= ( ,

1

.

2. Trava (^) Il coseno dell'angolo

tra nu ePucal

Soluzione

por iniziare abbiano Bisogno

Di Che^ basedi U

x =

• c (^) + B

E Sr

a[]

p[

&

B. (E

.

[)

cre

la facciamo (^) Diventere una bas (^) Cronormale

Prima la

Ortogonalizzo

con Gran-smith

=

E

2 = hi^

un

i=

[] i to

-[]

[2] =

[)

ora Dobbiamo normalizzare

I 2 vettori

=

(

-E , 453

e Basa ortonemale

ora

por

estendere la Base a

IR

Aggiungime

an

vettore

,

potremmo

usare Il^ Duale^ Di Hodge

me

Regionando

geometriamente

Dobbiamo trave^ il

complemento ortogonale

DC

Plano (^) generato

Dal

Due (^) vettori già trovati ,

piano che

è o

eserci

e

con prsa euclideo

,

Siz :

0 .

(()[][)

9) U è^ Base Ortoncumal Di^ IRY

b)

La

Matrice Di^ Grand U è^ multiplo

Di 14

e) Il (^) volume del parallatapo

è 64

i

vettori in a

suo

linamente ind

Soluzione

scriviamo la^ Matrice^ di Gram

Gli ,

un

. Lis^

, un

2

11 Will (^4) + 42) [4e ,

Us] 241

,

44]

euzhe /^ Gall

I

24341] 2434

Il (^) 4s //2 243 44)

I

2441)[Uuh

Zha .

Wa

Il Ell

2

O

an

(00o

I

O

4

è una matrice Diagonale,

ma non è multiplo

Do

Identità .

U (^) non è nemmeno ortcnormale (^) perché i sui^

vettori

non

sono normalizzati

essendo

che i vittori (^) sono ortogonali

a

coppie,

sono

linearmente

indipendenti