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CALCOLO DELLE PROBABILITA’-TEORIA
CALCOLO COMBINATORIO
Il calcolo combinatorio studia i metodi per contare i modi in cui possono avvenire i fenomeni.
PERMUTAZIONI
Categoria di tutte le possibili sequenze in cui posso disporre N oggetti
Permutazione semplice
Formula (senza ripetizione):
N! = N (N - 1) · ... · 1
ESEMPIO:
In quanti modi posso ordinare le lettere A, B, C, D:
Permutazione con ripetizione
Formula:
(coefficiente multinomiale)
N
1
, N
2
, … , N
K
sono gli oggetti che si ripetono
ESEMPIO:
Anagrammi della parola ANNA:
DISPOSIZIONI
Possibili sequenze di lunghezza K estraendo da N oggetti.
Disposizioni semplici
Formula (senza reinmissione):
ESEMPIO:
Formare parole di 3 lettere da A, B, C, D, E senza ripetere le lettere:
Disposizioni con reimmissione
Formula:
′
𝐾
ESEMPIO:
Formare parole di 3 lettere (anche uguali) da A, B, C, D, E:
3
COMBINAZIONI
Tutti i possibili gruppi di K oggetti che si possono estrarre da N oggetti differenti.
Formula:
ESEMPIO:
Formare gruppi di 3 persone da 6:
APPROCCIO FREQUENTISTA
Secondo l'approccio frequentista, la probabilità di un evento A è definita come il limite della frequenza relativa con cui si
verifica l'evento A quando il numero di prove tende all'infinito:
𝑃(𝐴) = lim
𝑛→∞
Problemi:
- Non sempre il limite esiste
- Alcuni eventi non sono ripetibili con frequenza
- Anche se gli eventi possono essere ripetuti, le condizioni potrebbero non essere identiche
APPROCCIO SOGGETTIVISTA
Secondo questo approccio, la probabilità è il grado di fiducia riposto da un soggetto nel verificarsi di un evento.
Problemi:
- Il grado di fiducia cambia da soggetto a soggetto
- Non si presta ad una formulazione matematica
APPROCCIO ASSIOMATICO
L'approccio assiomatico definisce la probabilità come una funzione P(A) che assegna un numero reale ad ogni evento.
Assiomi:
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 per ogni evento A
- P(S) = 1
- Per ogni successione di eventi A 1
, A
2
, ..., A
n
con A i
∩ A
j
= ∅ (i ≠ j)
∞
𝑖= 1
∞
𝑖= 1
VARIABILI ALEATORIE DISCRETE:
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE
Data una qualunque variabile X si definisce funzione di ripartizione una funzione tale che:
[
]
𝑖
𝑖
Ovvero la probabilità che la variabile aleatoria X assuma un valore minore o uguale a x
PROPRIETA’:
1
2
1
2
𝑥→−∞
𝐹(𝑥) = 0 e lim
𝑥→+∞
) = lim
ℎ→ 0
FUNZIONE DI PROBABILITA’
Per una variabile casuale discreta X la funzione di probabilità P(X=x) assegna a ciascun valore di x della variabile la
probabilità che X assuma quel valore
[
]
𝑖
𝑖
𝑥:𝑝(𝑥 𝑖
𝑖
)> 0 ,𝑥
𝑖
≤𝑥
VALORE ATTESO
E[X] è una media pesata dei valori che può assumere x i cui pesi sono i valore della probabilità che x assuma ciascun
valore
[
]
𝑥:𝑝
( 𝑥 𝑖
)
0 ,
Può essere interpretato come il valore che otterremmo se facessimo la media aritmetica di un numero elevato di
realizzazioni indipendenti di x
- E[x] ha unità di misura uguale a x
- inf{x i
,x 2
…}<E[x]<sup{x i
,x 2
[
]
VARIANZA
Data una qualunque variabile aleatoria X con valore atteso E[x]
2
= 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
2
] = ∑ (𝑥 − 𝜇)
2
𝑥:𝑝(𝑥
𝑖
)> 0 ,
PROPRIETA’:
2
2
= 𝐸[𝑥
2
] − 𝐸[𝑥]
2
𝑑𝑖𝑚. 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
2
] = 𝐸 [𝑥
2
2
] = 𝐸[𝑥
2
] − 2 𝜇𝐸[𝑥] + 𝐸[𝜇
2
]
= 𝐸 [𝑥
2
] + 𝜇
2
− 2 𝜇𝜇 = 𝐸[𝑥
2
] − 𝜇
2
[(
2
]
[(
𝑏(𝑥 − 𝐸[𝑥])
2
]
2
- Var(x+y)=Var(x)+Var(y) per x e y indipendenti
VARIABILI ALEATORIE DISCRETE NOTEVOLI:
VARIABILE BINOMIALE
Una variabile aleatoria discreta X segue una distribuzione BINOMIALE si parametri n e p se:
𝑥
1 −𝑥
e si scrive 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝)
E’ un tipo di variabile che conta il numero di successi in una sequenza di prove n indipendenti con probabilità p, con due
soli possibili esiti (successo o insuccesso)
- E(x)=np
- Var(x)=np(1-p)
- Mo(x)=p(n+1)
VARIABILE BERNULLI
una variabile aleatoria discreta x segue una distribuzione BERNULLIANA a parametro p se:
𝑥
1 −𝑥
e si scrive 𝑋~𝐵(𝑝)
Utilizzata quando un esperimento ha due soli possibili esisti
VARIABILE DI POISSON
si dice che una variabile discreta x segue una distribuzione di POISSON di parametro λ se
−𝜆
𝑥
e si scrive 𝑋~𝑃( λ )
E’ un modello probabilistico utilizzato per contare il numero di eventi che si verificano in un intervallo di tempo
VARIABILE GEOMETRICA
si dice che una variabile discreta x segue una distribuzione di GEOMETRICA di parametro p se
𝑥− 1
e si scrive 𝑋~𝑔𝑒𝑜𝑚( p )
descrive quante prove sono necessarie per aver un successo (per il verificarsi dell’evento)
1
𝑝
1 −𝑝
𝑝
2
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE:
DENSITA’ DI PROBABILITA’
una variabile aleatoria X si dice continua se esiste una funzione
0
tale che, per ogni insieme 𝐵 ⊂ ℝ
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (area sottesa alla curva)
PROPRIETA’:
𝑎
𝑏
𝑏
−∞
𝑎
𝑎
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE
La funzione di ripartizione F di una variabile aleatoria continua rappresenta una funzione integrale della funzione di
densità:
𝑥
−∞
PROPRIETA’ aggiuntive rispetto al caso discreto:
−
= lim
ℎ→ 0
𝑥
−∞
𝑥−ℎ
−∞
1
1
𝑥
2
−∞
𝑥
2
𝑥
1
𝑥
1
−∞
𝑥
1
−∞
VALORE ATTESO
data una variabile aleatoria continua X dotata di funzione di densità f si dice valore atteso:
𝐸[𝑥] = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
−∞
+∞
−∞
PROPRIETA’:
- E[a+bx]=a+b[x]
- E[x+y]=E[x]+E[y]
- 𝐸[
𝑖
] =
𝐸[𝑥
𝑖
]
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
VALORE ATTESO
Data una funzione continua x dotata di funzione di densità f e valore atteso 𝜇 = 𝐸[𝑥] si definisce varianza
2
= 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
2
] = ∫ (𝑥 − 𝜇)
2
+∞
−∞
PROPRIETA’:
2
= 𝐸[𝑥
2
] − 𝐸[𝑥]
2
2
- Var(x+y)=Var(x)+Var(y) per x e y indipendenti
𝑖
𝑉𝑎𝑟[𝑥
𝑖
]
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
VARIABILI ALEATORIA CONTINUE NOTEVOLI:
VARIABILE UNIFORME CONTINUA
Si dice che una variabile aleatoria continua X segue una distribuzione UNIFORME continua a parametri a,b se:
e si scrive 𝑋~𝑈(a, b)
Si utilizza per calcolare la probabilità del verificarsi di un evento, sapendo che tutti gli eventi sono equiprobabili
[
]
𝑎+𝑏
2
- 𝑉𝑎𝑟[𝑥] =
( 𝑏−𝑎
)
2
12
VARIABILE NORMALE O GAUSSIANA
si dice che una variabile aleatoria continua X segue una distribuzione NORMALE (o GAUSSIANA) di parametri 𝜇 e 𝜎
2
se
2
−
1
2 𝜎
2
( 𝑥−𝜇
)
2
e si scrive 𝑋~𝑁(μ, σ
2
descrive un fenomeno in cui i valori si distribuiscono in modo regolare e simmetrico attorno a un valore centrale (la
media), come se formassero una curva a campana.
2
APPROSSIMAZIONE BINOMIALE-NORMALE: 𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) ≈ 𝑁(μ = np, σ
2
(vale quando n è molto grande e p è lontano da 0 e 1)
VARIABILE LOGNORMALE
Si dice che una variabile aleatoria continua X segue una distribuzione LOGNORMALE di parametri 𝜐 e 𝛿
2
se la variabile
y=log(x) ha distribuzione 𝑁(𝜐, 𝛿
2
2
−
1
2 𝜎
2
( log (𝑥)−𝜇
)
2
e si scrive 𝑋~𝐿𝑜𝑔𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒(𝜐, 𝛿
2
è una variabile casuale continua il cui logaritmo segue una distribuzione normale
- E(log(x))= 𝜐
- Var(log(x))= 𝛿
2
VARIABILI ALEATORIE BIDIMENSIONALI:
Una variabile aleatoria BIDIMENSIONALE (o BIVARIATA) è una funzione che associa ad ogni evento e i
di S una
coppia di numeri reali
2
Possiamo definire una funzione di ripartizione doppia per ogni (x,y)𝜖 ℝ
2
PROPRIETA’:
𝑥→+∞
𝑥𝑦
𝑦
𝑥→+∞,𝑦→+∞
𝑥𝑦
𝑥→−∞
𝑥𝑦
𝑦→−∞
𝑥𝑦
𝑥→−∞,𝑦→−∞
𝑥𝑦
1
2
1
2
𝑥𝑦
2
2
𝑥𝑦
2
1
𝑥𝑦
1
2
𝑥𝑦
1
1
VALORE ATTESO
Sia (X,Y) un vettore aleatorio bidimensionale e sia g una funzione in due variabili definita del supporto di X e Y e a
valori reali in ℝ
caso discreto: 𝐸
[
)]
𝑝(𝑥,𝑦)> 0 𝑥𝑦
caso continuo: 𝐸[𝑔(𝑥, 𝑦)] = ∫ ∫
+∞
−∞
+∞
−∞
𝑥𝑦
COVARIANZA
Siano X e Y due variabili aleatorie qualsiasi con valore atteso 𝜇
𝑥
= 𝐸(𝑋) e 𝜇
𝑦
= 𝐸(𝑌), è definita COVARIANZA tra X e
Y:
𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇
𝑥
𝑦
)]
caso discreto: 𝐶𝑜𝑣
𝑥
𝑦
𝑝(𝑥,𝑦)> 0 𝑥𝑦
caso continuo: 𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫
𝑥
𝑦
+∞
−∞
+∞
−∞
𝑥𝑦
formula indiretta della covarianza
La covarianza di X e Y può essere calcolata come
𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸[𝑥𝑦] − 𝐸[𝑥]𝐸[𝑦]
DIM. 𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇
𝑥
𝑦
)] = 𝐸[𝑥𝑦 − 𝑥𝜇
𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
]
= 𝐸[𝑥𝑦] − 𝜇
𝑦
𝐸[𝑥] − 𝜇
𝑥
𝐸[𝑦] + 𝜇
𝑥
𝑦
= 𝐸[𝑥𝑦] − 𝐸[𝑥]𝐸[𝑦]
CON 𝑋 ⊥ 𝑌
[
]
[
]
[
]
ma 𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 0 le variabili si dicono SCORRELATE (non implica 𝑋 ⊥ 𝑌)
VARIANZA di una somma
Siano X e Y due variabili aleatorie quelsiasi
VARIABILE ALEATORIE INDIPENDENTI
Si dice che due variabili aleatorie X e Y sono INDIPENDENTI se la loro funzione di ripartizione congiunta è pari al
prodotto delle funzioni di ripartizione marginali
2
𝑥𝑦
𝑥
𝑦
SOMMA di variabili aleatorie indipendenti:
sia (X,Y) una variabile aleatoria bivariata continua e si assuma 𝑋 ⊥ 𝑌
Funzione di ripartizione di Z=X+Y
𝑧
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑎−𝑦
−∞
+∞
−∞
𝑥
𝑎−𝑦
−∞
+∞
−∞
𝑦
𝑥
+∞
−∞
𝑦
Funzione di densità di Z=X+Y
𝑥
𝑧
𝑥
+∞
−∞
𝑦
VARIABILE MULTINOMIALE
Si dice che un vettore aleatorio 𝑥
1
𝑘
segue una distribuzione MULTINOMIALE di parametri n, k e ( 𝑝
1
𝑘
) se
1
1
𝑛
𝑛
1
𝑘
1
𝑥 1
𝑛
𝑥 𝑛
1
𝑛
e si scrive (𝑋 1
𝑛
1
𝑘
1
𝑘
La variabile multinomiale è una generalizzazione della variabile binomiale e si applica in contesti in cui un esperimento
può avere più di due esiti possibili in ciascun tentativo. Un esperimento che si ripete n volte e ogni prova può generare k
esisti distinti.
VARIABILE NORMALE BIVARIATA
Quando un vettore bivariato (X, Y) segue una distribuzione NORMALE a parametri 𝜇 𝑥
𝑦
𝑥
2
𝑦
2
𝑥𝑦
𝑥
𝑦
2
−
1
2
( 1 −𝜌
2
)
[(
𝑥−𝜇
𝑥
𝜎
𝑥
)
2
+(
𝑦−𝜇 𝑦
𝜎𝑦
)
2
− 2 𝜌(
𝑥−𝜇
𝑥
𝜎
𝑥
)(
𝑦−𝜇 𝑦
𝜎𝑦
)]
È un vettore formato da due normali anch’esso congiuntamente una normale
𝑥
𝑦
indicano dov’è centrata la campana
𝑥
2
𝑦
2
larghezza della campana
- 𝜌 quanto sono legate X e Y
DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE BIVARIATE
CASO DISCRETO:
sia (X,Y) una variabile aleatoria bivariata discreta, allora per ogni (x,y) ∈ ℝ
2
definiamo la FUNZIONE DI
PROBABILITA’ CONDIZIONATA come:
𝑥|𝑦
𝑥𝑦
𝑦
CASO CONTINUO:
sia (X,Y) una variabile aleatoria bivariata continua, allora per ogni (x,y) ∈ ℝ
2
definiamo la FUNZIONE DI DENSITA’
CONDIZIONATA come:
𝑥|𝑦
𝑥𝑦
𝑦
FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI BIDIMENSIONALI
Data una variabile aleatoria bidimensionale (X, Y) si dice FUNZIONE GENERATRICA DEI MOMENTI
BIDIMENSIONALI (fgm) la funzione:
𝑥𝑦
(𝑡, 𝑢) = 𝐸[𝑒
𝑡𝑥+𝑢𝑦
] 𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè ∃ 𝜖 > 0 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑚
𝑥
caso discreto: 𝑚 𝑦𝑥
𝑡𝑥+𝑢𝑦
𝑡𝑥+𝑢𝑦
𝑥𝑦
(𝑥,𝑦):𝑝
𝑥𝑦
(𝑥,𝑦)> 0
caso continuo: 𝑚 𝑥𝑦
𝑡𝑥+𝑢𝑦
𝑡𝑥+𝑢𝑦
𝑥𝑦
+∞
−∞
+∞
−∞
PROPRIETA’
𝑥
𝑥𝑦
𝑦
𝑥𝑦
DIM. 𝑚
𝑥𝑦
(𝑡, 0 ) = 𝐸[𝑒
𝑡𝑥+ 0 𝑦
] = 𝐸[𝑒
𝑡𝑥
] = 𝑚
𝑥
𝑥𝑦
( 0 , 𝑢) = 𝐸[𝑒
0 𝑥+𝑢𝑦
] = 𝐸[𝑒
𝑢𝑦
] = 𝑚
𝑦
[
𝑟
𝑠
]
𝑑
𝑟
𝑑𝑡
𝑟
𝑑
𝑠
𝑑𝑡
𝑠
𝑥𝑦
𝑡= 0 ,𝑢= 0
𝑥𝑦
𝑥
𝑦
DIM. 𝑚
𝑥𝑦
[
𝑡𝑥+𝑢𝑦
]
[
𝑡𝑥
]
[
𝑢𝑦
]
𝑥
𝑦
DISUGUAGLIANZA DI MARKOV
Sia X una variabile aleatoria non-negativa qualsiasi. Allora per ogni a>0 vale la DISUGUAGLIANZA DI MARKOV
[
]
DIM. 𝐸[𝑥] = ∑ 𝑥𝑝(𝑥) = ∑ 𝑥𝑝(𝑥) + ∑ 𝑥𝑝(𝑥)
𝑥 𝑥<𝑎 𝑥≥𝑎
𝑥≥𝑎
𝑥≥𝑎
𝑥≥𝑎
DISUGUAGLIANZA DI CHEBYSHEV
Sia X una variabile aleatoria qualsiasi con 𝜇 = 𝐸(𝑥) e 𝜎
2
= 𝑉𝑎𝑟(𝑥) allora per ogni 𝜀 > 0 vale la DISUGUAGLIANZA
DI CHEBYSHEV
2
2
2
2
DIM. 𝑃(
2
2
𝐸[(𝑥−𝜇)
2
]
𝜀
2
𝜎
2
𝜀
2
LEGGE DEBOLE DEI GRANDI NUMERI
Siano 𝑋
1
𝑛
variabili aleatorie indipendente e identicamente distribuite con 𝜇 = 𝐸[𝑋
𝑖
] e 𝜎
2
𝑖
Allora per la LEGGE DEI DEBOLE DEI GRANDI NUMERI
per ogni 𝜖 > 0 lim
𝑛→∞
𝑋 1
+⋯+𝑋 𝑛
𝑛
DIM. Definiamo 𝑥̅ =
1
𝑛
𝑖
𝑛
𝑖= 1
𝑋
1
+⋯+𝑋
𝑛
𝑛
da cui 𝐸[𝑥̅ ] = 𝜇 e 𝑉𝑎𝑟[𝑥̅ ] =
𝜎
2
𝑛
Applicando la disuguaglianza di Chebyschev alla media campionaria lim
𝑛→∞
≥ 𝜖) ≤ lim
𝑛→∞
𝜎
2
𝑛𝜖
2
OSSERVAZIONI:
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE
Siano 𝑋
1
𝑛
variabili aleatorie indipendente e identicamente distribuite con 𝜇 = 𝐸[𝑋
𝑖
] e 𝜎
2
𝑖
) < +∞ e
definiamo 𝑆 𝑛
1
𝑛
e 𝑍
𝑛
𝑆
𝑛
−𝑛𝜇
√𝑛𝜎
2
, per il TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE:
lim
𝑛→∞
𝑛
OSSERVAZIONI:
la distribuzione 𝑍 𝑛
quando n è grande (n≥ 3 0) può essere approssimata con la distribuzione normale
𝑛
𝑛
2
2
e posso scrivere anche:
𝑛
2
𝜎
2
𝑛
