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MATEMATICA GENERALE E FINANZIARIA
a.a. 20 24 - 25
Corso di laurea in Economia Aziendale e Management
Università di Modena e Reggio Emilia
Fascicolo n. 2
Funzioni di una variabile reale
- Intervalli di numeri reali. Intorni
- Funzioni
- Funzioni reali di una variabile reale, dominio, monotonia, grafico
- Le funzioni elementari
- Applicazioni
➢ Funzione costo, funzione ricavo, funzione profitto, punto di equilibrio
➢ Applicazioni varie
- Limite di una funzione
- Funzioni continue
- Limiti
- Calcolo dei limiti
- Asintoti
Prof.ssa Carla Fiori
Prof. Carlo Alberto Magni
Università di Modena e Reggio Emilia
Funzioni a una variabile reale
Docente: Carla Fiori
Revisione, integrazioni ed editing: Carlo Alberto Magni
1. Funzioni a una variabile (1) – Introduzione e nozioni di base
0:00:00 Intro
0:00:16 Introduzione alle funzioni di una variabile 0:06:20 Intervalli e intorni
0:28:27 Estremo superiore e massimo di un insieme 0:33:01 Estremo inferiore e minimo di un insieme
0:34:11 Esempi
0:40:03 Definizione di funzione reale a variabile reale 0:53:10 Funzione definita a tratti
1:03:17 Funzione identità 1:05:45 Funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva (o biunivoca)
1:14:47 Funzione inversa
1:26:24 Condizioni di esistenza della funzione (cenni) 1:29:02 Outro
2. Funzioni a una variabile (2) – Dominio, operazioni tra funzioni, monotonia, grafico et al.
0:00:00 Intro 0:00:16 Dominio (condizioni di esistenza della funziona)
0:18:10 Operazioni tra funzioni (somma, sottrazione, composizione)
0:40:25 Grafico di una funzione 0:47:18 Funzioni monotone
0:58:24 Funzioni limitate: intuizione grafica 1:04:10 Funzioni limitate: definizione
1:04:53 Rapporto incrementale (tasso medio di variazione)
1:16:47 Outro
3. Funzioni a una variabile (3) – Funzioni elementari (a)
0:00:00 Intro
0:00:16 Funzioni elementari 0:01:27 Funzione valore assoluto
0:11:42 Funzione lineare affine
0:38:28 Applicazione (zoologia) 0:46:09 Applicazione (economia)
0:52:43 Funzione quadratica 1:09:26 Funzione potenza
1:13:33 Outro
1:03:41 Esercizio 4 1:15:06 Outro
9. Funzioni a una variabile (9) – Asintoti (esercizi)
0:00:00 Intro 0:00:16 Esercizio 1
0:20:53 Esercizio 2
0:30:12 Esercizio 3 0:45:09 Esercizio 4
0:52:08 Esercizio 5 1:01:37 Esercizio 6
1:06:07 Outro
Il LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI
Se 𝑎 è un elemento dell’insieme 𝐴 diremo che “ a appartiene ad A ” e scriveremo 𝒂 ∈ 𝑨. Per
negare l’appartenenza scriveremo 𝒂 ∉ 𝑨.
Dato un insieme 𝐴, si definisce sottoinsieme di 𝐴 un qualunque insieme 𝐵 tale che ogni
elemento di 𝐵 risulti anche elemento di 𝐴. In tal caso si scrive 𝐵 ⊆ 𝐴 oppure 𝐵 ⊂ 𝐴 a
seconda che 𝐵 possa o meno coincidere con 𝐴.
Tra i sottoinsiemi di un dato insieme vi è sempre l’ insieme vuoto , cioè l’insieme privo di
elementi, esso si indica con ∅.
Gli insiemi numerici e i simboli che li rappresentano
- Numeri naturali : ℕ = { 0,1,2, …, n, … }
NOTA - In questa trattazione lo zero appartiene all’insieme dei numeri naturali.
- Numeri interi : ℤ = { …, - 2, - 1, 0, 1, 2, … }
- Numeri razionali : ℚ = { q
p : p, q ℤ, q 0 }
è l’insieme dei numeri che si possono esprimere come frazione.
questo insieme è costituito dai numeri razionali e irrazionali (sono numeri decimali
illimitati aperiodici come per esempio 2 = 1,414213562… e = 3,141593… )
- Numeri complessi : ℂ = { z = a + ib : a, b ℝ }
dove i = (^) − 1 indica l’unità immaginaria. Si dice che a è la parte reale e b è il
coefficiente della parte immaginaria del numero complesso z.
Per indicare che in un insieme numerico si esclude lo zero, si scriverà un “” in alto a
destra, per esempio ℝ = ℝ{0}.
Per indicare che di un insieme numerico si considerano solo i numeri positivi scriveremo
“+” in alto a destra; per indicare che in un insieme si considera anche lo zero, metteremo
0 in basso a destra; analogamente per i numeri negativi. Avremo per
ℝ
numeri reali positivi
ℚ 0 − numeri razionali negativi compreso lo zero.
➢ Si dice che (a, b) è un intorno di 𝒙𝟎 se 𝑥 0 (a, b).
- L’intervallo [𝑥 0 , b) è detto intorno destro di 𝑥 0.
- L’intervallo (a, 𝑥 0 ] è detto intorno sinistro di 𝑥 0.
- L’intervallo (𝑥 0 - r, 𝑥 0 + r) è detto intorno di centro 𝑥 0 e di raggio r. Si usa indicarlo con
la notazione 𝐼𝑟(𝑥 0 ) oppure 𝐼(𝑥 0 , 𝑟).
➢ Gli intervalli (a, + ) e [a, + ) sono detti intorni di +. Gli intervalli (− , b) e (− , b]
sono detti intorni di −.
➢ Il punto 𝑥 0 ∈ 𝐴 è detto punto interno ad A se esiste r tale che 𝐼(𝑥 0 , 𝑟) ⊂ 𝐴 , ossia se
esiste un intorno di x 0 tutto contenuto in A.
➢ Il punto 𝑥 0 è detto punto esterno ad A se esiste r tale che 𝐼(𝑥 0 , 𝑟)^ ⊂ 𝐴
𝐶 , ossia se
esiste un intorno di 𝑥 0 tutto contenuto nel complementare di 𝐴.
➢ Il punto 𝑥 0 ∈ ℝ è detto punto di frontiera per 𝐴 se, per ogni 𝑟, l’intorno 𝐼(𝑥 0 , 𝑟)^ contiene
sia punti di 𝐴 sia punti del suo complementare 𝐴 𝐶 .
➢ Un insieme A si dice aperto se tutti i suoi elementi sono interni ad 𝐴. Un insieme si dice
chiuso se contiene i suoi punti di frontiera. Un insieme è chiuso se il suo
complementare è aperto.
Un insieme 𝐴 non è né aperto né chiuso se i suoi elementi non sono tutti interni e non
contiene tutti i suoi punti di frontiera
Esempio. L’intervallo (a,b) è un insieme aperto, perché tutti i suoi punti sono interni;
l’insieme [a,b] è chiuso perché il suo complementare è ( −, a )( b ,+), i cui elementi
sono tutti interni e quindi è aperto.
Esempio. L’intervallo (3,4] aperto a sinistra e chiuso a destra rappresenta un insieme né aperto
né chiuso (3 è punto di frontiera ma non è contenuto nell’intervallo quindi l’insieme non è
chiuso. Inoltre, 4 è contenuto in A ma non è un punto interno quindi l’insieme non è aperto).
➢ Si dice che L è un maggiorante (risp. minorante ) di A se 𝐿 ≥ 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝐴
(risp. 𝐿 ≤ 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝐴).
Esempio. Sono maggioranti dell’insieme [2,9] i numeri 34, 57, 2569. Sono suoi minoranti
i numeri 0, −49, −2398.
➢ Un insieme si dice superiormente (risp. inferiormente ) limitato se ammette
maggioranti (risp. minoranti ). Un insieme si dice limitato se è sia superiormente sia
inferiormente limitato.
Esempio. L’insieme [2,9] è limitato, l’insieme [4, +∞) è inferiormente limitato e
superiormente illimitato.
➢ Sia 𝐴 ⊂ ℝ. Si dice che M è il massimo di A se
(i) 𝑀 ≥ 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝐴
(ii) 𝑀 ∈ 𝐴
➢ Sia 𝐴 ⊂ ℝ. Si dice che m è il minimo di A se
(i) 𝑚 ≤ 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝐴
(ii) 𝑚 ∈ 𝐴
Esempio. L’insieme 𝐴 = [2,9] ha come minimo m = 2 e M = 9 come massimo, perché
(i) 2 ≤ 𝑎 ∀𝑎 ∈ [ 2 , 9 ]
(ii) 2 ∈ [ 2 , 9 ]
e
(i) 9 ≥ 𝑎 ∀𝑎 ∈ [ 2 , 9 ]
(ii) 9 ∈ [ 2 , 9 ]
L’insieme 𝐴 = [− 3 , 4 ] ∪ { 6 } ha 𝑚 = − 3 come minimo e 𝑀 = 6 come massimo
Esempio. L’insieme 𝐴 = ( 2 , 9 ) non ha massimo né minimo: infatti il numero 2 e il
numero 9 non appartengono all’insieme 𝐴. Essi sono detti estremo inferiore e estremo
superiore dell’insieme A.
FUNZIONI
✓ Il costo totale di una merce dipende dalla quantità di merce acquistata.
✓ L’area di un quadrato dipende dalla lunghezza del suo lato.
✓ L’imposta sul reddito dipende dal reddito imponibile.
✓ Il valore di un investimento dipende dalla durata dell’investimento e dal tasso di
rendimento.
Nei primi tre esempi sono presenti due grandezze variabili: una indipendente e l’altra
dipendente da questa, ossia il valore della seconda è determinato non appena è noto il
valore della prima.
Variabile indipendente (generalmente indicata con x)
Variabile dipendente (generalmente indicata con y)
Si dice che y è funzione di x.
DEFINIZIONE. Dati due insiemi non vuoti A e B si dice funzione di A in B una legge
che ad ogni x A associa uno ed un solo elemento y B.
Scriveremo 𝑓 : A → B oppure 𝑦 = 𝑓(𝑥).
- 𝑓(𝑥) indica l’elemento di B immagine di x tramite f.
- 𝑥 è detto la controimmagine di 𝒇(𝒙), e si scrive 𝑥 = 𝑓
− 1 (𝑦).
- L’insieme A è detto dominio della funzione.
- L’insieme B è detto codominio della funzione.
- Il simbolo f(A) denota l’ insieme delle immagini di f (o immagine di A);
ATTENZIONE.
Non basta una “legge” per definire una funzione, occorre anche assegnare il dominio e il
codominio. La stessa “legge” può definire oppure no una funzione a seconda del dominio
e/o codominio in cui è considerata. Ad esempio:
f : ℕ → ℝ , f(x)= - x 2 è una funzione
f : ℕ → ℕ , f(x)= - x 2 non è una funzione
f : ℕ → ℝ , f(x)= x è una funzione
f : ℝ → ℝ , f(x)= (^) x non è una funzione
Altri esempi di funzione :
➢ f : ℕ → ℝ , f(x)= 2x + 1
➢ f : ℝ → ℝ ,
se x
x se x
sex
f(x)
NOTA - Nella definizione di funzione non è richiesto che rimanga invariata la legge con
cui 𝑓 associa ad ogni elemento del dominio la sua immagine; quello che occorre è che ad
ogni elemento del dominio corrisponda uno ed un solo elemento del codominio.
Esercizio.
Si consideri la funzione 𝑓(𝑥) =
1
𝑥− 2
definita in ℝ − { 2 }^. Si calcolino:
f( 0 ) ; f(k + 1 ) ; f(− 1 ) ; [f(x)] 2 ; f(x 2 ) ; f(x) + 4 ; f(x + 4 ).
Soluzione Sostituendo ad x il valore indicato si ottiene:
f( 0 ) = −
; f(k + 1 ) =
; f(− 1 ) = −
; [f(x)] 2 = (
x − 2
2
=
x^2 − 4x + 4
f(x 2 ) =
x 2 − 2
; f(x) + 4 =
x − 2
4x − 7
x − 2
; f(x + 4 ) =
(x + 4 ) − 2
x + 2
DEFINIZIONE. Una funzione f : A → A si chiama funzione identità se ad ogni
elemento di A associa l’elemento stesso, ossia f(x) = x.
Di norma si indica con IdA.
DEFINIZIONE. Una funzione f : A → B si dice
- suriettiva quando f(A) = B (fig. 1.1)
- iniettiva quando da x 1 x 2 segue f(x 1 ) f(x 2 ) (fig. 1.2)
- biiettiva (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva (fig. 1.3)
A B
A
B A^ B
fig. 1.1 fig. 1.2^ fig. 1.
FUNZIONI REALI di una variabile reale
Sono le funzioni 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 tali che A e B sono sottoinsiemi di numeri reali: A,B⊆ ℝ; esse
sono alla base dei modelli matematici presenti in ogni campo della scienza.
DEFINIZIONE. Siano 𝐴 e 𝐵 due sottoinsiemi non vuoti di ℝ. Una funzione
𝑓 : 𝐴 → 𝐵 è detta funzione reale di variabile reale (o funzione di
variabile reale a valori reali ).
A è detto dominio di 𝑓, B è detto codominio di 𝑓. Si ha 𝑓(𝐴)^ ⊆ 𝐵.
Esempi
➢ f : [0,1] → ℝ f(x) = x^2 – 3
➢ f : ℝ → ℝ 0
f(x) = x^2
➢ f: ℝ
→ ℝ f(x)=1/x
Talvolta una funzione reale f viene data senza specificare il dominio; in tal caso, si
sottintende che è l’insieme dei valori della variabile indipendente x per i quali hanno
significato le operazioni che si devono eseguire su di essa per avere il valore
corrispondente f(x). In altre parole, è il più ampio sottoinsieme di ℝ per ogni elemento
del quale è possibile determinare la corrispondente immagine nel codominio.
Per esempio, se viene indicata solo la legge f(x)=1/x , si considera come dominio l’insieme ℝ
- { 0 }. Se viene indicata solo la legge f : x → (^) x si considera come dominio l’insieme
ℝ 0
= [0, +).
Il dominio viene anche denominato campo di esistenza o insieme di definizione della
funzione. Utilizzeremo queste espressioni come sinonimi.
Per determinare il campo di esistenza di una funzione occorre tener presente che nella sua
espressione analitica:
I denominatori devono essere 0.
Se figura √𝑏
𝑛 , n pari, deve essere 𝑏 0.
Se figura log𝑎 𝑏 , deve essere 𝑏 0.
Se figura 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) occorre porre 𝑓(𝑥) > 0.
Se la funzione presenta più situazioni fra quelle sopra indicate, per determinare il dominio
o campo di esistenza ( Dom ) dovranno essere richieste contemporaneamente tutte le
condizioni elencate sopra.
OSSERVAZIONE. Occorre fare attenzione che quando si studia un problema concreto, il
dominio della funzione che lo rappresenta va considerato unitamente alla natura della
variabile indipendente, ossia si deve considerare il dominio appropriato. Ad esempio, se in
𝑓(𝑥) = 3 𝑥 − 2 e la variabile 𝑥 rappresenta operai, il dominio deve essere un sottoinsieme di
ℕ (non può esistere mezzo operaio!) anche se la legge 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 − 2 ha significato su tutto
ℝ (ossia, quale che sia l’input 𝑥 ∈ ℝ, l’output 3 𝑥 − 2 è un numero reale). Oppure, se nella
funzione 𝑓(𝑥)^ = 1. 2
𝑥 la variabile 𝑥 rappresenta il tempo, allora il dominio deve essere un
sottoinsieme di ℝ 0
(non esistono valori negativi per il tempo). O, ancora, se 𝑓(𝑥)
rappresenta i ricavi, allora il dominio deve essere un sottoinsieme di quei valori di 𝑥 per i
quali 𝑓(𝑥) ≥ 0 (i ricavi non possono essere negativi).
Esempio.
2
x
x
f x
Per la ricerca del campo di esistenza si deve porre
2
Domf x
x
x
x .
Esempio. Per determinare il campo di esistenza della funzione
( ) ln −
x
x f x
si deve porre^0 4
x
x
e x 4 , e pertanto
x
x
x
oppure
x
x
x
x
x
x
x
oppure 1
x
x
x
x
Dom f =( −, − 1 )( 4 ,+)
4. Determinare il campo di esistenza della funzione
2
x x
x f x^.
Soluzione La funzione esiste purché sia 𝑥
2
- 3x − 4 ≠ 0 , cioè x − 4 e x 1. Il
campo di esistenza della funzione è pertanto:
Dom f = ℝ \ {− 4 ; 1 } = (−;−4)(−4;1)(1 ; +).
5. Determinare il campo di esistenza della funzione
x
x f x. .
Soluzione. Le condizioni da imporre si esplicitano nel seguente sistema:
x
x
x
cioè
x 1
x 1 , x 2 da cui x < − 1 oppure x 2.
Il dominio della funzione è Dom f = (^) (− ,− 1 ) 2 , +).
6. Si consideri la funzione
𝑓(𝑥) = log(𝑥
4 − 𝑥
2
Soluzione La condizione di esistenza è 𝑥
4 − 𝑥
2
Ponendo 𝑥 2 = 𝑡 , la disequazione da risolvere diventa 𝑡 2 − 𝑡 + 1 > 0 che è sempre
verificata per ogni 𝑡 ∈ ℝ , dunque anche per 𝑡 ≥ 0 e quindi per ogni 𝑥 ∈ ℝ.
Il dominio della funzione è Dom f = ℝ.
7. Determinare il dominio della funzione
log( 1 )
x
x f x.
Soluzione Occorre risolvere il seguente sistema:
√𝑥^ −^1 >^0
log(√𝑥 − 1 ) ≠ 0
e quindi 𝑥 deve appartenere a 2 , 4 ) ( 4 ,+ ).
Il campo di esistenza della funzione è Dom f = 2 , 4 ) ( 4 ,+ ).
8. Determinare l’insieme di definizione della funzione
3 (𝑥− 7 )
𝑥 √ 2 x^2 −3x+ 1
Soluzione
2 − 3 𝑥 + 1 > 0
1
2
il dominio della funzione è Dom 𝑓 = (− ∞ , 0 )^ ∪ ( 0 ,
1
2
9. Determinare il dominio della funzione
𝑥^2 − 1 .
Soluzione 3 𝑥 > 0 la funzione è definita in Dom 𝑓 = ( 0 ,+ ).
10. Determinare il dominio della funzione
√𝑥^2 − 1 .
Soluzione
2 − 1 ≥ 0
𝑥 ∈ (− ∞ , − 1 ]^ ∪ [ 1 , + ∞ )
il campo di esistenza della funzione è Dom 𝑓 = (^) 1 ,+ ).
Esercizi da svolgere
1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni :
a) 1
2 −
x
f x b) 3 1
x
f x
c)
2 f ( x)= 3 −x d)
2
−
x
fx e
e) f( x)= ln( 2 + x− 2 ) f)
ln( 4 )
x
f x
g)
2
x x
x
f x h)
ln( 10 )
2
x
x x f x
i) 4
( ) ln −
x
x f x l) f (x)= 2 x− 3 − 2 −x
Operazioni con le funzioni. Funzioni composte.
- Somma (addizione e sottrazione)
Date le funzioni f : A → ℝ e g : A → ℝ, A ℝ , si definisce la funzione somma
(f g) : A → ℝ , A ℝ , ponendo, per ogni x A ,
( f g)(x) = f(x) g(x)
Esempio. Siano f, g : ℝ → ℝ , con f(x) = 2x + 1 e g(x) = x 2 ; allora risulta
(f – g)(x) = 2x+ 1 – x^2.
- Moltiplicazione per uno scalare
Dati f : A → ℝ, A ℝ, ℝ si definisce la funzione f : A → ℝ, A ℝ,
ponendo per ogni x A
( f )(x) = f(x)
Esempio. Siano f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1, e = 7; allora risulta 7 f : ℝ → ℝ, 7f(x)
= 7 (2x + 1).
Siano 𝑓 : A → B e 𝑔 : B → C due funzioni. Allora, si può considerare la
funzione 𝑔 𝑓 : A → C definita, per ogni 𝑥 A , da
( g f )( x ) = g ( f ( x ))^.
La funzione 𝑔 𝑓 si dice funzione composta di 𝑓 e 𝑔 (tale scrittura prevede che
prima si applica la f e poi la g). Il suo dominio è il più ampio sottoinsieme di 𝐴 per
il quale l’espressione analitica di 𝑔 ∘ 𝑓 assume valori reali.
Il simbolo 𝑔 𝑓 si legge “𝑔 dopo 𝑓” o “𝑔 composto 𝑓”.
Esempi
1. Siano f : ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 ; g : ℝ → ℝ , 𝑔(𝑥) = 2 𝑥. Allora risulta
2. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 3 ) è la composizione di 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 e di ℎ(𝑥) = ln 𝑥 ; infatti
( ℎ ∘ 𝑔)(𝑥) = ℎ (𝑔(𝑥)) = ℎ (𝑥 + 3 ) = ln( 𝑥 + 3 ).
2
- 1 è la funzione composta da 𝑔(𝑥) = 𝑥
2
- 1 e da ℎ (𝑥) = √𝑥 , infatti
2
OSSERVAZIONI
➢ L’esistenza di 𝑔 𝑓 non implica l’esistenza di f g.
➢ L’operazione di composizione non è commutativa, ossia anche nel caso esista sia g
f che f g , generalmente risulta g f f g.
Esempio. Siano f , g : ℝ → ℝ definite da 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝑥
2
, risulta
4
4 1 2 2
; ( )( ) ( ( )) 2
( 1 ) ( )( ) ( ( )) ( 1 )
2 2 2 2 + + =
=
= =
= = + =
x x x f g x f gx f
x g f x g f x g x
dunque, g f f g.
➢ Attenzione a non confondere f 2 (x) con [f(x)] 2 .
Esempio: se f : ℝ−{0} → ℝ , 𝑓(𝑥) = 1 /𝑥 risulta f^2 (x) = (f f)(x) = f(f(x)) = x , mentre
[f(x)]^2 = (1/x)^2.
➢ Se f è biiettiva, la sua funzione inversa 𝑓
− 1 è la funzione tale che
− 1 = 𝑓
− 1
𝑓 = 𝐼𝑑. (funzione identità).
Esempio. Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5 , 𝑓 − 1 (𝑥) = 𝑥 + 5 e si ha
f f x = f f x = f x − = x − + = x
− − −
1 1 1
f f x = f f x = f x + = x + − = x
− −
1 1
