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ESERCIZIO 1
Alcune ricerche mediche, che sono state pubblicate, hanno dimostrato che il fumo delle sigarette
è associato ad alcune malattie polmonari e vascolari. I produttori di sigarette vogliono valutare
se queste ricerche mediche abbiano degli effetti negativi sul consumo di sigarette. Dalle loro
indagini di mercato passate, si sa che prima della pubblicazione delle ricerche scientifiche
mediamente si fumavano 12 sigarette al giorno, con una deviazione standard (scarto quadratico
medio) di 1.6.
Per valutare l’eventuale effetto delle ricerche scientifiche sul consumo di sigarette, viene
selezionato un campione casuale di 169 fumatori, a cui viene chiesto quante sigarette fumino al
giorno, ottenendo una media campionaria di 10.6 sigarette al giorno. Supponendo che il numero
di sigarette fumate giornalmente da un fumatore sia una v.c Normale, si svolga un’appropriata
verifica d’ipotesi, ad un livello di significatività pari a 0.05.
SOLUZIONE
Si tratta di una verifica d’ipotesi unidirezionale su una media; il sistema d’ipotesi che riflette gli
obiettivi dell’indagine è:
𝐻 0 : 𝜇 = 12 versus 𝐻 1 : 𝜇 < 12
Poiché il fenomeno si assume essere Normale con varianza nota (dalle indagini passate 𝜎 = 1. 6 ),
la statistica test da utilizzare è n
X
Z
0
che si distribuisce come una v.c N(0:1).
Sulla base dei dati rilevati, il valore osservato della statistica test è 𝑧 =
6 − 12
6 /√ 169
Il livello di significatività è 𝛼 = 0. 05 per cui regione di rifiuto è:
{𝑍: 𝑍 < 𝑧𝛼}; {𝑍: 𝑍 < 𝑧 0. 05 }; {𝑍: 𝑍 < − 1. 64 }
Dato che il valore osservato della statistica test 𝑧 = − 11. 38 è nella regione di rifiuto (è inferiore
alla soglia - 1. 64 ), non si accetta l’ipotesi nulla, ritenendo verosimile che la pubblicazione delle
ricerche mediche abbia prodotto una riduzione del consumo medio giornaliero di sigarette.
Nota: anche senza l’ipotesi di normalità l’esercizio sarebbe stato svolto nello stesso modo, poiché
per via l’elevata numerosità campionaria, la statistica test Z si sarebbe comunque distribuita come
una N(0;1) (approssimativamente).
ESERCIZIO 2
Una falegnameria che produce assi di legno vuole accertarsi che in media la lunghezza delle assi
si discosti poco dal valore obiettivo di 50 cm. Si Ipotizzi che la lunghezza delle assi si distribuisca
come una v.c. Normale di media 50 cm e varianza ignota.
- Da un campione di 25 assi caratterizzato da x 49 e 9
2 s , si verifichi la conformità del
campione al valore obiettivo contro l’alternativa 50 ad un livello di significatività del
- Con gli stessi dati del punto precedente, si verifichi il seguente sistema d’ipotesi
unidirezionale
SOLUZIONE
- Si tratta di una verifica d’ipotesi bidirezionale riguardante la media di una variabile
casuale normale di varianza ignota. Il sistema d’ipotesi da saggiare è: : 50
H 0
vs
H 1 : 50 e la statista test da usare è
S n
X
T
, che si distribuisce come una v.c. T di
Student con n 1 24 gradi di libertà. Il livello del test è 0. 1. In questo caso
t e la regione di rifiuto è
2
24 ; 1 2
24 ; 1
T T t o T t T T t oT t T T o T
Dato che 1. 711 1. 667 1. 711 si accetta l’ipotesi nulla, ossia si può concludere che
la falegnameria produce assi di legno in media di lunghezza pari al valore obiettivo, in
questi casi si dice che il processo produttivo è sotto controllo.
2. Per saggiare il sistema d’ipotesi H 0 : 50 vs H 1 : 50 si utilizza sempre la stessa
statistica test ma cambia la regione di rifiuto che in questo caso è
T : T t 24 ; ; T : T t 24 ; 0. 1
Si noti che t 24 ; 0. 1 t 24 ; 0. 9 1. 3178 , perciò la regione di rifiuto è T^ : T 1. 3178 .
Poiché – 1.667 < 1.3178, in questo secondo caso, si rifiuta l’ipotesi nulla ritenendo il
processo produttivo fuori controllo.
ESERCIZIO 3
Il tempo di svolgimento di un test d’ingresso all’università è fissato pari 50 minuti. Si Ipotizzi che il
tempo impiegato per svolgere il test da un generico studente (variabile X ) si distribuisca come una
v.c. Normale di varianza ignota.
- Dato un campione di 25 studenti caratterizzati da x 45 e 4
2 s , si verifichi, ad un livello
di significatività del 5%, se la media campionaria si conforma al valore obiettivo.
- Si calcoli un intervallo di confidenza per ad un livello di confidenza del 1 90 %
SOLUZIONE
- Si tratta di una verifica d’ipotesi bidirezionale riguardante la media di una variabile casuale
normale di varianza ignota. L’ipotesi nulla è H 0 : 50 contro l’alternativa H 1 : 50 e la
statistica test da usare è S n
X
T
, che si distribuisce come una v.c. T di Student con
n 1 24 gradi di libertà. Il livello del test è 0. 05 e quindi la regione di rifiuto è:
2
24 ; 1 2
24 ; 1
T T t o T t T T t o T t T T o T
Il valore osservato della statistica test è 12. 5 2 / 5
t che è inferire alla soglia - 2.064 per
cui si rifiuta l’ipotesi nulla, ritenendo il tempo medio di svolgimento del test significativamente
diverso dalla durata di 50’.
- Per il calcolo dell’intervallo di confidenza bisogna usare la quantità S n
X
T
(si noti che
qui non compare 𝜇 0 , poiché stiamo affrontando un problema di stima e non conosciamo nulla
sul parametro media). Dato che
24 ; 0. 95 24 ; 0. 95 0.^90
2
24 ; 1 2
24 ; 1
^
n
S
X t n
S
P X t n
S
X t n
S
P X t una
stima intervallare del tempo di svolgimento medio del test è:
n
s x t ossia ( 45 0. 6844 ; 45 0. 6844 )( 44. 3156 ; 45. 6844 ).
: ; : 0. 95 0. 95 ; : 1. 64 1. 64
2
1 2
1
Z Z z o Z z Z Z z o Z z Z Z o Z
Dato che il valore osservato della statistica test z =1.9 è nella regione di rifiuto (supera la
soglia 1.64), non si accetta l’ipotesi nulla, ritenendo verosimile che il voto medio di maturità
sia diverso dagli scorsi anni.
- Si tratta di una verifica d’ipotesi unidirezionale; il sistema d’ipotesi da saggiare è:
H 0 : 73 vs H 1 : 73.
Rispetto al caso precedente, cambia solo la regione di rifiuto che riflette l’ipotesi alternativa.
La nuova regione di rifiuto è:
{𝑍: 𝑍 ≥ 𝑧 1 −𝛼}; {𝑍: 𝑍 ≥ 𝑧 0. 9 }; {𝑍: 𝑍 ≥ 1. 29 }
Dato che il valore osservato della statistica test z =1.9 è nella regione di rifiuto (supera la
soglia 1.29), non si accetta l’ipotesi nulla, ritenendo verosimile che il voto medio di maturità
sia aumentato.
