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STATISTICA DESCRITTIVA
Sommatorie
a.
𝑖= 1
𝑛
𝑖
𝑖
𝑖= 1
𝑛
𝑖
𝑖= 1
𝑛
𝑖
b.
𝑖= 1
𝑛
𝑖
𝑖= 1
𝑛
𝑖
c.
𝑖= 1
𝑛
d.
𝑖= 1
𝑛
𝑖
𝑖= 1
𝑛
𝑖
NOTAZIONE:
● 𝑁: collettivo o popolazione
● 𝑥 : valori del carattere osservati sulle unità del 1
2
𝑁
collettivo
● 𝑋 : possibili modalità che un carattere può 1
2
𝑘
assumere
● 𝑛 : Frequenze assolute con cui le modalità vengono 1
2
𝑘
osservate nel collettivo
● 𝑓 : Frequenze relative per ogni 𝑗
𝑛 𝑗
𝑁
● 𝑝 : Frequenza percentuale 𝑗
𝑗
● 𝑁 : Frequenze assolute cumulate 𝑗
𝑖= 1
𝑗
𝑗
● 𝐹 : Frequenze relative cumulate per ogni 𝑗
𝑖= 1
𝑗
𝑗
● 𝑥 : valori dei caratteri osservati, in ordine ( 1 )
( 2 )
(𝑁 )
crescente, sulle 𝑁unità del collettivo
● ℎ : Densità di frequenza assoluta 𝑗
𝑛 𝑗
𝑎 𝑗
● 𝑑 = : Densità di frequenza relativa
𝑓 𝑗
𝑎 𝑗
INDICI DI POSIZIONE:
1 MEDIA ARITMETICA
● Distribuzione unitaria: 𝑥 =
1
𝑛 𝑖= 1
𝑛
𝑖
● Distribuzione di frequenza assoluta: 𝑥 =
1
𝑛 𝑗= 1
𝑘
𝑗
𝑗
● Distribuzione di frequenza relativa: 𝑥 =
𝑗= 1
𝑘
𝑗
𝑗
Proprietà della media aritmetica:
a. 𝑛𝑥 =
𝑖= 1
𝑛
𝑖
b.
𝑖= 1
𝑛
𝑖
c. è minima per
𝑖= 1
𝑛
𝑖
2
𝑐 = 𝑥
d. 𝑥 =
1
𝑛 ℎ= 1
𝐿
(ℎ )
ℎ
e. 𝑛 =
ℎ= 1
𝐿
ℎ
f. 𝑦 = α𝑥 + β, trasformazione lineare
2 MEDIA ARITMETICA PONDERATA: 𝑥 =
𝑖= 1
𝑛
∑ 𝑥 𝑖
𝑝 𝑖
𝑖= 1
𝑛
∑ 𝑝 𝑖
3 MEDIA GEOMETRICA: 𝑥 =
𝑛 𝑥 1
2
𝑛
Proprietà della media geometrica:
a. [𝑥 ]
2
1
2
𝑛
b. 𝑙𝑜𝑔𝑥 =
1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖
4 MEDIA DI UN CARATTERE SUDDIVISO IN CLASSI
1
𝑛 𝑗= 1
𝑘
𝑗
𝑗
𝑗= 1
𝑘
𝑗
𝑗
MODA: modalità con la frequenza più alta, nei caratteri quantitativi
suddivisi in classi è la modalità con la densità più alta
MEDIANA
Mediana con distribuzione unitaria:
● n dispari: 𝑀𝑒 =
𝑥 𝑛+ 1
2
● n pari: 𝑀𝑒 =
𝑥 𝑛 2
+𝑥 𝑛 2 +^1
2
Mediana con distribuzione di frequenza: , ,
𝑛
2
𝑛
2
Mediana per caratteri quantitativi suddivisi in classi:
𝑚
0 , 5 −𝐹 𝑚− 1
𝐹 𝑚
−𝐹 𝑚− 1
𝑚
● 𝐼: estremo inferiore della classe mediana 𝑚
● 𝐹 : frequenza relativa cumulata precedente a 𝑚− 1
● 𝐹: frequenza relativa cumulata 𝑚
● ∆: ampiezza della classe mediana 𝑚
QUARTILI
1
𝑄 1
0 , 25 −𝐹 𝑄 1
− 1
𝐹 𝑄 1
−𝐹 𝑄 1
− 1
𝑄 1
2
3
𝑄 3
0 , 75 −𝐹 𝑄 3
− 1
𝐹 𝑄 3
−𝐹 𝑄 3
− 1
𝑄 3
PERCENTILI: 𝑃 , parti uguali 𝑖
𝑃 𝑖
𝑖
100
−𝐹 𝑃 𝑖
− 1
𝐹 𝑃 𝑖
−𝐹 𝑃 𝑖
INDICI DI DISPERSIONE:
1 VARIANZA
● Distribuzione unitaria: σ
2
=
1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖
2
1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖
2
− 𝑥
2
Devianza: 𝐷 =
𝑖= 1
𝑛
𝑖
2
= 𝑁σ
2
Media dei quadrati: 𝑥
2
1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖
2
● Distribuzione di frequenza assoluta:
σ
2
=
1
𝑛
𝑗= 1
𝑘
𝑗
2
𝑗
1
𝑛
𝑗= 1
𝑘
𝑗
2
𝑛 𝑗
2
● Distribuzione di frequenza relativa:
σ
2
=
1
𝑛 𝑗= 1
𝑘
𝑗
2
𝑗
1
𝑛 𝑗= 1
𝑘
𝑗
2
𝑓 𝑗
2
● Trasformazione lineare 𝑌 = α𝑋 + β: 𝑉𝑎𝑟 (𝑌 ) = α
2
σ
2
2 DEVIAZIONE STANDARD: σ = σ
2
3 COEFFICIENTE DI VARIAZIONE: 𝐶𝑉 =
σ
𝑥
Scostamento semplice dalla media aritmetica: 𝑆 𝑥
1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖
Scostamento semplice dalla mediana: 𝑆 𝑀𝑒
1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖
Scostamento semplice dalla mediana con distribuzioni di
frequenze: 𝑆 𝑀𝑒
1
𝑛
𝑗= 1
𝐾
𝑗
| −^ 𝑀𝑒|𝑛
𝑗
1
𝑛
𝑗= 1
𝐾
𝑗
| −^ 𝑀𝑒|𝑓
𝑗
Standardizzazione: 𝑦 per 𝑖
𝑥 𝑖
−𝑥
σ
INTERVALLI DI VARIABILITÀ
● Campo di variazione: 𝑅 = 𝑥 (𝑛 )
( 1 )
● Differenza interquartile: 𝑊 = 𝑄 3
1
LA CONCENTRAZIONE
Ammontare: 𝐴 =
𝑖= 1
𝑛
𝑖
Equidistribuzione: 𝑥 𝑖
𝐴
𝑛
Massima concentrazione: 𝑥 (𝑛 )
Ammontare posseduto delle prime 𝑖 unità:𝐴 𝑖
( 1 )
( 2 )
𝑖
Quota posseduta delle prime 𝑖 unità:𝑄 𝑖
𝐴 𝑖
𝐴
Frequenza relativa cumulata delle prime i unità: 𝐹 𝑖
𝑖
𝑛
Rapporto di concentrazione di gini:
𝑖= 1
𝑛− 1
∑ 𝐹 𝑖
−𝑄 𝑖
𝑖= 1
𝑛− 1
∑ 𝐹 𝑖
𝑖= 1
𝑛− 1
∑ 𝑄 𝑖
𝑖= 1
𝑛− 1
∑ 𝐹 𝑖
SERIE STORICA: osservazioni 𝑦 di osservato in 1
2
𝑇
NUMERI INDICE
Semplici: una serie storica
● base fissa:
𝑦 2
𝑦 1
𝑦 2
𝑦 1
𝑦 𝑇
𝑦 1
● base mobile:
𝑦 2
𝑦 1
𝑦 3
𝑦 2
𝑦 𝑇
𝑦 𝑇− 1
Complessi: più serie storiche
RAPPORTI STATISTICI: rapporto di composizione, N è parte del
dato del D, varia tra 0 e 1
FREQUENZE ASSOLUTE CONGIUNTE 𝑛
𝑖𝑗
𝑖= 1
𝐻
𝑗= 1
𝐾
𝑖𝑗
Distribuzione marginale della 𝑦: 𝑛
𝑖= 1
𝐻
𝑖𝑗
Distribuzione marginale della 𝑥: 𝑛𝑖
𝑗= 1
𝐾
𝑖𝑗
Distribuzione doppia di frequenze relative:
𝑖𝑗
𝑛 𝑖𝑗
𝑛
𝑖= 1
𝐻
𝑗= 1
𝐾
𝑖𝑗
Frequenze relative delle distribuzioni condizionate:
● condizionata di
𝑛 𝑖𝑗
𝑛 𝑖•
𝑦
𝑥
𝑖
● condizionata di
𝑛 𝑖𝑗
𝑛
𝑥
𝑦
𝑗
Media condizionata: 𝑦 𝑥=𝑥 𝑖
𝑗= 1
𝐾
𝑗
𝑛 𝑖𝑗
𝑛 𝑖•
1
𝑛 𝑖• 𝑗= 1
𝐾
𝑗
𝑖𝑗
Varianza condizionata: σ
2
𝑦
𝑥
=𝑥 𝑖
1
𝑛 𝑖• 𝑗= 1
𝐾
𝑗
𝑥=𝑥 𝑖
( )
2
𝑖𝑗
Frequenza assoluta cumulata: 𝑁 𝑖𝑗
ℎ= 1
𝑖
𝑘= 1
𝑗
ℎ𝑘
Frequenza relativa cumulata: 𝐹 𝑖𝑗
ℎ= 1
𝑖
𝑘= 1
𝑗
𝑛 ℎ𝑘
𝑛
ℎ= 1
𝑖
𝑘= 1
𝑗
ℎ𝑘
Frequenza con l’indipendenza: 𝑛 𝑖𝑗
∗
=
𝑛 𝑖•
𝑛
𝑛
MISURA DELL’ASSOCIAZIONE TRA CARATTERI
Contingenze
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝑖𝑗
∗
( )
Indice di associazione Chi-quadrato: 𝑥
2
=
𝑖= 1
𝐻
𝑗= 1
𝐾
𝑛 𝑖𝑗
−𝑛 𝑖𝑗
∗
( )
𝑛 𝑖𝑗
∗ =^
𝑖= 1
𝐻
𝑗= 1
𝐾
𝑐 𝑖𝑗
2
𝑛 𝑖𝑗
∗
Indice di contingenza quadratica media: Φ
2
=
𝑖= 1
𝐻
∑
𝑗= 1
𝐾
∑
𝑐𝑖𝑗
2
𝑛 𝑖𝑗
∗
𝑖= 1
𝐻
∑
𝑗= 1
𝐾
∑ 𝑛 𝑖𝑗
∗
𝑖= 1
𝐻
𝑗= 1
𝐾
𝑓 𝑖𝑗
2
𝑓 𝑖•
𝑓
Indice V di Cramer: 𝑉 =
Φ
2
𝑚𝑎𝑥Φ
2
𝑥
2
𝑛
𝑚𝑖𝑛 [( 𝐻 − 1 ), (𝐾 − 1 )]
Indipendenza in media: se 𝑦 per ogni 𝑥=𝑥 𝑖
Varianza delle medie condizionate: σ 𝑀𝐸𝐷𝐼𝐴
𝑦 ( (^) 𝑥)
2
=
1
𝑛
𝑖= 1
𝐻
𝑥=𝑥 𝑖
( )
2
𝑖•
Media: 𝑀𝐸𝐷𝐼𝐴 σ (^) 𝑦
𝑥
=𝑖
2
( )
𝑖= 1
𝐻
∑ σ (^) 𝑦
𝑥
=𝑥 𝑖
2
𝑛 𝑖•
𝑛
σ 𝑦
2
= σ 𝑀𝐸𝐷𝐼𝐴
𝑦 ( (^) 𝑥)
2
𝑥
=𝑖
2
( )
Rapporto di correlazione: η (^) 𝑦
𝑥
2
=
σ 𝑀𝐸𝐷𝐼𝐴
𝑦 ( (^) 𝑥)
σ 𝑦
2
Proprietà
● 0 ≤ η (^) 𝑦
𝑥
2
≤ 1
● η (^) 𝑦 : dipendenza perfetta
𝑥
2
= 1
● η (^) 𝑦 : indipendenza in media
𝑥
2
= 0
CODEVIANZA
Distribuzioni unitarie: 𝐶 𝑥𝑦
𝑖= 1
𝑁
𝑖
( )
𝑖
( )
𝑖= 1
𝑁
𝑖
𝑖
Distribuzioni di frequenza:
𝑥𝑦
𝑢= 1
𝑟
𝑣= 1
𝑐
𝑢
( )
𝑣
( )
𝑢= 1
𝑟
𝑣= 1
𝑐
𝑢
𝑣
𝑢𝑣
COVARIANZA:
σ 𝑥𝑦
𝐶 𝑥𝑦
𝑁
1
𝑛 𝑖= 1
𝑛
𝑖
( )
𝑖
( )
1
𝑛 𝑖= 1
𝑛
𝑖
𝑖
Proprietà
● σ : e sono direttamente correlate (grandi-grandi) 𝑥𝑦
● σ : e sono inversamente correlate (grandi-piccoli) 𝑥𝑦
● σ : e sono incorrelate 𝑥𝑦
Coefficiente di correlazione di Pearson:ρ 𝑥𝑦
σ 𝑥𝑦
σ 𝑥
σ 𝑦
𝐶 𝑥𝑦
𝐷 𝑥
𝐷 𝑦
Proprietà
● − 1 ≤ ρ 𝑥𝑦
● ρ caratteri concordi e perfetto legame lineare 𝑥𝑦
● ρ caratteri discordi e perfetto legame lineare 𝑥𝑦
● ρ caratteri indipendenti o relazione non lineare 𝑥𝑦
DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA 𝑋 ∼ 𝑈 (𝑎 , 𝑏)
𝑓 (𝑥 ) = se , altrove
1
𝑏−𝑎
(𝑎 +𝑏)
2
(𝑎 −𝑏)
2
12
DISTRIBUZIONE NORMALE O GAUSSIANA 𝑋 ∼ 𝑁 μ, σ
2
( )
𝑓 (𝑥 ) = con e
1
σ 2 π
−
1
2
𝑥−μ
σ
( )
2
− ∞ < μ <+ ∞ σ
2
0
● 𝐸 (𝑋 ) = μ
● 𝑉 (𝑋 ) = σ
2
DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA 𝑍 ∼ 𝑁 ( 0 , 1 )
1
2 π
−
𝑧
2
2
(𝑋 −μ)
σ
𝑋−μ
σ
𝑥−μ
σ
( )
𝑥−μ
σ
( )
VARIABILE CASUALE DOPPIA
● 𝑃 (𝑥 , 𝑦) ≥ 0 e discreta
𝑥
𝑦
● 𝑓 (𝑥 , 𝑦) ≥ 0 e continua
−∞
+∞
−∞
+∞
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE CONGIUNTA
● 𝐹 (𝑥 , 𝑦) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦) = discreta
𝑢≤𝑥
𝑣≤𝑦
● 𝐹 (𝑥 , 𝑦) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦) = continua
−∞
𝑥
−∞
𝑦
Proprietà
𝑥 −∞
lim
𝑦 −∞
lim
𝑥 +∞
lim
lim
● 𝐹 (𝑥 , 𝑦) ≤ 𝐹 (𝑥 ', 𝑦) se 𝑥 < 𝑥', 𝐹 (𝑥 , 𝑦) ≤ 𝐹 (𝑥 , 𝑦') se𝑦 < 𝑦'
● 𝐹 (𝑥 , 𝑦) continua a destra rispetto a 𝑋 e𝑌
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ MARGINALE DELLA 𝑋
● 𝑃 (𝑥 ) = discreta
𝑦
● 𝑓 (𝑥 ) = continua
−∞
+∞
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ MARGINALE DELLA 𝑌
● 𝑃 (𝑦 ) = discreta
𝑥
● 𝑓 (𝑦 ) = continua
−∞
+∞
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONDIZIONATA
● 𝑃 (𝑦 |𝑥) = caso discreto
𝑃 (𝑥 ,𝑦)
𝑃 (𝑥 )
● 𝑓 (𝑦 |𝑥) = caso continuo
𝑓 (𝑥 ,𝑦)
𝑓 (𝑥 )
● 𝑃 (𝑦 |𝑥) = indipendenza caso discreto
𝑃 (𝑥 ,𝑦)
𝑃 (𝑥 )
𝑃 (𝑥 )𝑃 (𝑦 )
𝑃 (𝑥 )
● 𝑓 (𝑦 |𝑥) = indipendenza caso
𝑓 (𝑥 ,𝑦)
𝑓 (𝑥 )
𝑓 (𝑥 )𝑓 (𝑦 )
𝑓 (𝑥 )
continuo
INDIPENDENZA
● 𝑃 (𝑥 , 𝑦) = 𝑃 (𝑥 )𝑃 (𝑦 )→ (𝑋 , 𝑌)discreta
● 𝑓 (𝑥 , 𝑦) = 𝑓 (𝑥 )𝑓 (𝑦 )→ (𝑋 , 𝑌)continua
VALORE ATTESO DI UNA FUNZIONE 𝑔 (𝑋 , 𝑌)
● 𝐸 [𝑔 (𝑋 , 𝑌)] = discreta
𝑥
𝑦
● 𝐸 [𝑔 (𝑋 , 𝑌)] = continua
−∞
+∞
−∞
+∞
COMBINAZIONE LINEARE DI VARIABILI CASUALI
1
1
2
2
𝑛
𝑛
1 VALORE ATTESO
1
1
( ) +^ 𝑎 2
2
( ) +...^ +^ 𝑎 𝑛
𝑛
( )
2 COVARIANZA
σ 𝑋𝑌
= 𝐶𝑜𝑣 (𝑋 , 𝑌) = 𝐸 [( 𝑋 − 𝐸 (𝑋 )) (𝑌 − 𝐸 (𝑌 ))] = 𝐸 (𝑋 𝑌) − 𝐸 (𝑋 )𝐸 (𝑌 )
● σ discreta 𝑋𝑌
𝑥
𝑦
● σ 𝑋𝑌
−∞
+∞
−∞
+∞
continua
3 VARIANZA
𝑖= 1
𝑛
𝑖
2
𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑖
( )
𝑖= 1
𝑛
𝑗=𝑖+ 1
𝑛
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
( )
4 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE
ρ 𝑋𝑌
𝑋−𝐸 (𝑋 )
( (^) 𝑆𝐷 (𝑋 ))
𝑌−𝐸 (𝑌 )
( (^) 𝑆𝐷 (𝑌 ))
𝐶𝑜𝑣 (𝑋 ,𝑌)
𝑉𝑎𝑟 (𝑋 )𝑉𝑎𝑟 (𝑌 )
σ 𝑋𝑌
σ 𝑋
σ 𝑌
Proprietà
● − 1 ≤ ρ 𝑋𝑌
● ρ relazione lineare perfetta negativa 𝑋𝑌
● ρ relazione lineare perfetta positiva 𝑋𝑌
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE
Se 𝑛 → ∞, 𝑋 ∼ 𝑁 μ, σ
2
( ) →^ 𝑆 𝑛
∼ 𝑁 𝑛μ, 𝑛σ
2
( )
● Numero di successi: 𝑆 ∼ 𝑁 (𝑛 π, 𝑛π ( 1 − π))
● Frequenza relativa campionaria: 𝑃 ∼ 𝑁 π,
π ( 1 −π)
( (^) 𝑛 )
𝑛
𝑋 𝑛
−μ ( )
σ
2
𝑆 𝑛
𝑛σ
2
CAMPIONAMENTO E DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE
POPOLAZIONI FINITE
Media:
μ =
1
𝑁 𝑖= 1
𝑁
𝑖
Varianza: σ
2
=
1
𝑁 𝑖= 1
𝑁
𝑖
( −^ μ)
2
=
1
𝑁 𝑖= 1
𝑁
𝑖
2
− μ
2
Campioni ordinari:
● Estrazione con ripetizione: 𝑁
𝑛
● Estrazione senza ripetizione:
𝑁!
( 𝑁 −𝑛)!
Campioni non ordinati:
● Estrazione con ripetizione:
(𝑁 +𝑛− 1 )!
𝑛! (𝑁 − 1 )!
● Estrazione senza ripetizione:
𝑁!
𝑛! (𝑁 −𝑛)!
POPOLAZIONI INFINITE
Media:
μ = 𝐸 (𝑋 ) = discreta
𝑗= 1
𝐾
𝑗
𝑗
( ) →
μ = 𝐸 (𝑋 ) = continua
−∞
+∞
Varianza:
σ discreta
2
= 𝑉𝑎𝑟 (𝑋 ) =
𝑗= 1
𝐾
𝑗
( −^ μ)
2
𝑝 𝑥 𝑗
( ) =^
𝑗= 1
𝐾
𝑗
2
𝑝 𝑥 𝑗
( ) −^ μ
2
→
σ continua
2
= 𝑉𝑎𝑟 (𝑋 ) =
−∞
+∞
∫ (𝑥 − μ)
2
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 =
−∞
+∞
2
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 − μ
2
→
STATISTICA CAMPIONARIA
Media campionaria: 𝑋 =
1
𝑛 𝑖= 1
𝑛
𝑖
Varianza campionaria: σ
2
1
𝑛 𝑖= 1
𝑛
𝑖
( )
2
Deviazione standard campionaria: σ = σ
2
Massimo campionario 𝑋 (𝑛 )
1
2
𝑛
( )
Minimo campionario 𝑋 ( 1 )
1
2
𝑛
( )
Intervallo di variazione campionario: 𝑅 = 𝑋 (𝑛 )
( 1 )
DISTRIBUZIONE DELLA MEDIA CAMPIONARIA POPOLAZIONI
INFINITE
𝑋 ∼ 𝑁 μ,
σ
2
( (^) 𝑛)
● Valore atteso: 𝐸 (𝑋 ) = μ
● Varianza: 𝑉𝑎𝑟 (𝑋 ) =
σ
2
𝑛
STIMA PUNTUALE E STIMATORI
Campione casuale Campione osservato
1
2
𝑛
Stimatore: 𝑇 = 𝑡 𝑋 1
2
𝑛
( )
1
2
𝑛
Stima: 𝑡 = 𝑡 𝑋 1
2
𝑛
( )
STIMATORI CORRETTI
● 𝐸 (𝑇 ) = θ, ∀θ
● Distorsione: 𝐵 (𝑇 ) = 𝐸 (𝑇 ) − θ
STIMATORE EFFICIENTE
● Errore quadratico medio:
2
= 𝐸 𝑇 − 𝐸 (𝑋 )
2
[ ( )] +^ 𝐸^ (𝑇^ −^ θ)
2
[ ]
● 𝑇è più efficiente di se 1
2
1
( ) <^ 𝑀𝑆𝐸^ 𝑇 2
( )
● 𝑇 è corretto se𝑀𝑆𝐸 (𝑇 ) = 𝑉𝑎𝑟 (𝑇 )
● 𝑇è più efficiente di se 1
2
1
( )
2
( )
STIMATORE CONSISTENTE
● 𝑇 è consistente in media quadratica se 𝑛
𝑛 +∞
lim
𝑛
( ) =^
𝑛 +∞
lim
𝑛
( −^ θ)
2
● se e
𝑛 +∞
lim
𝑛
( ) =^0
𝑛 +∞
lim
𝑛
( ) =^0
𝑛 +∞
lim
𝑛
( ) =^0
● Uno stimatore corretto 𝑇 è consistente in media 𝑛
quadratica se
𝑛 +∞
lim
𝑛
( ) =^0
STIMA PUNTUALE DELLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE
Sia
𝑋 ∼ 𝑓 (μ )
1
2
𝑛
( ) =^ 𝑋
● 𝐸 (𝑋 ) = π, 𝑉𝑎𝑟 (𝑋 ) =
σ
2
𝑛
● 𝑋è corretto e consistente
● Se 𝑋 ∼ 𝑁 μ, σ
2
( )
→ 𝑋 ∼ 𝑁 μ,
σ
2
( (^) 𝑛)
𝑛 ∞
lim
𝑛
( )
𝑛 ∞
lim
𝑛
( )
𝑛 ∞
lim
σ
2
𝑛
STIMATORE ASINTOTICAMENTE CORRETTO
𝑇 è asintoticamente corretto se 𝑛 𝑛 +∞
lim
𝑛
( )
= θ
STIMA PUNTUALE DELLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE
Sia 𝑋 ∼ 𝑓 (μ )
1
2
𝑛
( ) =^ 𝑋
● 𝐸 (𝑋 ) = π, 𝑉𝑎𝑟 (𝑋 ) =
σ
2
𝑛
● 𝑋è corretto e consistente
● Se 𝑋 ∼ 𝑁 μ, σ
2
( ) →^ 𝑋^ ∼^ 𝑁^ μ,^
σ
2
( (^) 𝑛)
𝑛 ∞
lim
𝑛
( )
𝑛 ∞
lim
𝑛
( )
𝑛 ∞
lim
σ
2
𝑛
STIMA PUNTUALE DELLA PROPORZIONE DI UNA POPOLAZIONE
Sia 𝑋 ∼ 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 (π )
1
2
𝑛
( ) ≡^ 𝑋
● 𝐸 (𝑋 ) = π, 𝑉𝑎𝑟 (𝑋 ) =
π ( 1 −π)
𝑛
● 𝑋è corretto e consistente
𝑛 +∞
lim
𝑛
( )
𝑛 +∞
lim
𝑛
( )
𝑛 +∞
lim
π ( 1 −π)
𝑛
STIMA PUNTUALE DELLA VARIANZA DELLA POPOLAZIONE
Sia 𝑋 ∼ 𝑓 μ, σ
2
( )
1
2
𝑛
( )
2
=
1
𝑛− 1 𝑖= 1
𝑛
𝑖
( )
2
2
( ) =^ σ
2
𝑉𝑎𝑟 (𝑋 ) =
π ( 1 −π)
𝑛
● 𝑆 è corretto e consistente
2
𝑛 +∞
lim
𝑛
2
( )
MODELLO DI REGRESSIONE
Relazione funzionale lineare: 𝑌 = β 0
Relazione statistica: 𝑌 = 𝑓 (𝑋 ) + ε
● Assunzione 1 : 𝑌 𝑖
= β 0
𝑖
● Assunzione 2 : εsono v.c. indipendenti con e 𝑖
𝐸 ε 𝑖
( ) =^0
𝑉𝑎𝑟 ε 𝑖
( ) =^ σ
2
● Assunzione 3 : i valori 𝑥di sono noti senza errore 𝑖
𝑖
𝑖
( )
= 𝐸 β 0
𝑖
( )
= β 0
𝑖
( )
= β 0
𝑖
𝑖
𝑖
( ) =^ 𝑉^ β 0
𝑖
( ) =^ 𝑉^ β 0
𝑖
( ) +^ 𝑉^ ε 𝑖
( ) =^ 𝑉^ ε 𝑖
( ) =^ σ
2
STIMA PUNTUALE DEI COEFFICIENTI DI REGRESSIONE
● Punto sulla retta: 𝑦 𝑖
= β 0
𝑖
● Stime: β e 0
β 1
● Residuo: 𝑒 𝑖
𝑖
𝑖
Proprietà dei residui
𝑖= 1
𝑛
𝑖
𝑖= 1
𝑛
𝑖
𝑖
𝑖= 1
𝑛
𝑖
𝑖
● 𝐺 β 0
, β 1
( ) =^
𝑖= 1
𝑛
𝑖
− β 0
− β 1
𝑖
( )
2
● Stime dei minimi quadrati dei coefficienti di regressione:
β e 0
= 𝑦 − β 1
𝑥 β 1
σ 𝑋𝑌
σ 𝑥
2
DECOMPOSIZIONE DELLA VARIANZA TOTALE
𝑖= 1
𝑛
𝑖
( )
2
𝑖= 1
𝑛
𝑖
( )
2
𝑖= 1
𝑛
𝑖
2
● Somma totale dei quadrati: 𝑆𝑄𝑇 =
𝑖= 1
𝑛
𝑖
( )
2
● Somma dei quadrati della regressione: 𝑆𝑄𝑅 =
𝑖= 1
𝑛
𝑖
( )
2
● Somma dei quadrati degli errori: 𝑆𝑄𝐸 =
𝑖= 1
𝑛
𝑖
2
IL COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE
𝑋𝑌
2
=
𝑆𝑄𝑅
𝑆𝑄𝑇
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
= ρ 𝑋𝑌
2
=
σ 𝑋𝑌
σ 𝑋
σ 𝑌
( )
2
𝑋𝑌
2
≤ 1
● Coefficiente binomiale: 𝐶 𝑛,𝑘
𝑛
( (^) 𝑘)
𝑛!
𝑘! (𝑛 −𝑘)!
● Disposizioni semplici: 𝐷 𝑛,𝑘
𝑛!
( 𝑛 −𝑘)!
&
&
