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ESPONENZIALI E LOGARITMI
Lezione completa con teoria, proprieta', grafici ed esercizi svolti
Matematica - Scuola Secondaria di Secondo Grado
PARTE 1 - RICHIAMI SULLE POTENZE
Prima di studiare le funzioni esponenziali e logaritmiche, e' fondamentale avere ben chiari i concetti di potenza e le sue proprieta'. 1.1 Definizione di Potenza La potenza a^n e' il prodotto di n fattori uguali ad a :
a^n = a x a x a x ... x a (n volte)
Dove:
- a si chiama BASE
- n si chiama ESPONENTE
- a^n si chiama POTENZA 1.2 Proprieta' delle Potenze Proprieta' Formula Prodotto stessa base a^m x a^n = a^(m+n) Quoziente stessa base a^m / a^n = a^(m-n) Potenza di potenza (a^m)^n = a^(mn) Potenza di prodotto (ab)^n = a^n * b^n Potenza di quoziente (a/b)^n = a^n / b^n Esponente zero a^0 = 1^ (con a diverso da 0) Esponente negativo a^(-n) = 1 / a^n Esponente frazionario a^(1/n) = n-esima radice di a
PARTE 2 - LA FUNZIONE ESPONENZIALE 2.1 Definizione DEFINIZIONE La funzione esponenziale e' definita come:
f(x) = a^x
dove a > 0 e a ≠ 1 e' la base, mentre x e' l'esponente variabile. 2.2 Dominio e Codominio Dominio x appartiene a R (tutti i numeri reali) Codominio y > 0 (tutti i reali positivi) Punto fisso Per ogni base a, f(0) = a^0 = 1 Segno f(x) = a^x e' sempre POSITIVA 2.3 Grafici della Funzione Esponenziale I grafici seguenti mostrano il comportamento della funzione esponenziale al variare della base: Fig. 1 - Funzione esponenziale crescente (a > 1) e decrescente (0 < a < 1)
Caratteristiche principali dal grafico:
- Tutti i grafici passano per il punto (0, 1) indipendentemente dalla base
- La funzione e' sempre positiva: il grafico non tocca mai l'asse x
- Per a > 1: la curva cresce rapidamente verso destra e si avvicina a 0 da sinistra
- Per 0 < a < 1: la curva decresce verso destra e cresce verso sinistra
PARTE 3 - I LOGARITMI 3.1 Definizione di Logaritmo DEFINIZIONE Il logaritmo in base a di b e' quell'esponente a cui bisogna elevare a per ottenere b:
log_a(b) = x <=> a^x = b
Condizioni: a > 0, a ≠ 1, b > 0 3.2 Esponenziale e Logaritmo: Funzioni Inverse La funzione logaritmica e' la funzione INVERSA dell'esponenziale. I loro grafici sono simmetrici rispetto alla retta y = x: Fig. 2 - Simmetria tra f(x) = 2 ˣ e f(x) = log (x) rispetto alla retta y = x ₂
Cosa osservare dal grafico:
- Il punto (0,1) di 2^x corrisponde al punto (1,0) di log (x) (coordinate scambiate)₂
- L'asse x (y=0) e' asintoto orizzontale per 2^x, l'asse y (x=0) e' asintoto verticale per log (x)₂ Logaritmi in base e (o naturali o neperiani) e logaritmi in base 10. Poiché per calcolare il logaritmo di un numero reale è necessario conoscere anche la
base, che è a sua volta un numero reale come specificato nella definizione, abbiamo il problema di trattare con infinite basi. Di queste infinite basi, due sono quelle più usate: e (numero di nepero) e 10. la base 10 non ha bisogno di commenti, mentre va spiegato il numero e. Il numero di nepero e è un numero irrazionale trascendente (ovvero non ottenibile come soluzione di una equazione algebrica a coefficienti interi) che vale circa 2,718...(ha infinite cifre decimali non periodiche). In pratica è della stessa natura di π. I numeri irrazionali trascendenti si differenziano da quelli algebrici (come ad esempio 2 ) che invece possono essere ottenuti come soluzioni da una equazione algebrica a coefficienti interi ( 2 si può ottenere ad esempio dall’equazione x 2=2). La trascendenza di e fu dimostrata nel 1873 dal matematico francese Charles Hermite(mentre quella di π nel 1882 da Lindemann). Il logaritmo in base e ha una scrittura semplificata: non si scrive la base e al posto di log si scrive ln (ad esempio ln 5). Anche il logaritmo in base 10 ha una scrittura semplificata: non si scrive la base (ad esempio log 7). Questa è la convenzione più utilizzata, anche se alcuni testi riportano convenzioni leggermente diverse. In tutti gli altri casi la base va specificata 3.3 Grafici della Funzione Logaritmica I grafici seguenti mostrano il comportamento della funzione logaritmica al variare della base: Fig. 3 - Funzione logaritmica crescente (a > 1) e decrescente (0 < a < 1)
Caratteristiche principali dal grafico:
- Tutti i grafici passano per il punto (1, 0): log_a(1) = 0 per ogni base a
- Il dominio e' solo x > 0 (la funzione non esiste per x <= 0)
- L'asse y (x = 0) e' un asintoto verticale
e g(x)>0)
log_a(f(x)) = k <=> f(x) = a^k
!! ATTENZIONE
Il logaritmo e' definito SOLO per argomenti POSITIVI! Nelle equazioni logaritmiche bisogna SEMPRE verificare le CONDIZIONI DI ESISTENZA (C.E.). ESEMPIO: Equazione semplice
log_2(x) = 3 => x = 2^3 = 8
C.E.: x > 0 => 8 > 0 VERIFICATA ESEMPIO: Due logaritmi
log_3(2x+1) = log_3(x+4)
2x + 1 = x + 4 => x = 3
C.E.: 2x+1>0 e x+4>0 => x > -1/2. x=3 VERIFICATA ESEMPIO: Uso delle proprieta'
log(7x-41) - log 8 = log(2x-7) - log x
log((7x-41)/8) = log((2x-7)/x)
7x^2 - 57x + 56 = 0 => x = 7 o x = 8/
C.E.: x > 41/7 ≈ 5.86 => solo x = 7 e' accettabile ESEMPIO: Cambio di base
log_3(x) - 3*log_9(x) + 2 = 0
Converto: log_9(x) = log_3(x) / 2. Pongo t = log_3(x):
t - 3t/2 + 2 = 0 => t = 4 => x = 3^4 = 81
PARTE 4 - RIEPILOGO E SCHEMI PRATICI 4.1 Schema per Equazioni Esponenziali PASSO 1: Riscrivi tutti i termini con la stessa base PASSO 2: Uguaglia gli esponenti PASSO 3: Se non possibile, usa il cambio di variabile t = a^x PASSO 4: Ricorda: t = a^x > 0 sempre (scarta soluzioni non positive) 4.2 Schema per Equazioni Logaritmiche PASSO 1: Scrivi le Condizioni di Esistenza (C.E.) PASSO 2: Usa le proprieta' per semplificare PASSO 3: Se log_a(f) = log_a(g), poni f = g PASSO 4: Se log_a(f) = k, poni f = a^k PASSO 5: Risolvi e verifica le C.E. 4.3 Basi Comuni e Trucchi Proprieta' Formula 4 = 2^2, 8 = 2^3 Riconduci a base 2 9 = 3^2, 27 = 3^3, 81 = 3^4 Riconduci a base 3 1/a^n = a^(-n) Esponenti negativi log_9(x) = log_3(x) / 2 Cambio di base con 9 -> 3 log_27(x) = log_3(x) / 3 Cambio di base con 27 -> 3 a^(log_a(b)) = b Funzioni inverse !! ATTENZIONE
- log_a(M + N) ≠ log_a(M) + log_a(N) (il log di una SOMMA non si semplifica!)
- (log_a(M))^2 ≠ 2*log_a(M) (la potenza e' del log, non dell'argomento)
- Dimenticare le C.E. prima di risolvere
- Accettare t < 0 nel cambio di variabile t = a^x SE SI STA EFFETTUANDO UNA DISEQUAZIONE QUALORA 0 < a < 1 BISOGNA INVERTIRE IL VERSO QUANDO SI EGUAGLIANO GLI ESPONENTI/ARGOMENTI.
