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Appunti di matematica sugli esponenziali, funzione esponenziale, equazioni e disequazioni esponenziali, logaritmi, funzione logaritmica, equazioni e disequazioni logaritmiche.
Tipologia: Appunti
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ax^ esiste se: x > 0 ∀ a x = 0 a ≠ 0 x < 0 a ≠ 0
x
y
x+y
x
y
x-y
x
y
xxy
x
x
x
x
x
x All’aumentare di X, la potenza ax: o aumenta di a> o diminuisce se 0<a<
Si chiama FUNZIONE ESPONENZIALE ogni funzione che:
x
dove: il DOMINIO è R il CODOMINIO è R+ la funzione è BIUNIVOCA il grafico interseca sempre Y in (0;1) -se a > 1 la funzione è CRESCENTE e si avvicina sempre di più a zero con esponenti negativi decrescenti; -se 0<a< la funzione è DECRESCENTE e si avvicina a zero con esponenti positivi crescenti;
x
Dati due numeri reali positivi a e b, con a ≠ 1, chiamiamo LOGARITMO IN BASE a di b l’esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b. Il numero b viene detto ARGOMENTO del logaritmo.
0
1
logab
Anche se due numeri sono uguali, anche i loro logaritmi lo saranno: x = y log a x =log a y Per questo, vale il seguente TEOREMA: All’aumentare dell’argomento b (reale positivo), il logaritmo loga b: -aumenta, se a>1; -diminuisce, se 0<a<
Le proprietà fondamentali dei logaritmi sono tre, valide qualunque sia la base, purché positiva e diversa da 1, e si deducono dalle proprietà delle potenze:
Il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei due
Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisiore: log (^) a b c
Il logaritmo della potenza di un numero positivo elevato a un esponente reale è uguale al prodotto di quell’esponente per il logaritmo del numero positivo:
log a b n = n log a b
Come calcolare i logaritmi usando le calcolatrici:
Le calcolatrici sono usate per calcolare i logaritmi in due basi: 10 e la base e=2,71828, cioè il NUMERO DI NEPERO. Per scrivere logab mediante logaritmi in base c>0 si utilizza la seguente proprietà:
Possiamo anche scrivere la formula del cambiamento di base così:
Una funzione logaritmica è del tipo:
Poiché l’argomento del logaritmo deve essere positivo, il dominio della funzione è R+. I grafici delle due funzioni sono simmetrici rispetto alle bisettrice del primo e terzo quadrante: Concludiamo quindi che y= logax, sia per a>1 sia per 0<a<1: Ha dominio R+^ e codominio R, È una funzione biunivoca, sempre crescente se a>1, sempre decrescente se 0<a<1, Il grafico interseca l’asse x in (1;0)
