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6 - PUNTI ESTREMANTI E PUNTI DI INFLESSIONE 707
MB] Considera i coni circolari retti in cui la somma del doppio dell’altezza col diametro della base
misura 18 rispetto ad una fissata unità di misura. Determina fra essi il cono di volume massimo
e stabilisci se esso ha anche la massima superficie laterale.
[Vw = 367; la superficie laterale non ha massimo, sai spiegare perché?]
Sono dati una circonferenza I di diametro 48 = 4 ed il triangolo rettangolo A8C tale che la sua
ipotenusa AC misura st. Conduci una retta perpendicolare ad 48 che incontra 48 in D, AC
in FeT in Ee siano Pe Q le proiezioni di E ed F su BC. Posto AD = x, determina il volume
massimo del solido che si ottiene facendo ruotare il rettangolo EFQP di un giro completo attor-
no ad AB.
(Dalla maturità scientifica 94) Tre Dr perx= |
La funzione y = x - e * rappresenta la legge oraria del moto di un punto ? che si muove lungo
una semiretta (x rappresenta il tempo e y la distanza del punto P dall’origine della semiretta).
Determina in quale istante P raggiunge la massima velocità ed in quale la massima velocità as-
soluta.
(Dalla maturità scientifica 90) [massima velocità in x = 0: massima velocità assoluta in x = 2)
Individua i punti angolosi, le cuspidi e î flessi a tangente verticale delle seguenti funzioni.
fa) = Vi {cuspide in (0.0)]
ME /)-v: {flesso a tangente verticale in (0,0)}
f(x) =vVa-2+x [tangente verticale in (0,0), punto angoloso in (1,0)]
MEI f()- Vr [tangente verticale in (41,0), punto angoloso in (0.0)]
f(x)=1n (1+|x|) {punto angoloso in (0,0)]
II f() = +2 {cuspide in (0,0)]
f(a)=V {flesso a tangente verticale in (0,0)]
f(x) = ed {flesso a tangente verticale in (0, 1)]
f()= Ya») [cuspide in (1,0)
MIE /() = (- va) [flesso a tangente verticale in (0, 1)]
IST Quali sono i punti fondamentali che devi analizzare per studiare in modo completo una funzione?
È possibile studiare una funzione senza metterne in evidenza le eventuali simmetrie?
È possibile studiare una funzione senza metterne in evidenza l'eventuale periodicità?
Perché nello studio di una funzione è consigliabile mettere in evidenza eventuali simmetrie o
eventuali periodicità?
È possibile studiare una funzione senza determinare il suo dominio?
AME Stadilisci se le seguenti coppie di funzioni hanno lo stesso grafico, giustificando ogni volta la tua
risposta:
a y=In (2-1) y=In (x-1)+In (x+1)
W& lg]
E] bg]
=-L
y=3In (x- 6) {la
pavia (n=6) E] ba]
IMG] Supponendo che una funzione ammetta degli asintoti, può il suo grafico in qualche caso inter-
secare quello dell’asintoto verticale? Può intersecare quello dell’asintoto orizzontale o quello del-
l’asintoto obliquo? Perché?
y
Data la funzione y = f(x), di cui si suppone noto il grafico, ed il numero reale &, spiega come
puoi disegnare il grafico delle seguenti funzioni:
ay=f(x+k) b.y=|f)] ev=f(|x|)
dy=f()+K ey=-f(2) f.y= |f()I+K
MMS] Supponendo di conoscere il grafico della funzione y = f(x), descrivi l'algoritmo da seguire per
disegnare quello della funzione y =
io
fa)
7-10 stUDIO DI FUNZIONE 711
[D: R- {2}: asintoti:x=2, y=1]
{D: R- {1}; asintoti:x=1, y=-2)
[D: R-{-2}: asintoti:x=-2, y=2]
[D: R-{-1}; asintoti:x=-1, y=2]
[D: R-{-1}; asintoti:x=-1, y=-2]
[D: R-{-6}; asintoti:x=-—6, y=x—6; m(0,0); M(-12,—24); nessun flesso]
D: R-{5}: asintoti:x=5, y=x+5; M(0,0); m(10,20); nessun flesso]
x+3
fp: R-{-3} asintoti:x—-3, y=x-3 M(-3-vT0, -6-2v70); m(-3+vT0, -6+2vî0); nessun flesso]
15. 0,
me dx |P: R- {5}; asintoti:x=5, y=1x+10; x(-s, DE m(15, 5)
[D: R- {0}: funzione dispari; asintoti:x=0, y=—x; sempre decrescente]
[D: R- {0}; funzione dispari; asintoti :x=0, y= x; sempre crescente]
; |: R-{-2, 2); funz. perì; asintoti:x=-2,x=2,y=1; x(o. DI nessun flesso
: R- {3}; asintoti:x=3, y=1ym(2,-2);
[pa {3}; asintoti:x=3, y tim(d. SI
| “i; 1}; funzione dispari; asintoti:x=-1, x=1,y=-—x mv. 30); mv, 39), F(0,0)
fp: RES) ino SE m(-3a. 3%); nessun flesso
80,0: E(v5 39): B(-va -3v3)
[É R; funzione dispari; asintoto : y= x; non ci sono massimi o minimi;
[D: R- {0}: funzione dispari; asintoto : y= 3x; M(-1, —4); m(1, 4); nessun flesso]
712. 7-1LO STUDIO DI FUNZIONE
ME)- È "0,
|: R; funzione dispari; asintoto : y = 0; n(-3, 2) m(v3. d) F:(0, 0); r(3. DI r(-3. to)
3
MES) -
FI
fp: R; funzione dispari; asintoto : y = 0; m(-4, 3) (1 1) F,(0, 0): r(V3.
pi: R-{-1}; asintoti:x=—-1, y=0; x(1
[o R- {1}: asintoti:x=1, y=0; (Gi,
|: R- {0, 1}; asintoti:x=0, x=1, v=0 m(3. -7): nessun fisso]
pi R-{-1, 1}; asintoti:x=-1,x=1,y=1: m(1424, div 1 Mm ISDA, và F=34, = 0.00]
a 6
MEn;:- Tila
: Ri asintoto : y= 1; m(-s- vie. aes), m(-s4+ VR 1448), tre punti di flesso]
te ET = È [D: R: asintoto :y= -3x+1; m(0,0); M(= 0,2, = 0,004); tre punti di flesso]
men 1. [D: &- {0} asinto:x-0; m(3, 342); 1-2. 0]
p=r+3, [D: R- {2}; asintoti:x = 2; m(= 2,7, = 11,6); F(=0,6, = —1,8)]
FUNZIONI IRRAZIONALI
Ricorda che: BI Un radicale di indice pari è definito quando il radicando è positivo o nullo.
Ml Un radicale di indice dispari è sempre definito.
MI Se la funzione irrazionale è fratta occorre escludere dal dominio anche i punti che annul-
lano il denominatore.
MN La funzione può non essere derivabile in alcuni punti del dominio; tali punti vanno ana-
lizzati per vedere se si tratta di cuspidi o di punti angolosi in genere.
Tenendo presente il metodo usato nell'esercizio che segue, costruisci il grafico delle funzioni seguenti.
(__d4| ESERCIZIO SVOLTO
7-10 stupio DI Funzione — 713
MEO =::? [semiparabola positiva con vertice in (-2, 0)]
IZ y=-Vvl-x [semiparabola negativa con vertice in (1, 0)]
{47 vI= x [semicirconferenza positiva con centro nell'origine e raggio 3]
ME:;:= -vV-x [semicirconferenza negativa con centro nell’origine e raggio v5]
Mg = vi» [Semicirconferenza positiva con centro in (2,10) e raggio:2]
BEGI i —ViI6= 6x-x [semicirconferenza negativa con centro in (-3, 0) e raggio 5]
AGI] >= vid [semiellisse positiva con centro nell'origine e semiassi 1 e 2]
MSI:
[due rami positivi dell'iperbole equilatera con centro nell'origine e semiasse 2; asintoti y= +x; vertici (£2, 0)]
MEI > Vv
{ramo negativo dell’iperbole equilatera con centro nell'origine e semiasse 3; asintoti y = +x; M(0, -3)]
mE >
{due rami positivi dell’iperbole equilatera con centro nell’origine e semiasse V3; asintoti y= 41]
Studia le seguenti funzioni irrazionali e costruisci il loro grafico.
MV: fp: x> 0; m(0,0); crescente per x > 0; Jim = +00; sempre concava verso il basso]
MIEI: vi: |: x> 0; m(i, -)): M(0,0); lim y° = 50 sempre concava verso l'alto]
D: x<-1Vx>0;
di y=x-Ve+x asintoto orizzontale destro : y = di asintoto obliquo sinistro y = 2541;
Mi(-1, 1); M(0, 0); lim y'=+00; lim y'=-c0
lim y'=-o0; lim y'=+oc; nessun flesso
ant ato
me? ' : ASKSH ACID 160 De (E, 8) |
716 7-LO STUDIO DI FUNZIONE
FUNZIONI LOGARITMICHE
Ricorda che: BW y=In f(x) èdefinita quando f(x) >0
è positiva quando —f(x)>1
è nulla quando f@i=i
è negativa quando 0<f(x)<1
[i x<-3Vx> 3; funzione pari; asintoti : x = +3;
decrescente per x < —3; crescente per x > 3; nessun flesso
[D: -2<x<2; funzione pari; asintoti :x= +2; M(0, 2In 2); nessun flesso
D 1x<-3Vx> 0; asintoti :x= 0 (destro), x= —3 (sinistro). y = 0;
sempre decrescente; nessun flesso
D: -1<x<0Vx>l; asintoti:x =—I (destro), x= 0 (sinistro), x= 1 (destro);
sempre crescente; #(-v v5-2, dn (2v5- 2)
[D: R: funzione pari; M(0, 0); F(+1, —In 2)]
[p: x> 0; m(£. di lim y'= 00; nessun flesso
[pi x>0Ax# li asintoto :x= l: m(e, e); lim y"=0; E(e, te)
D: x#0; funzione dispari; asintoti:x=0, y=0;
m(e3): n(-e -3): E(teve +)
: Lili e
1 x> 0; nessun asintoto: n 2): dim 0; i val =)
1 x>0Ax#1]; asintoto :x= l; m(ye, 2e); lim y'= 0; nessun flesso |
10%
e =;
D: x>0Ax# è; asintoti: e, y= 0 (destro);
ls
sempre crescente; lim y'= +00; (1, 1)
203
n p=tthnx |P: x>0; asintoti :x= 0 (destro),y = 0 (destro); M(1,1): Ev 3%)
y=x-lnx [D: R- {0}; asintoto: x=0; m(2, 2— 2In 2): nessun flesso]
y=x-lIn(x° +1) [D: R; nessun asintoto; sempre crescente; F;(-1, —1-—In 2): £:(1. 1--In2)]
i Di x<-1Vx> I; asintoti :x=<+l;
ATI = x in(£-1
( ) m(14v2, = 0,8); nessun flesso
7-LO STUDIO DI FUNZIONE 717
D:x>0 A x# 1; asintoti: x=1, y=0;
sempre decrescente (}/ da studiare graficamente);
lim y"= 00; F(=0,2,= 0,5)
BETA =, [piso n Fia nae): (è. te)|
| 107 RS nel [D:x>0 A xe" asintoto : y= 1; sempre crescente; Fle-®,2)]
MI} = inx_x ez 1; tim y'=-cc; messi ilesso]
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Studia le seguenti funzioni goniometriche nell'intervallo indicato. Nel caso in cui tale intervallo non
sia specificato, determina il periodo della funzione e individua un intervallo appropriato.
yp=sinx+cos x in [0,27] reg: vi): m($7. È 2); r(g" DÌ
BENI psn icon intoz [uGo A)
BT] } = 2005 x+2V3sin x in [0,27]
MMI >) -Vicosx-sinx-1 in [0,27
p= 008 x [orto 1: m(E+47. 0): #($+45.3 ;
y=4c0s° x-3 (Puoi dedurre il grafico di questa funzione dalla precedente).
[artkm, Di m(5+4m 3); F(F+45:1) conk eZ]
D: spin funzione pari; asintoti : s=tim
MEIN}; nr
m(0. 4) M(En,=7); nessun flesso
BA; - osx in [ma] [:-F<x<3: M0,1); nessun flesso]
Di xpi T.x#3 ar asintoto :x=T:
7 2°
mu tnx in(0,27) |, x
Cose (n ch discontinuità eliminabile; sempre crescente: F| (3a 0
D: R: intersezioni con la retta y= x: (3:53): È
RENI v-x-2oosx in 0,29]
i m(tn 174): m(ile irta): REI
718 7-10 STUDIO DI FUNZIONE
FUNZIONI CON I MODULI
Ricorda che: Ml Per le funzioni del tipo y = |f(x)| puoi:
MI studiare la funzione y = f(x)
Wi confermare la parti di grafico con ordinata positiva o nulla e "ribaltare" attorno all’as-
se x quelle con ordinata negativa.
Ml Per le funzioni la cui espressione contiene alcuni termini in modulo, devi studiare due
funzioni:
MI quella che si ottiene eliminando il modulo supponendo positiva o nulla la sua espres-
sione
n quella che si ottiene eliminando il modulo supponendo negativa la sua espressione e
riunire poi i due grafici ottenuti.
y=x + fp : R; nessun asintoto: m(-L:2 È 3): m e punto angoloso 00]
yp=|e- — 2) [D:R; nessun asintoto; m e punto angoloso (1,—1); F(0,1)]
ME
n [D:R- {0}: asintoti: x=0, y=1 (destro), y= 1 (sinistro): nessun flesso]
g=btll [D:R- {0}: asintoti:x=0, y= 1 (destro), y=-—1 (Sinistro): M e punto angoloso (-1, 0)]
D:R- {+2}: funzione dispari; asintoti :x= +2, y= 1 (destro),
»= 1 (sinistro); sempre decrescente; F(0,0)
v=|- 1-h D: Ri nessun asintoto: n[-d, 1-34); m e punto angoloso in (1,—1);
M e punto angoloso in (0,1)
ME Pd -;-\
D: R, funzione pari; nessun asintoto; M e punto angoloso in (0,1);
m e punti angolosi in (+2, —$)
D:R-{1}: asintoti: x=1, y=x+2 (destro);
m e punto angoloso (0, 0), m(1+v2, 3+2v2)
D:R- {1}: asintoti: x=1 (destro), y= 1 (destro), y= —1 (sinistro);
m e punto angoloso (0, 0): »(-13): F(-1: 0)
y= ve = 1] [D:R: funzione pari; asintoti : v=+x; m e cuspidi (+1, 0); M(0,1)]
la —1<x<1; funzione pari; nessun asintoto; m(+1, 0);
1- x
129 1
BEE» 1+k M e punto angoloso (0, 1); lim y°= +00; FL ©)
v= |x]e® fp: Ri asintoto: y-= 0 (destro); m e punto angoloso (0, 0); A/(1;1); (2. 2)
y= [D: R-{1}: asintoti:x=1, y=0 (destro); m(0, 1)]
7? +LO STUDIO DI FUNZIONE — 721
MICA |
RG
2
La funzione può essere scritta nella forma y = -2(x - 3) . Costruito il grafico di v= x,
devi operare con le seguenti trasformazioni: 2
M dilatazione lungo l’asse y del fattore 2
M simmetria rispetto all’asse x
&i traslazione di vettore #(3.0).
MERE >= (3-2
y=-(x-1)°42
= Wal
BEI |
y= (3-42
> - , 3 aiba È
La fensione pei cosce Dl eda +2. Costruito il grafico di y= x},
® traslazione di vettore #(3,0)
© simmetria rispetto all'asse x
fi traslazione di vettore (0,2).
BEE >= {+2
BEE = 2vx-3
(Considera dapprima la funzione y = v.x — 3 che rappresenta il ramo positivo della parabola di
equazione x = y° + 3, ed opera poi con una dilatazione di fattore 2 lungo l’asse delle ordinate).
y=-Via I» --}
x i
y=541
(Disegnata l’iperbole di equazione y = CS opera su di essa con una traslazione di vettore.
mis
ml :--},
n, 3
meri:
722. 7-LO STUDIO DI FUNZIONE
eo =
(Costruita la funzione y = e“, devi operare con la traslazione di vettore #—1,0)
MEG:
[_1c> Petali
y=-e +1
y=l-Inx
(Disegnata la funzione y = In x, devi operare prima con una simmetria rispetto
con una traslazione di vettore
A >= (x+3)
MEGA] > =103->)+1
A +1)
(Disegnata la funzione y = (x+ 1)? che rappresenta un parabola, devi operare su di essa con
una traslazione di vettore e successivamente devi confermare le parti positive
del grafico e
BEGGI =-_«l e] >= 3-42
I Vv =3- |) e = li Gv:
REA] >= 20x+ 11 BAI >= VM 1
Benzi = Vi MG > =-Vx_3
BG o v_2-1 md: -°
[103 Resta BEE] 2-1]
REED nil MIEI > n:
BENSI} ibi BEE vl il
Dal grafico di y= f(x) costruisci quello di y= TI
7 LO STUDIO DI FUNZIONE 723
N.B.: I grafici dei seguenti esercizi si trovano in fondo al capitolo.
Studia le seguenti funzioni e traccia il loro grafico.
Mn: ..: [D:x> -2: semiparabola con vertice in (-2,3)]
y=V-4° {D:£: minimi cuspidali (2.0): M(0,2V2): F(+2v3. 4)]
y
Vi D:R- {2}; asintoti: x=2, y=0; u(-422);
ne Nessi in -4+ 55 60; tim = oc
y= Ve(x+5) pier: asintoto: y=x+1; M(-4,2V8): me cuspide (0,0); lim y = +00]
MS =: Vi [pini mes (1,37, 0,41) M = (0,79, 1,51); lim "= +00; limy'= >; FEL+1)]
ME 2 NE Tikm(vi-1 0-29) = 125): M(-VE-1, e81(0+2V9) 3049);
F(-24v8, e%(6=4v5))
gi +28
Me p:r-{1}. asintoti:x=3, y=S+Î (destro);
punto angoloso e m(0,8); M(—1,9)
MI +! D:R- {3}; asintotix=3, p=:2x+6 (destro), y;= —2x— 6 (sinistro);
m(3+8 ave 12)
[D:R- {0}: asintoti: y=0, x=0; punto angoloso (1,1)]
LES
ta + >) [D:R- {0}: asintoto: y=In 3; minimo relativo e punto angoloso (—1,In 2)]
Tenendo presente il metodo di costruzione del grafico della funzione traccia quello delle se-
guenti funzioni. f(x)
[D:R-{#1}: funzione pari; asintoti:x=+1, y=0; M(0,-1)]
[D:R-(2% funzione pari: asintoti :x=+2, y=0 x(0.-3)]
[ee
RETI Che cosa dice il principio di induzione? Fai degli esempi in cui per dimostrare una proposizione
si può ricorrere a tale principio.
RE] Fi qualche esempio da cui si possa dedurre il significato della parola "ricorsione".
Come puoi definire in modo ricorsivo la potenza n-esima di un numero a non nullo? E il fatto-
riale del numero n?
Come applichi l'algoritmo ricorsivo di Euclide per calcolare MCD(20,12)?
Come è strutturato un algoritmo iterativo?
BEI Descrivi come è possibile calcolare la potenza di un numero mediante un algoritmo iterativo.
ME he cosa significa che un algoritmo iterativo è convergente?
Data un’equazione nella forma f(x) = 0, da che cosa sono rappresentate graficamente le sue so-
luzioni? E se l'equazione assume la forma p(x) = g(x)?
IS] Che cosa vuol dire separare le radici di un'equazione?
BIT] Enuncia il teorema degli zeri e i due teoremi di unicità delle radici.
Eni Qual è l'algoritmo su cui si basa il metodo di bisezione? Fai un esempio.
Descrivi il metodo delle secanti. Qual è la formula ricorsiva che genera la successione dei valori
approssimati delle soluzioni nel caso in cui la derivata seconda e la funzione calcolata in a hanno
segni opposti? Come si modifica tale formula nel caso in cui la derivata seconda e la funzione
calcolata in a hanno lo stesso segno?
Descrivi il metodo delle tangenti. Qual è la formula ricorsiva che genera la successione dei valori
approssimati delle soluzioni nel caso in cui f(a) e f"(x) hanno segni opposti? Come si modifica
tale formula nel caso in cui f(a) e f"(x) hanno lo stesso segno?
Su quale osservazione iniziale si basa il metodo del punto unito? Qual è l'algoritmo che genera la
successione dei valori approssimati della soluzione?
Il metodo del punto unito converge sempre alla soluzione dell’equazione? Esiste una condizione
di convergenza?
Descrivi l'algoritmo di Gauss-Seidel per la risoluzione di un sistema lineare. Tale metodo è sem-
pre convergente? Esiste una condizione di convergenza?
BEA Cone si interpreta graficamente il metodo di Gauss-Seidel?
Da quali necessità nasce il problema dell’interpolazione matematica?
8 - ANALISI NUMERICA 727
MEET] Quante sono le funzioni interpolanti F° che passano per gli n+1 punti (x, yi), con
i=0,1,.....,n, di una funzione f? Fra le funzioni F quanti sono i polinomi di grado n che inter-
polano la funzione f?
EBBBET] Quando si parla di interpolazione lineare? Qual è l'equazione del polinomio interpolante in que-
sto caso?
REBETE Quando si parla di interpolazione parabolica? Qual è l'equazione della parabola interpolatrice?
Se i punti conosciuti della funzione f sono n + 1, qual è l’equazione del polinomio interpolatore?
In quali casi si presenta la necessità di eseguire una derivazione numerica? Fai qualche esempio.
Applicando il principio di induzione dimostra che sono vere le seguenti proposizioni (dove n € N):
dea
3°+3'+3% +... +3" = Pl
Me
(I1+a)">1+na con a>-1
1+2+4+6+.....+2n=n+n+1
247412+17+...+(5n+2)= MEDOn+A
ixlyl L_9_
MI Hi}.
QI
MIEI ; +++
+ (20) =
2n(n+1)(2n+1)
3
MT] +++
= _n(n-1)
mu >)
BIBEEI Yk+5)-11+6)
&=I
n(n+1)(2n+7)
HIER] Yo rt!
k=l
728 n» ANALISI NUMERICA
ALGORITMI RICORSIVI E ALGORITMI ITERATIVI
Stabilisci l'output di ognuno dei seguenti algoritmi costruendo, se ti può essere di aiuto, anche il
diagramma di flusso corrispondente.
fine.
Puoi usare una struttura ricorsiva per avere lo stesso output?
inizio.
leggi (5); I
per î=1 fino a 10 fai
Puoi usare una struttura ricorsiva per avere lo stesso output?
RENT] inizio
leggi (a);
b:= kappa(a);
scrivi (b);
fine.
dove la funzione kappa è la seguente
funzione kappa (x:integer): real;
inizio
se x < 0 allora kappa:=2 altrimenti kappa:=2 - kappa (x— 1);
fine.
IIMIEEA Supponi che un esecutore automatico sia in grado di eseguire solamente addizioni di una unità
alla volta. Scrivi un algoritmo sia iterativo che ricorsivo per calcolare la somma di due numeri
naturali a e db.
Supponi che un esecutore automatico sia in grado di eseguire solamente sottrazioni di una unità
alla volta. Scrivi un algoritmo sia iterativo che ricorsivo per calcolare la differenza di due numeri
naturali a e d con a > bd.
IMID] Supponi che un esecutore automatico sia in grado di eseguire solamente addizioni. Scrivi un al-
goritmo sia iterativo che ricorsivo per calcolare il prodotto di due numeri naturali a e b.
MMM] Supponi che un esecutore automatico sia in grado di eseguire solamente sottrazioni. Scrivi un
algoritmo sia iterativo che ricorsivo per calcolare il quoziente intero ed il resto della divisione
fra due numeri naturali a e d con a > d.
ME] 1-0
MT] 2-0
MIEI 5-0
MET 1-0
MES] 1-0
RENETI 1-}+4:+2-0
in (-2,0)
in (0,1)
in (-3,-2)
in (0,1)
in (-2,0)
in (-3,0)
Separa le radici delle seguenti equazioni.
ZA -+:-2-0
A 2-0
IM] 3-0
MES 3-0
BG] 0
HG] 3-0
MG] n} -0
MG] 10 |} =0
IM] sin x inx=0
MI + =0
8- ANALISI NUMERICA 731
e in (1,2)
e in (1,2)
e in (0,2)
e in (1,2)
e in (1,2)
ein(-2,-1)
ESERCIZIO SVOLTO
[re (-1,0)]
[lm e(-2,1); rn € (0,1)]
[re (0,1)]
fr €(-1,0);
732 8- ANALISI NUMERICA
IG] —+4:+1=0
IA 30-44-00 [re (3,4)]
IM] 3-40 -3:+1=0 fre (-2,-1); 1 € (0, 1); rs € (1,2)]
LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI
Dopo aver verificato l’esistenza e l'unicità della radice delle seguenti equazioni nell'intervallo indi-
cato, determina un suo valore approssimato con due cifre decimali esatte applicando il metodo di
bisezione (per calcolare i valori assunti della funzione f puoi serviti di Derive o anche di Excel).
ESERCIZIO SVOLTO
8 - ANALISI NUMERICA 733
BI] ++1=0 in (-1,0) [r= 0,68]
GI 62 +2x-10=0 in (4,6)
x -x+2x-1=0 in (0,1)
BG] + -2=0 in (0,v2)
MEZ] +:-3-0 in (1,2)
MM 20 -6x+1=0 in (1,2)
EEA] in: +x+2=0 in (2,3)
e"+x°-2=0 in (0.3) [= 0,63]
Ya+tx+1=0 in (-1,0) |e=-0,31]
ex-x-10=0 in (-3,-2) lr= 2,07]
Dopo aver verificato l'esistenza e l'unicità della radice delle seguenti equazioni negli intervalli indi-
cati, determina un suo valore approssimato applicando il metodo delle secanti (per il calcolo dei
valori di {cn} puoi servirti di Derive o di Excel).
ESERCIZIO SVOLTO
736 8- ANALISI NUMERICA
| Si pr
| rst #0 =rti Frasi alc
Sb: 0,735759
| 23=8(x2) =0,831674
xa = 0, 797364
x6 = 0, 805287
|
nato della radice con te cifre decimali esatte è |
MEI >
BT] \-1-in(x+1)
MESI \:-1-sinx
(__96 3
2x° + 4x +2
BOE :-2-inx
MI xe
[__103 SSISVAZIO)
[x= 0, 567]
[x=0,557]
{w= 0,510]
[= 0,297]
[x= 1,297]
|x=-2,039]
|e=—1,282]
[x= 0,549]
[= 1,557]
[\= 0.450]
[r=2,197]
8 - ANALISI NUMERICA 737
RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI
Stabilisci in quali casi è certo che il metodo di Gauss-Seidel converge alla soluzione dei seguenti
sistemi.
(SreViosTO)
6x1 - x +x3 —%4=0
x -2X+x3 — 2x4 = 0
x 4x3 +x4 = 0
2x; — Sx3+2x3 — 10x4= 1
[non è certo]
3x1 +x2-2%3=1
2x— 7x3+4x3=0 [converge]
x +2x— 8x3=4
x 6x2+x%3—-3%4= 1
—X+2x— 8x3+2x4=0
2x +2x> — 3x3 — 9x4 = —2
converge]
x 8x+x3= 1
x+Sxa x -x%4= 1
2x1 + 4x2 — 7x3+2x43 =
xi 2x3+ 5x3 + 12x4 =
[non è certo]
di
Applicando il metodo di Gauss-Seidel determina una soluzione approssimata dei seguenti sistemi di
equazioni.
Sx1+2x>-—x4=0 x) = —1,3289
x — 4x7+2x3 = -12 x; = 2, 9632
nec 6x, — 3x> + 15x3 = —8 x = 0, 5909
—x1+2x — 84 = 13 xy = -0,7181
12x, — 3x7 — 6x3=0 r
—2x +4x7 — xa = 18
xa tx tm = -4
xi 2 +6 = 16
4xj-%3+x3—%4=2
x 5% — x3+2%4= 1
(_iil] —m+2x,+8%3-4x4=-1
Di - x. +93 -Ta=-3
332
e =0,2332
xa = 0, 6234
738 8- ANALISI NUMERICA
6x1 +x3— x3:+x4=2
Xx Sx tx=3
x-3x+6x3=0
x, 5x1 +10x, = 1
4xx-x3+x4= 1 xi =0, 1671
x Tx +3 — 2x4 = 15 x = —1,6737
RIST] Xx +3x%+12x3=0
xi 2x3 +x3— 6x4 =12
L'INTERPOLAZIONE MATEMATICA
Ricorda che: BI Dati i punti (xo, yo) € (xi; yi), la retta interpolante che passa per essi ha equazione
vizyo
x X0
v=P+t (x-x0)
î Dati i punti (xo, yo) (x1,Y1) (x2;y2), la parabola interpolante che passa per essi ha equa-
zione
j=h eden een a aa
(xo — x1)(x0 — 22) (1 — x0)(x1 — x2) (2 — xo)(x2 — 1)
MB Dati i punti (x;,y;) con i=0,1,.....,n, la funzione polinominale interpolante di grado n
ha equazione
(e 2M)) _A]()
LonLA (x-x0)(x-x1).(x- x%n-1)
PETTO]
"(tn = 0) (n = 1): = 01)
Scrivi le equazioni delle funzioni polinominali interpolanti che passano per i seguenti punti.
mn (3) (i) beati
(1,2) (4) br=-s0+7
mm (1°) (63) psi
BEH (0.0) (-2,-3) (1,2) batosta
muoio () (9)
MT (1) (0,2) (-2,3)
(0,1) (1,3) (2.4) 6,2)
MEET (1.0)
A] 10 (+2) c‘+2=0
HZ] n: 1-0
IE nl 0
RA V2+nx=0
8 - ANALISI NUMERICA 741
x = 1, 146193
x = —1,841406
[x = 1,419024]
[x=0,704709)
[r=0,225002]
Me vo <<
(1:29)
x = —2,999587
xx =1, 035220
xV9-x2-1=0 I =0; Rie]
x3 = 2,981188
xtanx-3=0
x = 1, 192459
xy = —1, 192459
Applicando il metodo di Gauss-Seidel risolvi in modo approssimato i seguenti sistemi lineari.
x -3x3+4x3—24=13
2x, — 6x3 +3x3 = 15
—x1+ 4x7 +x3— 3x4 = 0
x +xr +x3— x4= 18
[il metodo non converge]
2xr — 7xx+3x3 — 8x4=1
4x3 — Sx + 12x4 = 36
18x;1 — 4x2 +7x3==2
X1+3x3 — 6x3 + 18x43 =3
[il metodo non converge]
25x; — 7x3 +3x3 — 8x4 = 20
x 7x2 +3x = —29
2x1 — 8x3 + 50x; — 124 = 18
—3x, + 8x2 — 7x3 — 25x4 = 16 x = 0, 1492
In una certa località si sono rilevati i dati relativi alla quantità di pioggia (in millimetri) caduta
nei mesi estivi, secondo la seguente tabella:
Determina la quantità di pioggia che può essere caduta in agosto, supponendo un modello pa-
rabolico. [= 10,6 mm]
Calcola la derivata numerica nei punti x = 2 e x= 6 della funzione di cui sono note le seguenti
coppie di punti:
173. 40)
120” 120
LA FUNZIONE DELLA DOMANDA
RI spicca il significato dei termini mercato, domanda, offerta.
IM] Quando si parla di mercato libero e di mercato monopolistico?
Considerando un modello economico semplificato, da che cosa possiamo dire che dipende la do-
manda di un bene? Che tipo di grafico ha una funzione di domanda?
Per descrivere una funzione di domanda si possono usare diversi modelli. Quali sono quelli che
più si adattano alle situazioni reali?
Che caratteristiche deve avere un modello parabolico di una funzione di domanda? Ed un mo-
dello iperbolico?
MEI Che cos'è la funzione di vendita? Quali sono le sue caratteristiche?
VET Data una funzione di equazione y = f(x), come si misura la variazione della variabile y in fun-
zione di quella della variabile x? Come si chiama l’indice che esprime tale variazione?
MB] Ne! caso particolare della funzione domanda che cosa esprime l'elasticità?
MB] Cone si calcola l'elasticità d’arco della funzione domanda? E quella puntuale?
IE] Cone si interpreta dal punto di vista geometrico l'elasticità di una funzione?
MST] Leciasticità di una funzione, in particolare della funzione domanda, può essere elastica, rigida,
unitaria. Spiega il significato di questi termini.
Da che cosa dipende l’elasticità di una domanda? Quali sono i beni che, in generale, hanno una
domanda di tipo elastico? Quali quelli che hanno una domanda di tipo rigido?
LA FUNZIONE OFFERTA
MB] Che cosa dice la legge dell’offerta? Che caratteristiche ha il grafico di una funzione dell’offerta?
BBMSE] Che cos'è la funzione di produzione?
Descrivi le condizioni che realizzano un mercato in regime di concorrenza perfetta.
ASTA nun regime di concorrenza perfetta, un singolo venditore o consumatore può influenzare il
prezzo di un bene?
EEA Che cos'è il prezzo di equilibrio di un bene in un mercato in regime di concorrenza perfetta?
Spiega come si determina il prezzo di equilibrio motivando la tua risposta.
9 - LA FUNZIONE DELLA DOMANDA E DELL'OFFERTA 743
Che cosa succede al prezzo di equilibrio quando varia la legge della domanda rimanendo inal-
terata quella dell’offerta?
Che cosa succede al prezzo di equilibrio quando varia la legge dell’offerta rimanendo inalterata
quella della domanda?
Che cosa accade al prezzo di equilibrio quando variano sia la funzione della domanda che quella
dell'offerta?
(2205 possono trarre delle regole generali che indicano se il prezzo di equilibrio tende ad aumentare
o a diminuire al variare delle leggi di domanda e di offerta?
LA FUNZIONE DOMANDA
Ricorda che: BM Una funzione domanda è una funzione non crescente del prezzo.
M Il coefficiente di elasticità d'arco è e)
W Il coefficiente di elasticità puntuale è €, =i d'
In genere poi si preferisce considerare |e,|.
W La funzione domanda si dice:
* elastica se |ep|>1 ® rigida se [ep] <1 e unitaria se |e,)=1
ESERCIZIO SVOLTO
746 9-LA FUNZIONE DELLA DOMANDA E DELL'OFFERTA
7
La legge di domanda di un determinato bene è data dalla funzione d = SL, calcola:
a. il coefficiente di elasticità quando il prezzo passa da 50 a 70: [1,3953]
b. il coefficiente di elasticità puntuale per un prezzo di 50; (0, 5814]
c. il coefficiente di elasticità puntuale per un prezzo di 70. [2, 5789]
Leb
ME] Considera la funzione di domanda di equazione d= Sud Nel passare da un prezzo
pi = 110 ad un prezzo p; il coefficiente di elasticità della domanda vale 2,966: calcola il valore
di p». Per quale valore di p l'elasticità puntuale vale iù, [p:= 130; p = 100]
La funzione di domanda di un certo bene ha equazione d= ssi 2000; determina:
a. il valore minimo della domanda:
b. il coefficiente di elasticità quando il prezzo passa da 300 a 600: [0 0238095]
e. il coefficiente di elasticità puntuale per un prezzo di 300. [0, 047619]
La funzione di domanda di un dato bene è data dall’equazione 4 2900: calcola:
a. il coefficiente di elasticità relativo all'arco di prezzi da 15 a 30; (0,5)
b. il coefficiente di elasticità puntuale per un prezzo p. [le]=1]
c. Quali considerazioni puoi fare circa l'elasticità di questa funzione di domanda?
Calcola il coefficiente di elasticità puntuale per un prezzo p nel caso in cui la domanda sia espres-
sa dalla funzione di equazione d = 200 — 4p. Studia la funzione che ne risulta e stabilisci quando
essa è elastica, rigida o unitaria. [
E,=
“si
Calcola il coefficiente di elasticità puntuale per un prezzo p nel caso in cui la domanda sia espres
sa dalla funzione di equazione d = 100 — 2p°. Studia la funzione che ne risulta e stabilisci quan-
do essa è elastica, rigida o unitaria. a.
Date le seguenti funzioni di domanda, trova le rispettive funzioni di vendita e determina il prezzo
massimo applicabile.
300 — p
6
_ 4000 — p?
— 8
a. d= [p=300— 64; Pmax = 300]
b. d {p= VAO0O — Bd: Pmax = 63,24]
LA FUNZIONE DELL'OFFERTA
Ricorda che: MI La funzione di offerta è una funzione non decrescente
Ml Il coefficiente di elasticità d'arco è —e,=
WI Il coefficiente di elasticità puntuale è e,==-r"
Dopo aver rappresentato graficamente la funzione di equazione r = —700 + 4p, stabilisci:
9- LA FUNZIONE DELLA DOMANDA E DELL'OFFERTA. 747
a. se essa può corrispondere ad una funzione di offerta motivando la tua risposta;
b. il prezzo al di sotto del quale non è conveniente vendere: [175]
e. la quantità offerta in corrispondenza dei prezzi 300 e 400; [= 500, 3 = 900]
d. la funzione di produzione.
Dopo aver rappresentato graficamente la funzione di equazione r = 2p° + 4p, stabilisci:
a. se essa può corrispondere ad una funzione di offerta;
b. la quantità offerta in corrispondenza di p = 300; [p= 181200]
d. il prezzo massimo supponendo una capacità produttiva di 246400 unità; lp= 350]
e. se essa è invertibile. [si]
Data la funzione di offerta di equazione r = —240 + 3p, calcola il coefficiente di elasticità al va-
riare del prezzo da 150 a 250. Quali considerazioni puoi fare sul tipo di offerta? [2.143]
IL PREZZO DI EQUILIBRIO
Ricorda che: In regime di concorrenza perfetta il prezzo di equilibrio è il prezzo che uguaglia la doman-
da e l'offerta di un bene.
La funzione di domanda e la funzione di offerta di un certo prodotto sono espresse dalle seguenti
equazioni:
d= 600 —4p e r=6p—380
Dopo aver rappresentato le due curve, determina il prezzo di equilibrio e la quantità di merce
domandata ed offerta a tale prezzo. [98: 208]
La funzione di domanda e la funzione di offerta di un certo prodotto sono espresse dalle seguenti
“equazioni:
aL e r=—-60+4p
Dopo aver rappresentato le due curve, determina il prezzo di equilibrio e la quantità di merce
domandata ed offerta a tale prezzo. [31,62; 66,5]
La domanda e l’offerta di un certo prodotto sono definite dalle seguenti funzioni:
d=(200+a)-3p e r=—(280+a)+5p
Determina il valore del parametro a sapendo che il prezzo di equilibrio corrisponde a 80 unità di
moneta. [80]
Indicato con p il prezzo di un bene, la funzione di domanda è ottenuta sottraendo il triplo di p da
500 e quella di offerta si ottiene sottraendo 300 dal quintuplo di p. Trova il prezzo di equili-
brio. [100]
MD] La domanda e l'offerta di un determinato bene sono espresse dalle seguenti funzioni:
d= 6800 — 8p e r= 12p— 4200
Determina il prezzo di equilibrio e la quantità domandata ed offerta a tale prezzo. [550: 2400]
748 9-LA FUNZIONE DELLA DOMANDA E DELL'OFFERTA
Considerando come base di partenza le funzioni di domanda e di offerta dell'esercizio preceden-
te, analizza le seguenti situazioni e determina in ogni caso il nuovo prezzo di equilibrio e la quan-
tità domandata ed offerta a tale prezzo.
a. La domanda aumenta ed è espressa dalla nuova relazione d = 13600 — 8p,
mentre l’offerta rimane immutata. [890: 6480]
b. La domanda diminuisce ed è determinata dalla nuova funzione d = 3400 — 8p,
mentre l’offerta rimane costante. [380; 360]
c. La domanda rimane costante e l'offerta aumenta secondo la funzione
r=—-3000 + 12p. [490; 2880)
d. La domanda rimane costante e l’offerta diminuisce secondo la funzione
r= —5000+ 12p. {590; 2080]
La domanda e l’offerta di un certo prodotto sono espresse dalle relazioni
de si e r = 40p— 160
Determina il prezzo di equilibrio e la relativa quantità domandata ed offerta. Sapendo che, suc-
cessivamente, le esigenze del mercato cambiano e le due funzioni diventano d ZIO
p
r= —100 + 40p, determina il nuovo prezzo di equilibrio e la relativa quantità domandata ed of-
ferta. [pj = 5: 40; p3=4,5; 80]
La domanda e l'offerta di un certo prodotto sono espresse dalle relazioni d = a ©
r= —600+ 4p. Determina il prezzo di equilibrio e la relativa quantità domandata ed offerta.
Se le condizioni di mercato cambiano le nuove funzioni di domanda e di offerta sono
d= ua er= -350+ 4p, quali sono il nuovo prezzo di equilibrio e la quantità domandata
ed offerta? Rappresenta nel piano cartesiano le due situazioni. {pj = 158; 31; pi= 102; 56]
IBM] Se il prezzo di un bene varia da 110 a 130 la domanda passa da 4450 a 2050. Scrivi la funzione di
domanda supponendo che il modello sia lineare. Calcola l’elasticità dell'arco di prezzi da 100 a
130 e quella puntuale per un prezzo di 120. [d= —120p+ 17650; 2,12; 4,4]
100 10
o
Dopo averle rappresentate in uno stesso sistema di riferimento, stabilisci se esiste un valore di p
per il quale le tre funzioni hanno tutte la stessa domanda. Stabilisci poi, per ciascuna di esse, il
prezzo per una quantità domandata di 100 e di 120 unità. [stessa domanda per p = 1]
Siano date le seguenti funzioni di domanda: d= > d=
Rappresenta graficamente la funzione domanda di equazione d = 200e°? e stabiliscine le carat-
teristiche.
1600 — p?
La domanda di una determinata merce è data dalla relazione d= 7 ; calcola:
10 - COSTO, RICAVO, PROFITTO — 751
RBB Uilustra le relazioni che ci sono fra le funzioni del costo medio e del costo marginale.
METE Spiega che cos'è il ricavo e la relazione che lo individua distinguendo il caso del mercato libero
da quello di monopolio.
Dai la definizione di ricavo medio e scrivine poi l’espressione.
Dai la definizione di ricavo marginale e scrivine poi l’espressione distinguendo il caso discreto da
quello continuo.
RMET] Che cos il profitto? Come si calcola?
RE] Nella rappresentazione grafica della funzione profitto come si individuano la zona di utile e quel-
la di perdita? Che cos'è un break-point?
In un diagramma di redditività si confrontano:
a. guadagno e ricavo
b. costo e guadagno
€. costo e ricavo.
Qual è la risposta corretta?
La ricerca del massimo profitto può essere condotta in diversi modi. Spiega quali aiutandoti
eventualmente con degli esempi.
Il massimo profitto si ha nel punto 7 in cui R,, = Cw È sufficiente questa considerazione 0 se
ne devono aggiungere altre?
LA FUNZIONE COSTO
Ricorda che: Indicata con C(g) la funzione del costo totale, si ha che
I il costo medio è [Ga -@
Wi il costo marginale è Cna = C'(9)
vB] Un'impresa, per produrre un certo bene in un dato periodo di tempo, sostiene dei costi fissi va-
lutabili in 400€ e dei costi variabili che corrispondono a 0, 80€ per ogni unità prodotta. Tenendo
conto che l'impresa può produrre al massimo 1000 unità, determina:
a. la funzione del costo totale e rappresentala graficamente;
b. l'ammontare dei costi variabili e del costo totale per una produzione di 500 e di 1000 unità.
[400€, 800€; 800€, 1200€]
Un’impresa, per produrre un certo bene in un dato periodo di tempo, sostiene dei costi fissi pari
a 3000€ e dei costi variabili quantificabili in 9€ ogni due unità prodotte. Sapendo che l’impresa
può produrre al massimo 3000 unità, determina:
a. la funzione del costo totale e rappresentala graficamente;
b. l'ammontare dei costi variabili e del costo totale per una produzione di 300 unità.
[1350€; 4350€]
752 10-COSTO, RICAVO, PROFITTO
IE] Una ditta, per la vendita di un certo prodotto in un dato periodo di tempo, sostiene dei costi fissi
di 400€ e dei costi variabili che corrispondono, in euro, al 2%o del quadrato della quantità pro-
dotta. Tenendo conto che l’impresa può produrre al massimo 500 unità, determina:
a. la funzione del costo totale e rappresentala graficamente; [C= 0,0029" + 400]
b. l'ammontare dei costi variabili e del costo totale per la produzione massima. (500€; 900€]
Un’impresa che produce articoli per la casa sostiene i seguenti costi giornalieri:
- spese fisse generali di 25€ e spese variabili di 1,80€ per ogni unità prodotta, per una pro-
duzione fino a 300 pezzi;
- spese variabili che subiscono un aumento di 0, 60€ per ogni pezzo prodotto per una pro-
duzione superiore alle 300 unità e fino alla capacità massima di 500 pezzi.
Rappresenta graficamente la funzione costo e calcola poi il costo totale per produzioni di
250 e 320 unità.
Si tratta di una funzione lineare definita a tratti la cui espressione analitica è
1,809 +25 se0<gq< 300
— | 1,80-300+2,40(4— 300) +25 se 300 < q < 500
Per una produzione di 250 unità il costo totale risulta
Per una produzione di 320 unità il costo totale risulta
Per trasportare una certa merce una ditta applica le seguenti tariffe:
- 1,20€ al kg fino a 10kg trasportati;
- 0,90€ al kg per ogni kg eccedente i 10kg e fino ad un massimo di 15kg;
- 0,80€ al kg per ogni kg eccedente i 15.
Occorre calcolare poi un contributo fisso di lire 10€ per ogni spedizione.
Dopo aver definito la funzione costo, determina il costo del trasporto per pacchi di 7kg, 12kg,
20kg. 1,209 +10 per 0<q<10
{os +13 per 10<q<15 €C(7)=18,4; C(12)=23,8; C(20)=31,5
| 0,809 +14,5 perg>15
«IMA Una fabbrica di liquori sostiene, per la sua produzione, una spesa fissa settimanale di 2 120€ ed
inoltre ogni litro prodotto costa all’azienda 1,60€ per le materie prime utilizzate. Rappresenta
graficamente le funzioni del costo totale e del costo medio; determina poi
a. il costo totale per una produzione di 800 litri di liquore;
b. il relativo costo medio.
MEA Unindustria sostiene, per la fabbricazione di un determinato prodotto in un dato periodo di
tempo, costi fissi di 1000€ e spese per materie prime per ogni unità prodotta, pari, in euro, al
2% dei pezzi fabbricati. Determina:
a. la funzione del costo totale e la funzione del costo medio;
b. il costo medio complessivo per una produzione rispettivamente di 500 e 1000 prodotti.
[2,02€; 1,02€]
Una ditta, per la vendita di un articolo, sostiene, in un dato periodo di tempo, costi fissi di
1000€ e spese complessive pari, in euro, al 2%o del quadrato degli articoli venduti. Determi-
na:
a. la funzione del costo totale e del costo medio;
10 - COSTO, RICAVO, PROFITTO — 753
b. il costo medio complessivo per una produzione di 400 e 800 articoli; [3,30€; 2,85€]
c. il punto di minimo costo medio. [(7072,83)]
RES] Unindustria sostiene, per la fabbricazione di un determinato prodotto in un dato periodo di
tempo, costi fissi di 2000€ e spese per materie prime per ogni unità prodotta, pari, in euro, al
1%o del quadrato dei pezzi fabbricati. Determina:
a. la funzione del costo totale e del costo medio;
b. il costo medio per produzioni di 4000 e 8000 unità: [4,5€, 8,25€]
e. la quantità da produrre per avere il minimo costo medio. {1414]
BEBE] Una ditta sostiene, per la vendita di un articolo in un dato periodo di tempo, costi fissi di 15000€
e, per ogni unità prodotta ed in euro, spese di amministrazione corrispondenti al 10% del qua-
drato degli articoli prodotti; sostiene inoltre dei costi per le provvigioni dovute agli agenti quan-
tificabili in 3€ per ogni unità. Determina:
a. la funzione del costo totale e del costo medio;
b. il costo medio per una produzione di 200 e 400 unità di bene; (98€; 80,5€]
e. la quantità da produrre per avere il minimo costo medio. 387]
RETE Un laboratorio di confezioni per donna sostiene una spesa complessiva mensile di 2500€ ed una
spesa variabile che corrisponde, in euro, al 8%o del quadrato del numero degli abiti confezionati.
Determina:
a. la funzione del costo unitario di produzione;
b. il numero di abiti da produrre affinché il costo unitario di produzione sia minimo e l’ammon-
tare di tale costo. [859;8,94€]
Una falegnameria può produrre al massimo 3000 oggetti mensilmente, sostenendo spese fisse per
un ammontare di 12000€. Sapendo che la spesa variabile complessiva della produzione risulta
corrispondente, in euro, al 3% del quadrato del numero degli oggetti fabbricati e che il costo di
trasporto per ciascun oggetto è di 8€, determina:
a. la funzione del costo medio di produzione;
b. il numero di oggetti da produrre affinché il costo medio di produzione sia minimo e l’ammon-
tare di tale costo. [2000; 20€]
Un'impresa, per la produzione di un certo bene in un dato periodo di tempo, sostiene dei costi
fissi di 400€ e dei costi variabili che corrispondono a 0, 80€ per ogni unità prodotta; determina il
costo marginale e spiega il significato del risultato ottenuto. [0, 80€]
I costi (in euro) di un’impresa per la produzione di un certo bene, in un dato periodo di tempo,
sono stati sintetizzati nel seguente modello: C = 0,3x? + 20x + 10. Determina:
a. la funzione del costo marginale.
b. l'ammontare del costo marginale passando da una produzione di 100 a una di 101 unità ed il
relativo costo aggiuntivo. [Cma (100) =80€; Cna (101) = 80,6€; 0,6€]
VOSGI
756 10-COSTO, RICAVO, PROFITTO
- PZX Una torrefazione vende caffè a 3, 50€ il kg. Il caffè, allo stato originale, ha un costo di 2,90 € il
kg cui vanno aggiunte spese fisse giornaliere di 180€. Tenendo conto che la quantità massima
che si può tostare è di 500 kg al giorno, determina:
a. la funzione ricavo;
b. la quantità prodotta per cui i costi uguagliano i ricavi; [300]
c. la quantità giornaliera da produrre per consentire alla torrefazione il massimo utile e l’am-
montare di tale utile. (500, 120€]
Una ditta artigiana del settore tessile utilizza, per la produzione di una certa tela, una macchina
che ha un costo di gestione di 2000€ alla settimana. La capacità di produzione di questa nuova
macchina è di 7000 m di tela alla settimana con un costo al metro di 4€ e la tela potrà essere
rivenduta a 8 € al metro. Determina:
a. la funzione ricavo e la funzione costo totale;
b. il numero di metri da produrre affinché i costi uguaglino i ricavi; [500]
c. la quantità da produrre per consentire all’artigiano il massimo utile e l'ammontare di tale uti-
le. [7000; 26000 €]
PO ESERCIZIO SVOLTO
Una segheria può lavorare fino a 500 quintali di truciola-
to di legname in una settimana, sostenendo spese fisse pa- _ C|
ri a 750€ settimanali e spese quantificabili in 5€ per ogni È
quintale lavorato. Il prezzo di vendita è così stabilito:
40€ al quintale diminuito, in euro, del 10% del numero
dei quintali prodotti e pronti per la vendita.
Determina:
a. la funzione ricavo e la funzione costo totale;
b. il punto di equilibrio tra costo e ricavo;
e. la quantità di legname che deve essere lavorata setti-
manalmente per consentire alla segheria il massimo
utile e l'ammontare di tale utile. 31
2 2;
È 327 400 q
La funzione costoè C=59+750 con 0<gq< 500 e rappresenta una retta di coeffi-
ciente angolare positivo.
La funzione ricavo è R= (40—0,19)g = —0,14° +409 e rappresenta una parabola con
vertice nel punto (200, 4000) e che incontra gli assi cartesiani nell’origine e nel punto (400,0).
Per calcolare il punto di equilibrio uguagliamo costo e ricavo ottenendo l’equazione
5q+750=-0,149°+409 da cui ricaviamo che q=23 V q= 327
Interpretiamo i valori ottenuti: l'industria per avere un utile dovrà quindi lavorare da un mi-
nimo di 23 quintali ad un massimo di 327 alla settimana; per 23 < q < 327 si avrà dunque
una zona di utile nella quale andiamo a ricercare il massimo profitto.
Calcoliamo la derivata prima delle funzioni costo e ricavo ottenendo così i corrispondenti
valori marginali:
Cna=5 € Ri ==0;294+-40
uguagliando le due funzioni otteniamo l'equazione 5 = —0,29 +40
da cui otteniamo che 4g = 175
Essendo inoltre R"(175) < 0, possiamo concludere che è per tale quantità che si ha il mas-
simo utile; esso è pari a 2312,5€.
Un secondo modo per pervenire allo stesso risultato consiste nel calcolare subito la funzione
profitto determinandone poi il punto di massimo. I risultati ottenuti sono gli stessi.
10 - COSTO, RICAVO, PROFITTO 757
er stampare una guida per la città, una tipografia, che ha una capacità massima di stampa di
10000 copie alla settimana, sostiene una spesa fissa di 130€ più 4€ per ogni guida. Il prezzo uni-
tario (in euro) di vendita di ogni prodotto stampato è dato dall’espressione 12 — 0, 00129, dove g
indica la quantità stampata. Determina: ©
a. entro quali limiti deve variare la tiratura affinché l’editore abbia un utile; [16 < 4.< 6650]
b. il numero di copie da stampare affinché l’utile sia massimo e l'importo di tale utile.
[a=3333;13203,33€]
Un'azienda produce settimanalmente un certo numero di stampi ognuno dei quali costa alla pro-
duzione 4€; sostiene inoltre una spesa fissa settimanale di 200€. Il ricavo previsto per ogni stam-
po è dato da 7,60 — 0,0029, dove g indica la quantità prodotta e venduta. Calcola entro quali
limiti deve variare il numero degli stampi affinché l’azienda abbia un utile e determina inoltre il
numero di stampi da produrre affinché l’utile sia massimo e l'importo di tale utile.
[60.<q< 1740; 4=900; 1420€]
REI] Una piccola azienda che confeziona calze ha una capacità di produzione di 1000 pezzi alla set-
timana e sostiene dei costi fissi di 2250€ e dei costi unitari, in lire, pari a 3 — 0,0029, dove g
indica il numero di calze prodotte. L'azienda vende ad un grossista la produzione settimanale
realizzando un ricavo di 6€ al pezzo. Determina:
a. il numero di calze da produrre ogni settimana per avere un utile; [549<4< 1000]
b. l’utile massimo ricavabile. [2750€]
IE] Un'impresa di costruzioni ha verificato che la quantità domandata di un dato manufatto è de-
finita dalla relazione x = —0,001p + 6, dove p indica il prezzo unitario. I costi sostenuti dall’im-
presa si ripartiscono in costi fissi di 450€ ed in costi variabili di 0, 15€ per ogni manufatto pro-
dotto. Determina la quantità x da produrre per avere il massimo guadagno nonché l'importo di
quest’ultimo. [2925: 8105,63€
RBBEETE ni costo totale relativo alla produzione di un certo bene è C = 0, 159° + 2109 + 3000 (in euro) ed
il prezzo unitario di vendita dipende dalla quantità prodotta secondo la relazione
p= 660 — 0,3g. Determina la quantità da produrre per avere il massimo ricavo e quella per ave-
re il massimo profitto. Verifica che in corrispondenza della quantità di massimo profitto, costo
marginale e ricavo marginale coincidono. Rappresenta poi graficamente la funzione ricavo, la
funzione profitto e costruisci il diagramma di redditività. [1100; 500]
MER] 11 costo totale relativo alla produzione di un certo bene è dato, in euro, dalla relazione
C= 0, 59° + 15000, il prezzo unitario di vendita dipende dalla quantità prodotta secondo la re-
lazione p = 1400 — 0, 79. Determina la quantità da produrre per avere:
a. il massimo ricavo; 1000]
b. il massimo profitto. 583]
e. Verifica che, in corrispondenza della quantità da produrre per avere il massimo profitto, co-
sto marginale e ricavo marginale coincidono. Costruisci poi il diagramma di redditività.
RE] 11 prc220 di un certo bene è, in un certo periodo, regolato dalla funzione p = 400 — 45q (g in chi-
logrammi, p in euro). Il costo medio di quel prodotto è stato stimato dalla relazione
Cn 03) + 70 (C,, in euro). Determina:
a. le funzioni del costo totale e del costo marginale di quel bene;
b. le funzioni del ricavo totale e di quello marginale di un’impresa che produce una quantità q
del bene;
758 10- COSTO, RICAVO, PROFITTO
c. la funzione di profitto dell'impresa; [P = —454° + 3309 — 165)
d. studia poi la funzione del costo medio, del costo marginale e del ricavo marginale, rappresen-
tandole in un sistema di riferimento cartesiano.
Per il trasporto di una data merce si applica la seguente tariffa:
- diritto fisso di chiamata di 30€:
- 1€ per ogni quintale di merce trasportato fino a 120;
- 0,80€ per ogni quintale eccedente i 120,
Scrivi l’espressione analitica del costo del trasporto al variare del peso della merce e determina i
costi di spedizione per merce del peso di 100 quintali e di 150 quintali. [130€; 174€]
AM] Dare le seguenti funzioni:
C=4P+2441 R= 404-414? d=tpt42p41
a. trova le funzioni del costo marginale e medio e del ricavo marginale;
b. scrivi l’espressione analitica della funzione guadagno e rappresentala graficamente;
c. calcola la quantità ottimale per avere il massimo profitto; [20]
d. determina il prezzo di mercato in euro. [5€]
È data la funzione y = ia +25x° — 400x + 1200; dopo averla studiata e rappresentata nel
piano cartesiano determina:
a. per quali valori di x tale funzione rappresenta una funzione costo; Mi8<x< 40]
b. per tali valori di x studia la funzione del costo marginale e determina la quantità per cui si ha
il massimo costo marginale. [25]
BEI Di un certo articolo si sa che per un prezzo di 10€ si ha una domanda di 8.000 pezzi. Se il prezzo
viene aumentato del 40% la domanda si riduce a 6000 articoli. Determina:
a. la funzione lineare di domanda e la corrispondente funzione di vendita.
{d= —500p + 13000; P = 26 — 0,0024]
b. L'impresa che produce tale articolo sostiene per la sua produzione un costo fisso di 20000 € al
mese e spese variabili, in euro, pari al 0,2% del quadrato del numero degli articoli prodotti.
Dopo aver determinato la funzione del costo totale, del costo medio, del costo marginale e del
ricavo, verifica che la curva del costo marginale passa per il punto di minimo del costo medio.
Determina inoltre la quantità ottimale da produrre mensilmente per avere il massimo profitto
ed il prezzo di mercato per tale quantità. [a = 5909; p= 14,18€]
Se l'impresa può produrre mensilmente non più di 5000 articoli, qual è il massimo profitto
mensile? {55000€]
ABBA La: funzione costo di una certa produzione è c=té +29+1.
a. Determina la funzione del costo medio e del costo marginale e rappresenta graficamente le tre
curve.
b. Supponendo che il prezzo vari secondo la relazione p = 80 — di determina la funzione profit-
to e rappresentala graficamente. Stabilisci in particolare la quantità ottimale per avere il mas-
simo profitto. [52]
c. Calcola inoltre la quantità che dà il massimo profitto nel caso in cui l'impresa che produce il
bene abbia un vincolo di produzione di 40 unità o di 60 unità. [40: 52]
RETI spicca il significato dei seguenti termini:
a. esperimento aleatorio
b. spazio campionario
e. evento aleatorio
d. evento elementare.
AMB] Quando un evento si dice certo? Quando impossibile?
Qual è la concezione di probabilità secondo il modello classico?
Che cosa vuol dire che due eventi sono equiprobabili? Fai degli esempi.
Esistono altri modi di concepire la probabilità oltre a quello classico? Quali sono?
RT] stadilisci quale modello probabilistico è più adatto a valutare la probabilità dei seguenti eventi:
a. estrarre una particolare carta da un mazzo
b. colpire un bersaglio
c. vincere una partita a scacchi
d. vincere una partita a carte
e. avere un incidente stradale
f. vincere il primo premio ad una lotteria
g. giocare la schedina vincente.
Che cos'è un’algebra?
Che significato hanno l’insieme vuoto e l’insieme £ nell’algebra degli eventi di un esperimento
aleatorio?
RS] Stavilisci il valore di verità delle seguenti proposizioni.
a. Se un evento A è contenuto in un altro evento 8, allora il verificarsi di A implica
il verificarsi di 8. [Mita]
b. Dati gli eventi A e 8, l'evento AU B si verifica se si verifica almeno uno degli
eventi A e B. f N E
c. Dati gli eventi A e 8, l’evento AU B si verifica soltanto se si verificano entrambi
gli eventi A e B. N E
d. Dati gli eventi A e 8, l’evento AN B si verifica soltanto se si verificano sia
A che B. Wu E
RBMET] Che cosa significa che due eventi sono incompatibili?
762 11-LA PROBABILITÀ
ATTI Dai ti definizione di probabilità nella teoria assiomatica. In tale teoria quale valore di probabi-
lità viene attribuito all’evento certo?
Enuncia il teorema della probabilità contraria. In base a questo teorema, qual è la probabilità
dell'evento impossibile?
Enuncia il teorema della probabilità totale per eventi incompatibili. Qual è la sua formulazione
se gli eventi sono compatibili? Fai un esempio in cui sia possibile applicare questo teorema.
Enuncia il teorema della probabilità composta. Quale forma assume tale teorema se gli eventi
sono indipendenti?
SG Che cosa dice il teorema di Bayes? In quali situazioni si usa? Fai un esempio.
RETI Dai ce definizioni di disposizione e di combinazione di n elementi di un insieme a gruppi di k.
[171 Quante sono le disposizioni semplici di n oggetti di classe k? Quante le permutazioni di n oggetti?
Fai un esempio di disposizioni con ripetizione. Qual è la formula che indica il loro numero?
Quante sono le combinazioni semplici di n elementi di classe 4? E quelle con ripetizione?
Come si calcola il coefficiente binomiale ( 2)
ABS] Che cos'è una variabile aleatoria? Fai qualche esempio.
Che cos'è una distribuzione di probabilità?
Che cos'è e come si calcola la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria?
Che tipo di grafico ha una funzione di ripartizione? Che cosa rappresentano i salti che in esso
compaiono?
IERI Che cost il valore atteso di una variabile aleatoria? Come si calcola? Quali sono le sue proprietà?
Che cosa sono la varianza e lo scarto quadratico medio di una variabile aleatoria? Come si cal-
colano?
IMA Che cos la primitiva di una funzione?
BE] Quante primitive ha la funzione fi (x)? Come si chiama l'insieme delle sue primitive?
BET] Come si calcola l’area della parte di piano delimitata da una curva f(x) e dall’asse delle ascisse
in un intervallo [a, 5]? Come si deve procedere se l’intervallo [a, 5] non è limitato?
Nel caso di una variabile aleatoria continua, si può ancora parlare di funzione di probabilità? In
che modo?
ABETE Quando una variabile aleatoria ha distribuzione di probabilità uniforme? Quali sono la media e
la varianza di tale distribuzione?
MMI Scinun esperimento aleatorio un evento A ha probabilità p di verificarsi e se l'esperimento viene
ripetuto n volte, quale è la sua legge di distribuzione di probabilità? Quanto valgono la media e
la varianza di questa distribuzione?
Qual è la legge di distribuzione di probabilità di Poisson? In quali casi si usa? Quale altra distri-
buzione di probabilità viene approssimata da questa legge?
In quali esperimenti aleatori è opportuno usare una distribuzione ipergeometrica per calcolare
un probabilità? Fai un esempio.
11-LA PROBABILITÀ 763
La legge di distribuzione normale descrive il comportamento di una variabile aleatoria nel con-
tinuo. Qual è l'andamento del suo grafico? Che cosa rappresentano la media e la varianza?
Quando la distribuzione normale si dice standardizzata? Perché si preferisce questa distribuzione?
SULLA DEFINIZIONE DI PROBABILITÀ
Applicando la definizione classica, determina la probabilità che nel lancio di un dado esca:
a, un numero pari
-_
; (26
DI, IE
Pica mei
b. un divisore di 6
c. il numero 5
CE
d. un numero minore di 5.
CI)
I;
MB] Nell'esirazione di una carta da un mazzo di 40, calcola la probabilità che la carta estratta sia:
a. di fiori
3
b. una figura [ie]
e. una donna fo]
1
d. un asse di colore rosso. [i
Un sacchetto contiene 5000 fiches da gioco del valore di 1€, 5€, 10€ e 50€. Si effettuano 2000
estrazioni, rimettendo ogni volta la fiche estratta nel sacchetto. I risultati sono i seguenti:
Dai una stima della composizione dell’urna.
(Se la frequenza in percentuale con la quale la fiche di un certo valore viene estratta viene molti-
plicata per...) [1517; 2030; 813: 640]
Da una indagine svolta in un'azienda risulta che un dipendente ha prodotto nell'arco di un mese
un certo numero di pezzi al giorno, secondo la seguente tabella:
Stima la probabilità che lo stesso dipendente, supponendo invariate le condizioni, produca 24
pezzi nella giornata di domani. i
766 11-LA PROBABILITÀ
ESERCIZIO AMSERDE
a. Troviamo la probal che la È pe; nc ai
cr a proposizione Senior gli
SES gnnaL a :probabili c0e |
p=la+b-ab)+cd]-[(a+b- da) ‘cd
| Db; Rd ca raggi a,b, ed, assumano i valori assegnati si ha che
p=0,9
|
i
|
Osserva lo schema di circuito logico in figura. Ognuno dei Sa in-
terruttori 4, 8, C D, ha, indipendentemente dagli altri, probabilità > 1 di
essere chiuso.
Calcola la probabilità che la proposizione P sia vera. fa
Una cassa contiene $ valvole provenienti dal fornitore A, 6 valvole provenienti dal fornitore 8 e
7 valvole provenienti dal fornitore C. Si estrae a caso una valvola e dopo averla collaudata si
ripone nella cassa; si estrae quindi una seconda valvola e anche su di essa si procede al collaudo.
Calcolare la probabilità che:
a. il primo collaudo sia stato effettuato sulla valvola del fornitore A e il secondo
su una del fornitore C;
b. che entrambe le valvole estratte provengano dallo stesso fornitore C;
c. che la prima valvola sia del fornitore B e la seconda di A oppure di C.
Una cassa contiene 3 interruttori provenienti dal fornitore A, 4 interruttori provenienti dal for-
nitore 8 e 4 interruttori provenienti dal fornitore C. Si estraggono a caso due interruttori e su di
essi si procede al collaudo. Calcola la probabilità che:
a. il collaudo sia stato effettuato su due interruttori entrambi del fornitore 8;
b. entrambi gli interruttori estratti provengano dal fornitore 4;
e. entrambi gli interruttori provengano dallo stesso fornitore.
(Attenzione: gli interruttori potrebbero provenire entrambi da A, da 8 oppure da C).
11-LA PROBABILITÀ 767
SI] Na! magazzino prodotti finiti di un'officina sono in giacenza 100 pezzi di ricambio. Di questi, 10
sono stati fabbricati dalla macchina A, 20 dalla macchina 8, 30 dalla C e 40 dalla D. Si collau-
dano 3 pezzi prelevandoli contemporaneamente dal deposito; calcola la probabilità che siano
stati fabbricati tutti dalla stessa macchina. [0.094]
Un sacchetto contiene delle fiches di uguale grandezza ma di valore diverso: 10 sono da 0, 50€ e
5 da 0, 20€. Un secondo sacchetto contiene 2 fiches da 0, 05€ e 6 fiches da 0, 10€. Se si estrae una
fiches da ogni sacchetto, calcola la probabilità dei seguenti eventi:
a. ottenere un valore pari a 0,60€;
b. ottenere un valore pari a 0, 55€;
c. ottenere un valore pari a 0,30€.
Lo standard di produzione di tre macchine per la lavorazione di uno stesso tipo di prodotto
finito risulta:
* Macchina 4= 0,040 ore/ pezzo
e Macchina B= 0,02857 ore/ pezzo
e Macchina C= 0,025 ore/ pezzo
A mano a mano che la produzione delle tre macchine prosegue, i pezzi finiti vengono inviati
al magazzino e imballati in casse ove risultano casualmente mescolati.
È noto che le tre macchine producono pezzi difettosi nella misura del 5% la macchina A, del
4% la B e del 2% la macchina €.
Viene aperta una cassa ed estratto casualmente un pezzo ed il collaudo lo trova difettoso.
Qual è la probabilità che esso sia stato prodotto dalla macchina 8?
Osserviamo innanzi tutto che:
e La macchina A produce Tom = 5 pezzi per ogni ora;
© 1 = 1 a 5
* la macchina 8 produce 0,02857 " 35 pezzi ogni ora;
* la macchina € produce so =40 pezziogni ora.
Su un totale di 100 pezzi (25 +35+ 40 = 100), 25 sono stati prodotti da A, 35 da Be 40 da C.
Per calcolare probabilita richiesta, dobbiamo servirci del teorema di Bayes; scelto un pezzo a
caso fra quelli prodotti, sia:
A l'evento ‘il pezzo è stato prodotto dalla macchina 4” : p(4) =
B l'evento "il pezzo è stato prodotto dalla macchina 8” : (8) =
C l'evento "il pezzo è stato prodotto dalla macchina €” : p(C) = ........
D l'evento "il pezzo è difettoso":
P(DIC)
768 11-LA PROBABILITÀ
Dei pezzi sono prodotti da due macchine A e 8: la macchina A produce il doppio dei pezzi della
macchina 8 nello stesso tempo. Il 2% dei pezzi prodotti da A e '1% dei pezzi prodotti da B sono
difettosi. Un pezzo scelto a caso dall’intera produzione è risultato difettoso. Calcola la probabi-
lità che sia stato prodotto dalla macchina A.
ss In un reparto di produzione, in cui sono produttive solamente due macchine, il 25% dei pezzi
prodotti dalla macchina A e il 10% dei pezzi prodotti dalla macchina 8 sono difettosi. La mac-
china 8 produce il 60% dei pezzi totali. Dalla produzione globale del reparto viene prelevato un
pezzo che dal collaudo risulta difettoso. Calcola la probabilità che il pezzo prelevato sia stato
prodotto dalla macchina 8. [0.375]
Un tecnico venditore visita i propri potenziali clienti e, per esperienza, sa che da una visita la
probabilità di concludere l'affare è 0,3; cioè dall’esperienza sa che conclude l'affare nel 30% delle
visite effettuate. Calcola il numero di visite da effettuare durante la prossima uscita affinché sia
almeno 0,8 la probabilità di concludere un affare.
(Se è 0,3 la probabilità di successo, sarà di 0,7 quella di fallimento della visita; quindi, essendo gli
eventi "visita al cliente" fra loro indipendenti devi cercare il primo valore di n che soddisfa la
disequazione 1 — (0,7) > ln=5]
PROBABILITÀ E CALCOLO COMBINATORIO
Ricorda che: MI Le disposizioni semplici di n oggetti distinti di classe £ sono:
D,g=n(n-1)
Le permutazioni di n oggetti sono: P, = n!
Wl Le disposizioni con ripetizione di n oggetti distinti di classe £ sono: Dix = }
W Le combinazione semplici di n oggetti di classe £ sono:
_ fi ai SbhzaTe) al
CS (o) SD RI CHn=b)!
Le combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k sono:
r _MA+1).(n+k-1
Grotte hh
Le disposizioni semplici
Quante parole di tre lettere, anche prive di significato, si possono comporre con 4 lettere dell’al-
fabeto senza che nessuna lettera sia ripetuta più di una volta? [24]
Quanti numeri di 3 cifre tutte diverse si possono formare con le 10 cifre 0, 1,2,...9? (720)
Quante parole di tre lettere, anche prive di significato, si possono comporre con le 21 lettere del-
l'alfabeto senza che nessuna lettera sia ripetuta più di una volta? [7980]