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1 Limiti
1.1 Intorno
Dato x 0 ∈ R ∗^1 , si dice intorno di x 0 un qualsiasi sottoinsieme di R ∗^ che contiene:
- Un intervallo del tipo ]x 0 − r 1 ; x 0 + r 2 [ se x 0 è un numero;
- Un intervallo del tipo ]M; +∞[ oppure ] − ∞; M[ se x 0 = ±∞; Un intorno potrebbe essere anche l’unione di due intervalli separati. Un intorno circolare sono intorni del tipo ]x 0 − r; x 0 + r[.
1.2 Definizione
Sia f (x) una funzione di dominio Df e sia x 0 ∈ R ∗. Diremo che:
xlim→x 0
f (x) = l ∈ R ∗^ se ∀I(l) ∃I(x 0 ) | ∀x ∈ D ∩ I(x 0 ), x ̸= x 0 −→ f (x) ∈ I(l) (1)
Per ogni intorno di l, esiste un intorno di x 0 tale che per ogni x appartenente al dominio e all’intorno di x 0 , eccetto al più x 0 , sia che f (x) appartiene all’intorno di l; se x 0 è un numero, I(x 0 ) deve essere un punto di accumulazione per x 0.
1.3 Funzione Continua in un Punto
Data una funzione f (x) : D → R e x 0 ∈ D, se x 0 è un punto isolato allora f è continua nel punto x 0 ; se, invece, x 0 è un punto d i accumulazione nel dominio, f è continua in x 0 se e solo se limx→x 0 f (x) = f (x 0 ). Tutte le funzioni elementari sono continue in ogni punto del loro dominio.
1.4 Forme indeterminate
Sono i limiti il cui valore non è possibile conoscere a priori, ma solamente dopo aver effettuato "manipolazioni" algebriche. Le Forma Indeterminata (F.I.) sono:
[+∞ − ∞]
0
∞
[ 0 · ∞] [ 1 ∞]
∞^0
Table 1: Elenco Forme Indeterminate
Quando si ha forma indeterminata [+∞ − ∞] e si ha limx 0 →±∞, si può provare a raccogliere x con il grado maggiore in cui appare nella funzione. Se c’è una forma indeterminata del tipo
∞
, se il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore il risultato sarà ∞, se, invece, è il contrario il risultato sarà 0, se sono uguali il risultato sarà un numero reale.
(^1) R ∗ (^) è la Retta Reale Estesa cioè R ∗ (^) = R ∪ {±∞}
1.5 Limiti Notevoli
I limiti notevoli sono dei particolari limiti che presentano forme indeterminate ma sono calcolabili senza dover ricorrere alla definizione di limite. I limiti notevoli sono:
limx→ 0 sinx^ x= 1 F.I.
0
limx→ 0 1 −cosx x= 0 F.I.
0
limx→ 0 1 −xcos 2 x= 12 F.I.
0
limx→ 0 tanx^ x= 1 F.I.
0
limx→±∞
1 + (^1) x
x = e F.I. [ 1 ∞] limx→±∞
1 + kx
x = ek^ F.I. [ 1 ∞]
limx→ 0 ( 1 + x)
(^1) x = e F.I. (^) [ 1 ∞] limx→ 0 ( 1 + kx)
(^1) x = ek^ F.I. (^) [ 1 ∞]
limx→ 0 loga^ ( x^1 +x)= loga e F.I.
0
limx→ 0 ax^ x− 1 = ln a F.I.
0
limx→ 0 (^1 +x)
k (^) − 1 x =^ k^ F.I.^
0
Table 2: Elenco Limiti Notevoli
1.6 Infiniti e Infinitesimi
Sia x 0 ∈ R ∗^ e f : Df → R si dice infinitesima per x → x 0 se limx→x 0 f (x) = 0. Una funzione g : Dg → R si dice infinita per x → x 0 se limx→x 0 g(x) = ±∞. Due infinitesimi f e g si dicono simultanei per x → x 0 limx→x 0 f (x) = limx→x 0 g(x) = 0. Due infiniti f e g si dicono simultanei per x → x 0 limx→x 0 f (x) = limx→x 0 g(x) = ±∞.
1.6.1 Equivalenza Asintotica
Due infiniti o infinitesimi f (x) e g(x) si dicono asintoticamente equivalenti se sono simultanei e se limx→x (^0) g^ f^ ((xx)) = 1, si indica con f (x) ∼ g(x). Esempi:
sin x ∼ x per x → 0 infatti lim x→ 0
sin x x =^1
ln( 1 + x) ∼ x per x → 0 infatti lim x→ 0 ln(^1 x+ x)= 1
1 − cos x ∼ 12 x^2 per x → 0 infatti lim x→ 01 − 1 cos^ x 2 x^2
Principio di sostituzione degli infinitesimi: Se esiste il limite del rapporto di due infinitesimi simultanei, tale limite rimane invariato se agli infinitesimi si sostituiscono gli infinitesimi asintoticamente equivalenti.
2.4 Derivata Sinistra e Destra
Se il limh→ 0 + f^ (c+h h)− f^ (c) esiste finito, il valore si dice Derivata Destra e si indica con f (^) +′(c); se il limh→ 0 − f^ (c+h h)− f^ (c)esiste finito, il valore si dice Derivata Sinistra e si indica con f (^) −′(c). Se i due valori sono diversi la derivata in quel punto non esiste perché non esiste il limite globale limh→ 0 f^ (c+h h)− f^ (c). Se uno dei due limiti è infinito o non esiste, la derivata in quel punto non esiste.
2.5 Derivate Elementari
(k)′^ = 0 (x)′^ = 1 (x α )′^ = α x α −^1 (ax^ )′^ = ax^ ln a
(loga x)′^ = (^) x ln^1 a (sin x)′^ = cos x (cos x)′^ = − sin x (tan x)′^ = (^) cos^12 x
(cotan x)′^ = − (^) sin^12 x
2.6 Regole di derivazione
Se f (x) e g(x) sono derivabili in x ∈ R , la funzione α f (x) ± β g(x) è derivabile in x, ∀ α , β ∈ R e si ha la combinazione lineare^2 delle derivate:
( α f (x) ± β g(x))′^ = α f ′(x) ± β g′(x) (3)
Siano f (x) e g(x) due funzioni derivabili in x ∈ R. Allora, f (x) · g(x) è derivabile in x e si ha la derivata del prodotto: ( f (x) · g(x))′^ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x) (4)
Siano f (x) e g(x) due funzioni derivabili in x ∈ R e g(x) ̸= 0. Allora, (^) gf^ ((xx)) è derivabile in x e si ha la derivata del quoziente: f (x) g(x)
= f^
′(x) · g(x) − f (x) · g′(x) g^2 (x) (5)
Sia f (x) una funzione derivabile in x ∈ R e f (x) ̸= 0. Allora, (^) f (^1 x) è derivabile in x e si ha la derivata della funzione inversa: (^) 1 f (x)
f ′(x) f 2 (x) (6)
2.7 Applicazione delle derivate alla fisica
Considerando un grafico SPAZIO-TEMPO la velocità media può essere ricavata tramite il rapporto incrementale: ∆ ∆st = s(t+h h)− s(t). Mentre la velocità istantanea nell’istante t si ottiene per ∆t → 0 cioè per h → 0:
v(t) = lim h→ 0
s(t + h) − s(t) h =^ s
′(t) (7)
(^2) La combinazione lineare di due quantità Q 1 e Q 2 è α · Q 1 + β · Q 2 con α , β ∈ R
Il vettore velocità ⃗v(t) è tangente al grafico dello spazio nel istante t. L’accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto al tempo:
a(t) = lim h→ 0
v(t + h) − v(t) h =^ v
′(t) = s′′(t) (8)
Se al posto di s(t) si considera la funzione q(t), per esempio, ovvero la funzione che descrive la quantità di carica elettrica che attraversa la sezione di un conduttore nel tempo, si ottiene l’intensità elettrica i(t) = q′(t).
2.8 Derivate composte
2.8.1 Funzioni composte Siano g : A → E e f : B → C due funzioni, con g(A) ⊆ B cioè E ⊆ B. Si dice funzione composta la funzione f ◦ g : A → C tale che ( f ◦ g)(x) = f (g(x)).
2.8.2 Teorema di derivazione delle funzioni composte Se g è una funzione derivabile in x ∈ R ed f è una funzione derivabile in g(x), allora la funzione composta f ◦ g è derivabile in x e risulta:
( f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x) (9)
2.9 Derivate di funzioni inverse
3.4 Teorema sul limite della derivata
Sia f : [a; b] → R , derivabile in x 0 ∈ (a; b), tranne al più in x 0 ∈ (a; b). Se limx→x+ 0 f ′(x) = limx→x− 0 f ′(x) = ℓ ∈ R allora:
lim x→x+ 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h =^ xlim→x 0 f^
′ +(x) =^ f^
′ +(x^0 )
lim x→x− 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
= (^) xlim→x 0
f (^) −′(x) = f (^) −′(x 0 )
Se almeno uno dei due limiti destro e sinistro per la derivata è infinito o non esiste allora non esiste la corrispondente derivata. In ogni caso i due limiti coincidono con i limiti del rapporto incrementale.
3.5 Punti Singolari per la derivata
Un punto x 0 in cui f è continua ma non derivabile, si dice punto singolare per la derivata o punto di non derivabilità.
- Punto angoloso: se almeno uno dei limiti destro e sinistro del rapporto incrementale è finito (entrambi finiti ma diversi oppure uno finito e l’altro infinito);
- Punto cuspidale: se i due limiti del rapporto incrementale sono infiniti e discordi;
- Punto di flesso a tangente verticale: se i due limiti sono infiniti e concordi;
3.6 Punti a tangente verticale estremi
(Sono diversi dai punti di non derivabilità di flesso a tangente verticale) Sono punti in cui la funzione è continua e il grafico presenta una tangente verticale. Supponiamo che x 0 sia un elemento del dominio della funzione f in cui f è continua. Se il limite del rapporto incrementale destro o sinistro (solo uno dei due esiste perché l’altro è fuori dal dominio) è infinito, allora x 0 è un punto a tangente verticale. I punti di non derivabilità e quelli a tangente verticale si cercano solitamente nei punti in cui si annulla una radice, nei punti in cui si annulla un valore assoluto e nei punti di raccordo di una funzione definita per casi.
4 Approssimazione zeri di una funzione
4.1 Teorema di esistenza degli zeri
Sia f : [a; b] → R continua. Se f (a) · f (b) < 0 (cioè sono discordi), allora esiste almeno un numero c ∈ (a; b) tale che f (c) = 0.
4.2 Metodo di bisezione
Sia f : [a; b] → R continua e f (a) · f (b) < 0. Si consideri il punto medio c = a+ 2 be f (c). Se f (c) = 0 allora c è uno zero della funzione. Se f (c) · f (a) < 0 allora si pone b = c, altrimenti si pone a = c. L’errore che si commette quando si prende come approssimazione è |c − c 0 | ≤ bn^ − 2 an. Per calcolare l’errore in funzione del numero di iterazioni si può usare la formula: |c − c 0 | ≤ b^02 −na 0 con n numero di iterazioni.
5 Massimi e Minimi
Possono essere di due tipologie: assoluti, cioè sono il massimo e minimo per tutto il dominio della funzione; o relativi (o locali), cioè sono il massimo e minimo in un intervallo limitato. Un punto x 0 ∈ Df si dice stazionario se f ′(x 0 ) = 0.
5.1 Assoluti
Sia f : Df → R una funzione e sia x 0 ∈ Df. Si dice che f (x 0 ) è un massimo assoluto se f (x) ≤ f (x 0 ) ∀x ∈ Df ; si dice che f (x 0 ) è un minimo assoluto se f (x) ≥ f (x 0 ) ∀x ∈ Df. Il valore f (x 0 ) assunto dalla funzione in corrispondenza del punto x 0 di massimo o minimo assoluto si chiama massimo o minimo assoluto della funzione.
5.2 Relativi
Sia f : Df → R una funzione e sia x 0 ∈ Df. Si dice che f (x 0 ) è un massimo relativo se f (x) ≤ f (x 0 ) ∀x ∈ I; si dice che f (x 0 ) è un minimo relativo se f (x) ≥ f (x 0 ) ∀x ∈ I. Il valore f (x 0 ) assunto dalla funzione in corrispondenza del punto x 0 di massimo o minimo relativo si chiama massimo o minimo relativo della funzione.
5.3 Teorema di Fermat
Enunciato : Sia f : [a; b] → R , continua in [a; b] e derivabile in (a; b), x 0 ∈ (a; b) ed è un estremo relativo (cioè massimo o minimo); allora f ′(x 0 ) = 0. Dimostrazione : Supponiamo che x 0 sia un punto di massimo relativo; allora esiste un intorno I di x 0 contenuto in (a; b) tale che f (x) ≤ f (x 0 ) ∀x ∈ I. Sia h ∈ R tale che x + h ∈ I. Allora f (x 0 + h) ≤ f (x 0 ). Consideriamo il rapporto incrementale (con numeratore negativo):
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
Se h > 0 allora il rapporto incrementale è ≤ 0 e quindi limh→ 0 + f^ (x^0 +h h)− f^ (x^0 )= f (^) +′(x 0 ) ≤ 0. Se h < 0 allora il rapporto incrementale è ≥ 0 e quindi limh→ 0 − f^ (x^0 +h h)− f^ (x^0 )= f (^) −′(x 0 ) ≥ 0. Poiché f è derivabile in x = x 0 allora deve essere f (^) +′(x 0 ) = f (^) −′(x 0 ) = f ′(x 0 ), siccome f ′(x 0 ) ≤ 0 e f ′(x 0 ) ≥ 0, l’unica possibilità è che f ′(x 0 ) = 0.
Potrebbe accadere che f ′(x 0 ) = 0 ma x 0 non sia un punto di massimo o minimo relativo. In questo caso si dice che x 0 è un punto di flesso a tangente orizzontale.
5.4 Teorema sugli estremi relativi
Sia f : [a; b] → R derivabile eccetto al più in x 0 ∈ (a; b), f continua in x 0. Se esiste un intorno I di x 0 tale che:
- f ′(x) > 0 ∀x ∈ I con x < x 0 , invece f ′(x) < 0 ∀x ∈ I con x > x 0 allora x 0 è un punto di massimo relativo;
Corollario 1 Enunciato : Sia f : [a; b] → R , continua in [a; b] e derivabile in (a; b). Sia f ′(x) = 0 ∀x ∈ (a; b) allora f è costante in [a; b]. Dimostrazione : Sia x ∈ (a; b) applichiamo il teorema di Lagrange a f nell’intervallo [a; x]. Esiste c ∈ (a; b) tale che f ′(c) = f^ (x x)−−^ af^ (a). Ma f ′(c) = 0 quindi f (x) = f (a). Poiché x è un valore qualsiasi in (a; b) si ha che f è costante.
Corollario 2 Enunciato : Sia f (x) e g(x) due funzioni continue in [a; b] e derivabili in (a; b), tale che f ′(x) = g′(x) ∀x ∈ (a; b). Allora f (x) e g(x) differiscono per una costante. Dimostrazione : Poniamo h(x) = f (x) − g(x). Si ha che h′(x) = f ′(x) − g′(x) = 0 ∀x ∈ (a; b) quindi h(x) = c, c ∈ R. Quindi f e g differiscono per una costante.
6 Funzione Concava e Convessa
Sia f : (a; b) → R. Si definisce epigrafico di f il seguente insieme (dove R^2 è lo spazio cartesiano):
Epi( f ) = {(x; y) ∈ R^2 | x ∈ (a; b), y ≥ f (x)} (12)
Una funzione f : (a; b) → R si dice convessa in (a; b) se il suo epigrafico è un insieme convesso, f si dice concava se − f è convessa.
6.1 Criterio per la convessità/concavità
Sia f : (a; b) → R , derivabile due volte in (a; b). f è convessa in (a; b) se e solo se f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b); f è concava in (a; b) se e solo se f ′′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b).
6.2 Flessi
Sia f : (a; b) → R , x 0 ∈ (a; b) in cui f è derivabile oppure x 0 ha tangente verticale, x 0 si dice punto di flesso per il grafico di f se e solo se esiste un intorno I di x 0 in cui f è concava (o convessa) e un interno sinistro di x 0 in cui f è convessa (o concava). Cioè, se f è derivabile due volte in x 0 , la derivata seconda cambia di segno in x 0 : f ′′(x 0 ) = 0.
7 Asintoti Obliqui
Per trovare gli asintoti obliqui bisogna verificare che le condizioni siano tutte verificate:
- limx→±∞ f (x) = ±∞;
- limx→±∞ f^ ( xx )= m ∈ R − { 0 };
- limx→±∞( f (x) − mx) = q ∈ R. La retta y = mx + q è l’asintoto obliquo del grafico di f. Se i tre limiti sono validi per x → +∞ si ha un asintoto obliquo destro. Se sono validi per x → −∞ si ha un asintoto obliquo sinistro. Se esiste già un asintoto orizzontale, l’asintoto obliquo non può esistere (per quella direzione).
