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Ottimi esercizi risolti sui vettori
Tipologia: Esercizi
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Esercizi Calcolo Dimensionale, stima degli errori e calcolo vettoriale
Esercizio 1
L’intensità I di un fascio di protoni attraverso il bersaglio in un acceleratore di particelle ad alta energia è definita come il numero di protoni che passano attraverso il bersaglio in un secondo. Essa segue la legge , dove I 0 è il numero di protoni generati dall’acceleratore in un
secondo, σ è la sezione d’urto del nucleo che costituisce il bersaglio, ρ è il numero di atomi per unità di volume del bersaglio e x è lo spessore del bersaglio. Controlla la correttezza della legge a livello dimensionale.
Soluzione:
dove I e I 0 hanno la stessa dimensione, mentre l'esponenziale e l'argomento dello stesso devono essere adimensionali. Pertanto avremo 1=σρ x= [L^2 ][L-3^ ][L]
Esercizio 2
Una variabile f è detta “funzione” delle variabili x, y, z… ed è indicata come f(x, y, z…) , se il suo valore dipende dal valore delle variabili x, y, z…, che sono dette “variabili indipendenti”. Si calcoli come si propaga l’errore sulla funzione f a causa dell’incertezza sulla misura delle variabili indipendenti nei seguenti casi:
1
Soluzione:
Quindi l'errore su
f 4 ( w , v , t ) sarà
Δ f 4 ( w , v , t ) = 2 w ⋅ Δ w +
v
⋅ Δ v + 3 Δ z
Quindi l'errore su
f 5 ( x , y , z ) sarà
Δ f 5 ( x , y , z ) =
a x
⋅ Δ x −
b y^2
⋅ Δ y − sin z ⋅ Δ z
e
Δ M (^) S M (^) S
(Misure più precise forniscono M (^) S ≅ (1.98892 ± 0.00025)⋅ 10 30 kg )
Esercizio 5
Supponiamo di avere un vettore che ha componenti vx = 2 m, vy = 3 m e vz = 5 m, in un sistema di riferimento cartesiano con assi ortogonali. Calcolare:
a) il suo modulo b) l'angolo formato dal vettore con l'asse z c) l'angolo formato dal vettore con il piano xy
Soluzione:
a) Il vettore si scrive come:
v = v (^) x i ˆ + v (^) y ˆ j + v (^) zk^ ˆ = (2 i ˆ + 3 ˆ j + 5 k ˆ ) m
e il suo modulo è dato da
v = v = v (^) x^2 + v (^) y^2 + v (^) z^2 = 38 m = 6.16 m
b) l'angolo formato dal vettore con l'asse z
cos ϑ =
v (^) z v
e
ϑ = cos−^1
v (^) z v
c) l'angolo formato dal vettore con il piano xy è
φ =
π 2
−ϑ = 54.26 0
Esercizio 6
Tre forze coplanari
F 2 e
F 3 di modulo F 1 = 3 N , F 2 =4 N e F 3 =5 N rispettivamente sono applicate sullo stesso corpo. Calcolare l'angolo α tra
F 1 e
F 3 e l'angolo β tra
F 2 e
F 3 sapendo che l'angolo tra
F 1 e
F 2 e 90^0 e la forza risultante delle tre forze è zero.
Soluzione:
dati F 1 = 3 N , F 2 =4 N e F 3 =5 N scriviamo la condizione
che la forza netta risultante sia nulla come:
Scrivendolo in componenti si ottiene:
F 1 x + F 2 x + F 3 x = 0
F 1 y + F 2 y + F 3 y = 0 ma dalle condizioni date dal problema sappiamo anche che:
F 2 x = 0 e
F 1 y = 0
F 1 x = F 1 e
F 2 y = F 2
Da queste equazioni possiamo dedurre:
F 3 x = − F 1
F 3 y = − F 2
Dalla figura è facile vedere che
tag ϑ =
con θ angolo tra asse delle x ed
ne segue che ϑ = 0.927 rad = 53.13° (^) ,
β =
π 2
Esercizio 6 Dire per quali valori di α i vettori v 1 , v 2 e v 3 sono lineramente dipendenti e, in tal caso, esprimere v 3 come combinazione di v 1 e v 2.
v 1 =
v 2 =
v 3 =
α 24 − 10
Soluzioni
Esercizio 1 I vettori sono dipendenti e si ha, ad esempio, − 3 v 1 + v 2 + v 3 = 0.
Esercizio 2 I vettori sono indipendenti.
Esercizio 3 I vettori sono indipendenti.
Esercizio 4 I vettori sono dipendenti e si ha, ad esempio, −v 1 − 0. 5 v 2 +v 3 = 0.
Esercizio 5 I vettori sono indipendenti.
Esercizio 6 I vettori sono dipendenti per α = 10 e, per tale valore di α, si ha v 3 = 2v 1 + 2v 2.
Quali sono le proprietà di due vettori a e b tali che: (a) a + b = c e | a |+| b |=| c | ; (b) a + b = a - b ; (c) a + b = c e a^2 +b^2 =c^2.
Il vettore a ha un modulo di 4,2 unità arbitrarie ed è diretto verso est. Il vettore b ha un modulo di 5,2 unità ed è diretto a 30° a ovest della direzione nord. Usando il metodo grafico determinare il modulo e la direzione dei vettori (a) a + b e (b) a - b.
(a)Quali sono le componenti nel piano xy di un vettore a se la sua direzione forma un angolo di 252° con l’asse delle x e il suo modulo e 6,5 unità arbitrarie? (b) La componente lungo l’asse x di un vettore è uguale a -15 unità mentre la componente lungo l’asse y è di 20 unità. Qual è il modulo del vettore e la sua direzione rispetto all’asse x?
Dati i due vettori a =5 u x+3 u y e b =-3 u x+2 u y calcolare: (a) il vettore somma; (b) il vettore differenza a - b ; (c) un vettore c tale che a - b + c =0.
Dati i vettori a =5 u x+3 u y+5 u z , b =-3 u x+3 u y e c =-2 u x+ u y+4 u z calcolare: (a) il vettore somma; (b) il vettore a -2 b -3 c.
Tre vettori a , b e c hanno lo stesso modulo di 10 unità arbitrarie. Essi sono orientati come in figura e la loro somma è r. Determinare: (a) le componenti dei tre vettori e del vettore somma lungo gli assi x e y ; (b) il modulo di r ; (c) l’angolo che r forma con l’asse delle x ; (d) i prodotti a ●^ b , a ●^ c , c ●^ b , a x b , a x r , ( b - c )x c.
(a) Calcolare s = a - b - c dove a =5 u x+4 u y-6 u z , b =- u x-4 u y+2 u z e c =2 u x+2 u y+ u z. (b) Calcolare l’angolo tra s e l’asse z. (c) Calcolare l’angolo tra a e b.
La figura mostra due vettori a e b e due sistemi di riferimento nei quali gli assi x e x’ formano tra loro un angolo . (a) calcolare le componenti dei due vettori nei due sistemi di riferimento. (b) Dimostrare analiticamente che il modulo di a + b è indipendente dal sistema di riferimento usato. ( e sono gli angoli formati rispettivamente dai vettori a e b con l’asse x.
Soluzioni
Consiglio: Cercare di risolvere gli esercizi senza guardare prima le risposte!
e una matrice 3 × 3. Utilizziamo la regola di calcolo (per induzione) di tale determinante. Dobbiamo scegliere una riga qualsiasi della matrice per poter effettuare il calcolo. Sarebbe conveniente scegliere una riga che presenta il maggior numero di zeri. In questo caso, pero, non troviamo nessuno zero all’interno della matrice A, e, dunque, possiamo scegliere, ad esempio, la prima riga. Otteniamo:det A = 2 ·
da cui:
det A = 2(− 5 − 9) − 2(− 1 − 3) + 2(−3 + 5) = −28 + 8 + 4 = − 16.
Consideriamo il determinante della seconda matrice
Questa volta possiamo considerare il calcolo partendo dalla seconda riga in cui si trova un valore pari a zero. Utilizzamo la formula induttiva:
det A = − 0 ·
da cui,
det A = 0 − 25 − 15 = − 40.
La formula induttiva utilizzata in questo esercizio differisce da quella per il calcolo del determinante della precedente matrice A. Infatti, ora i segni sono “alternati” secondo la sequenza “−, +, −”. Si ricorda che la formula induttiva si basa sui complementi algebrici degli elementi aik di una matrice. Di conseguenza, se, come in questo caso, per il calcolo del determinante si parte dall’elemento a 21 , dato che la somma 2 + 1 = 3 e dispari, il primo segno che moltiplica l’elemento a 21e il segno meno. Con lo stesso ragionamento si determinano gli altri “segni” nella formula induttiva. Per verificare se il calcolo del determinante `e esatto provate a calcolare il determinante di B utilizzando un’altra riga.
e l’ordine massimo dei minori di ordine k non tutti nulli che si possono estrarre da A, dove, un minore di ordine k di Ae il determinante di una qualsiasi sottomatrice quadrata estratta da A prendendo gli elementi comuni a k fissate righe e k fissate colonne. Pertanto, pA corrisponde alla caratteristica della matrice A se:i) dalla matrice A si pu`o estrarre almeno un minore non nullo di ordine k;
ii) tutti i minori di ordine maggiore di k che si possono estrarre da A sono nulli.
Con riferimento alla prima matrice A, quadrata 2×2, il massimo ordine delle sottomatrici (quadrate) che si possono estrarre da A e 2 (si ricorda che la matrice Ae sottomatrice di se stessa!). Si calcola, dunque, subito il determinante di A che risulta:
det A = − 9 − 9 = − 18 6 = 0.
Pertanto, abbiamo trovato un minore di ordine 2 che, in questo caso, corrisponde con la matrice stessa e che e il massimo minore estraibile da A ed il cui determinantee diverso da zero. Allora, pA = 2.
Consideriamo la matrice A′. Questa e una matrice 3 × 3. Il minore di ordine massimo estraibile da A′^e, dunque, 3 il quale, anche in questo caso, coincide con la matrice A′. Calcoliamo il determinante di A′^ per induzione e scegliamo la prima riga dato che questa presenta un valore zero:
det A′^ = 3 ·
da cui:
det A′^ = 36 − 36 = 0.
Dato che k = 3 `e il massimo ordine di una sottomatrice quadrata estraibile da A′, si evince che la caratteristica di A deve essere minore di 3. Estraiamo una sottomatrice quadrata di ordine 2 scegliendo, ad esempio, la prima e la seconda riga di A′^ e la prima e la seconda colonna di A′. Si ottiene la seguente sottomatrice:
dove:
det C = 12 + 3 = 15 6 = 0.
Abbiamo allora trovato una sottomatrice di ordine 2 il cui determinante `e diverso da zero, ossia abbiamo trovato un minore di ordine k = 2 non nullo. Pertanto, pA′ = 2.
Consideriamo la matrice A′′. Questa e una matrice rettangolare 2 × 4. Dunque, il de- terminante della matrice A′′^ NON si puo calcolare dato che il determinante e calcolabile solo per matrici quadrate. Le piu grandi sottomatrici quadrate estraibili da A′′^ sono di ordine 2, e, dunque, la caratteristica di A′′^ puo essere al massimo pari a 2, cioe pA′′^ ≤ 2. Si estragga dunque una qualsiasi sottomatrice di ordine 2, ad esempio scegliendo la prima e la seconda riga e la seconda e quarta colonna. Otteniamo:
Il valore dei determinanti delle tre matrici `e (verificate!):
per cui, l’unica soluzione del sistema `e
x =
; y = −3; z = −
Per il sistema S 2 si procede allo stesso modo dato che anche questo e un sistema quadrato n × n con n = 3. Verifichiamo la condizione del Teorema di Cramer con riferimento alla matrice dei coefficienti del sistema S 2 chee data da:
Il determinante di questa matrice, calcolato scegliendo la prima riga dove troviamo uno zero `e:
det A = ∆ = 2 6 = 0.
Vale la condizione del teorema, dunque, possiamo calcolare i determinanti delle tre matrici quadrate ottenute applicando la Regola di Cramer ed otteniamo:
L’unica soluzione del sistema `e:
x = 1; y = 0; z = 0.
Si noti che il valore dei due determinanti ∆ 2 e ∆ 3 e uguale a zero. A questo risultato si puo pervenire, ovviamente, se si calcolano i determinanti con la regola induttiva. Consid- eriamo, pero, la matrice C 2 il cui determinante di riferimentoe ∆ 2 , questa risulta:
Questa matrice presenta 2 colonne uguali. Invece che calcolare il determinante, possiamo direttamente riferirci alla regola secondo cui:
a) Il determinante di una matrice che ha due righe (o due colonne) uguali o proporzionali `e nullo.
Stessa cosa accade per ∆ 3 (verificate!).
Per calcolare gli autovalori ed autovettori della matrice A dobbiamo ricavare il poli- nomio (di secondo grado dato che A `e una matrice di ordine 2) ottenuto calcolando il determinante della seguente matrice Aλ:
Aλ =
5 − λ 4 1 2 − λ
Calcoliamo, dunque, il determinante dipendente dal parametro λ, ed otteniamo:
det Aλ = (5 − λ)(2 − λ) − 4 = λ^2 − 7 λ + 6.
Come detto, questo `e un polinomio di secondo grado in λ (o nell’incognita λ). Dobbiamo adesso trovare le radici del polinomio attraverso la formula risolutiva per i polinomi di secondo grado. Risultano 2 radici distinte (verificate!):
λ 1 = 1; λ 2 = 6.
λ 1 e λ 2 sono dunque gli autovalori associati alla matrice A. Per calcolare i corrispondenti autovettori risolviamo i due corrispondenti sistemi omogenei:
Sλ 1 :
4 x 1 + 4x 2 = 0 x 1 + x 2 = 0
e
Sλ 2 :
−x 1 + 4x 2 = 0 x 1 − 4 x 2 = 0
Consideriamo il primo sistema e, dalla seconda equazione di questo, ricaviamo: x 2 = −x 1. Allora, una (auto)-soluzione di S 1 , ossia un autovettore lo possiamo trovare assegando alla variabile x 1 il valore 1, e di conseguenza si ottiene x 2 = −1. Pertanto, una soluzione del sistema per λ 1 = 1 sara data dal vettore x = (1, −1), ossia dal vettore x di com- ponenti x 1 = 1 ed x 2 = −1. Dato che il valore assegnato ad x 1e del tutto arbitrario, un’altra soluzione la possiamo trovare assegnando ad x 1 un generico valore α ∈ R. Allora, l’autovettore (o l’insieme degli autovettori) relativo all’autovalore λ 1 = 1 `e del tipo:
(α, −α) con α ∈ R.
Con analoghi ragionamenti, consideriamo il sistema Sλ 2 e dalla seconda equazione trovi- amo x 1 = 4x 2. Questa volta, se assegnamo ad x 2 il valore (arbitrario) 1 otteniamo x 1 = 4. Pertanto, l’autovettore corrispondente all’autovalore λ 2 = 6 `e del tipo:
Questo e un sistema che ammette tante soluzioni quanti sono i valori che possono essere assegnati arbitrariamente alla variabile x 3. Per ciascuno di questi, pero, deve valere anche x 1 = −x 2 (soluzione del sistema i)), allora l’autovalore (o l’insieme degli autovalori) corrispondente all’autovettore λ 1 = λ 2 = 3 `e del tipo:
(−α, α, γ) con α, γ ∈ R e con γ arbitrario.
Ragionando allo stesso modo, consideriamo il sistema S 2. Dalla prima e seconda equazione del sistema si ha:
x 2 = 0,
per cui, considerando la terza equazione otteniamo:
− 2 x 1 + 2x 3 = 0 ovvero x 1 = x 3.
Pertanto, l’autovettore associato all’autovalore λ 3 = 1 `e del tipo:
(β, 0 , β) con β ∈ R.