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Formulario di Statistica - Ecomark , Formulari di Statistica

Formulario completo e dettagliato per il superamento dell'esame di Statistica del Prof. Maffenini (Ecomark - Unimib).

Tipologia: Formulari

2016/2017

In vendita dal 20/03/2017

cecilia2112
cecilia2112 🇮🇹

4.4

(8)

11 documenti

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bg1
FORMULARIO
INDICI A BASE FISSA: 𝐈𝐣.𝟎 =𝐱𝐣
𝐱𝟎 INDICI A BASE MOBILE: 𝐈𝐣.𝐣−𝟏 =𝐱𝐉
𝐱𝐣−𝟏 𝐕
=𝐱𝐍
𝐱𝟎
𝐍−𝟏 𝟏
ISTOGRAMMA: caratteri continui in classi
GRAFICO A SPILLI: caratteri discreti in classi
AMPIEZZA CLASSI:
Carattere continuo: 𝐚𝐣=𝐥𝐣+𝐥𝐣 Carattere discreto: 𝐚𝐣=𝐥𝐣+𝐥𝐣+𝟏
Cumulate: al più... Retrocumulate: almeno...
MODA:
Carattere quantitativo continuo in classi: classe modale con 𝐟𝐬=𝐧𝐣
𝐚𝐉 maggiore
Carattere quantitativo discreto in classi: classe modale con 𝐟𝐬=𝐧𝐣
𝐚𝐉 maggiore
MEDIANA: caratteri ordinati 𝐌𝐞=𝐱(𝐍+𝟏
𝟐)
Carattere quantitativo continuo in classi: calcolo Pos(Me)=N+1
2, la cerco nelle Cj, poi determino
la Me -> 𝐌𝐞=𝐥𝐣+[𝐍
𝟐𝐂𝐣−𝟏]𝐚𝐉
𝐧𝐣
Carattere quantitativo discreto in classi: calcolo Pos(Me)=N+1
2, la cerco nelle Cj e se N è pari
faccio la 𝐌𝟏 dei valori centrali
Carattere quantitativo su scala di rapporti: Pos(Me) cerco nelle Cj
Carattere qualitativo su scala ordinale: Pos(Me) cerco nelle Cj
Distribuzioni unitarie: 𝐱(𝐢+𝐡) =𝐱(𝐢) +𝐡(𝐱(𝐢+𝟏)𝐱𝐢)
QUARTILI, DECILI, CENTILI: caratteri ordinati 𝐐𝐣=𝐱(𝐣∙𝐍+𝟏
𝟒)
Carattere quantitativo continuo in classi: Pos(Qj)=jN+1
4, la cerco nelle Cj, poi determino Qj
𝐐𝐣=𝐱(𝐭) =𝐥𝐣+[𝐭𝐂𝐣−𝟏 𝟏
𝟐]𝐚𝐉
𝐧𝐣
Carattere quantitativo discreto in classi: calcolo Pos(Qj)=jN+1
4, la cerco nelle Cj
Carattere quantitativo su scala di rapporti: Pos(Qj) cerco nelle Cj
Carattere qualitativo su scala ordinale: Pos(Qj) cerco nelle Cj
Distribuzioni unitarie: 𝐱(𝐢+𝐡) =𝐱(𝐢) +𝐡(𝐱(𝐢+𝟏)𝐱𝐢)
MEDIA ARITMETICA: 𝐌𝟏=𝟏
𝐍𝐱𝐢𝐧𝐢
𝐍
𝐢=𝟏 MEDIA GEOMETRICA: 𝐌𝟎=𝐱𝐢𝐧𝐢𝐍
𝐢=𝟏
𝐍
MEDIA ARMONICA: 𝐌−𝟏 =𝐍
𝟏
𝐱𝐢 ∙ 𝐧𝐢
𝐍
𝐢=𝟏 MEDIA QUADRATICA: 𝐌𝟐=𝟏
𝐍𝐱𝐢𝟐𝐧𝐢
𝐍
𝐢=𝟏
INTERVALLI DI VARIAZIONE: Campo di variazione =(𝐱(𝐍)𝐱(𝟏))
SCOSTAMENTI MEDI DA UN VALOR MEDIO:
Classi di X
ni
ai
fs=niai
frs =fsN
Classi di X
nj
aj
fs=njaj
frs =fsN
pf3
pf4
pf5

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FORMULARIO

INDICI A BASE FISSA: 𝐈𝐣.𝟎 =

INDICI A BASE MOBILE: 𝐈𝐣.𝐣−𝟏 =

𝐍−𝟏

ISTOGRAMMA : caratteri continui in classi

GRAFICO A SPILLI : caratteri discreti in classi

AMPIEZZA CLASSI:

Carattere continuo: 𝐚𝐣 = 𝐥𝐣+^ − 𝐥𝐣−^ Carattere discreto: 𝐚𝐣 = 𝐥𝐣+^ − 𝐥𝐣−^ + 𝟏

Cumulate: al più... Retrocumulate: almeno...

MODA :

Carattere quantitativo continuo in classi: classe modale con 𝐟𝐬 =

𝐧𝐣

𝐚𝐉^ maggiore

Carattere quantitativo discreto in classi: classe modale con 𝐟𝐬 =

𝐧𝐣

𝐚𝐉^ maggiore

MEDIANA : caratteri ordinati → 𝐌𝐞 = 𝐱(𝐍+𝟏

Carattere quantitativo continuo in classi: calcolo Pos(Me) =

N+

2 , la cerco nelle^ Cj, poi determino

la Me -> 𝐌𝐞 = 𝐥𝐣−^ + [

− 𝐂𝐣−𝟏]

Carattere quantitativo discreto in classi: calcolo Pos(Me) =

N+

2 , la cerco nelle^ Cj^ e se^ N^ è pari

faccio la 𝐌𝟏 dei valori centrali

Carattere quantitativo su scala di rapporti: Pos(Me) → cerco nelle Cj

Carattere qualitativo su scala ordinale: Pos(Me) → cerco nelle Cj

Distribuzioni unitarie: 𝐱(𝐢+𝐡) = 𝐱(𝐢) + 𝐡(𝐱(𝐢+𝟏) − 𝐱𝐢)

QUARTILI, DECILI, CENTILI : caratteri ordinati → 𝐐𝐣 = 𝐱(𝐣∙𝐍+𝟏

Carattere quantitativo continuo in classi: Pos(Qj) = j ∙

N+

4 , la cerco nelle^ Cj, poi determino^ Qj

𝐐𝐣 = 𝐱(𝐭) = 𝐥𝐣−^ + [𝐭 − 𝐂𝐣−𝟏 −

]

Carattere quantitativo discreto in classi: calcolo Pos(Qj) = j ∙

N+

4 , la cerco nelle^ Cj

Carattere quantitativo su scala di rapporti: Pos(Qj) → cerco nelle Cj

Carattere qualitativo su scala ordinale: Pos(Qj) → cerco nelle Cj

Distribuzioni unitarie: 𝐱(𝐢+𝐡) = 𝐱(𝐢) + 𝐡(𝐱(𝐢+𝟏) − 𝐱𝐢)

MEDIA ARITMETICA : 𝐌𝟏 =

∑ 𝐍𝐢=𝟏 𝐱𝐢𝐧𝐢 MEDIA GEOMETRICA : 𝐌𝟎 = √∏ 𝐱𝐢

𝐍

MEDIA ARMONICA : 𝐌−𝟏 =

𝐢

MEDIA QUADRATICA : 𝐌𝟐 = √

∑ 𝐍𝐢=𝟏𝐱𝐢𝟐^ ∙ 𝐧𝐢

INTERVALLI DI VARIAZIONE : Campo di variazione = (𝐱(𝐍) − 𝐱(𝟏))

SCOSTAMENTI MEDI DA UN VALOR MEDIO:

Classi di X ni ai fs = ni ⁄a^ i frs = fs ⁄N

Classi di X nj aj fs =^ nj ⁄a^ j frs = fs ⁄N

𝐍 ∑^ |𝐱𝐢^ − 𝐌𝟏|

Variabilità:

𝐒𝐌𝟏

𝐌𝟏^ 𝛔 = 𝐒𝐐𝐌 = √

𝐍 ∑^ (𝐱𝐢^ − 𝐌𝟏)

𝐢=𝟏 Coefficiente di variazione:^

DIFFERENZE MEDIE:

𝐍(𝐍−𝟏) ∑^ 𝐱(𝐣)(𝟐𝐣 − 𝐍 − 𝟏)

𝐍𝟐^ 𝐒 = 𝟐 ∑

Indici relativi di variabilità:

𝐦𝐚𝐱 𝐒𝐌𝟏^ =^

𝟐 ∙^

𝐍−𝟏 ∙^

𝐌𝟏^ ;^

𝐦𝐚𝐱 ∆ =^

𝟐𝐌𝟏^ =^

𝟐𝐌𝟏^ ;^

𝐦𝐚𝐱 𝛔 =^

√𝐍−𝟏^

ASIMMETRIE :

𝐀𝐣(𝐌) = 𝐱(𝐣) + 𝐱(𝐍−𝐣+𝟏) − 𝟐𝐌 → ordino le x(j)

Indice del verso di 𝐀𝐣(𝐌) = 𝟐(𝐌𝟏 − 𝐌𝐞)

SCOMPOSIZIONE VARIANZA :

𝛔𝐅𝟐^ =

𝐍 ∑^ |𝐗̅𝐣^ − 𝐗̅|

𝐣=𝟏 ;^ 𝛔𝐍

𝐍 ∑^ 𝛔𝐣

→ 𝛔𝐓𝐎𝐓𝟐^ =

𝐍 ∑^ 𝛔𝐣

𝐣=𝟏 𝐍𝐣^ +^

𝐍 ∑^ (𝐗̅𝐣^ − 𝐗̅)

Classi di X (oppure xj) xj^ c(se in classi)oppure xj Frequenza gruppo 1 Frequenza gruppo 2

Totali N 1 N 2

Medie parziali: 𝐗̅𝟏 =

∑ 𝐱𝐣(𝟏)^ ∙ 𝐧𝐣(𝟏)^ ; 𝐗̅𝟐 = 𝟏

∑ 𝐱𝐣(𝟐)^ ∙ 𝐧𝐣(𝟐)

Media aritmetica totale: 𝐗̅ =

Varianza fra i gruppi: 𝛔𝐅𝟐^ =

∑ 𝐤𝐣=𝟏(𝐗̅ 𝐣 − 𝐗̅)𝟐^ ∙𝐍𝐣 =

Varianze ponderate parziali per ciascun gruppo =

𝐍 ∑^ 𝛔𝐣

𝛔𝟏𝟐^ =

𝐱𝐣𝟏𝐜^ ∙𝐧𝐣𝟏+𝐱𝐣𝟏𝐜^ ∙𝐧𝐣𝟏

; 𝛔𝟐𝟐^ =

𝐱𝐣𝟐𝐜^ ∙𝐧𝐣𝟐+𝐱𝐣𝟐𝐜^ ∙𝐧𝐣𝟐

Varianza nei gruppi: 𝛔𝐍𝟐^ =

Varianza totale: 𝛔𝐓𝐎𝐓𝟐^ =

→ 𝛔𝐓𝐎𝐓𝟐^ =

∑ 𝛔𝐣𝟐^ ∙ 𝐍𝐣 + 𝟏

Contributo percentuale delle componenti della varianza sulla varianza totale:

𝛔𝐓𝐎𝐓𝟐^ ;^

Contingenze :

Fr. teoriche : 𝐧̂𝐢𝐣 =

𝐧𝐢.×𝐧𝐣.

𝐍 → si presenterebbero in caso di indipendenza distributiva

Contingenze assolute : 𝐂𝐢𝐣 = 𝐧𝐢𝐣 − 𝐧̂𝐢𝐣 → la frequenza congiunta effettiva associata alla modalità xi del

carattere X e yi del carattere Y risulta essere minore/maggiore di quella teorica in ipotesi di indipendenza

distributiva. Le modalità X e Y si respingono/attraggono.

xi ni xini |xi − M 1 | |xi − M 1 |xini

xj nj xjnj Cj 2 Cj − N − nj xjnj( 2 Cj − N − nj)

j xj 2j − N − 1 xj(2j − N − 1 )

j x(j) x(N−j+ 1 ) x(j) +^ x(N−j+ 1 ) −^ 2M

Concentrazione nulla (Lorenz): M 1 (X) = N^1 ∑ xini

Concentrazione massima (Lorenz): uno solo ha tutto

Per distribuzione di unità: ordino le xj in modo crescente

𝐍−𝟏 ∑^ 𝐪𝐣

Traslazione (aggiungo tot a quantità di X) = diminuzione dell’indice R

Retta ai minimi quadrati :

𝐍 ∑ 𝐲̅𝐢𝐱𝐣𝐧.𝐣^ − 𝐗̅𝐘̅^ 𝐗̅ =^

𝐍 ∑^ 𝐢=𝟏𝐱𝐣𝐧.𝐉

𝐍 ∑^ 𝐱𝐣

𝐣=𝟏 𝐲̅𝐢 =^

𝐧.𝐣^ ∑ 𝐲𝐢𝐧𝐢𝐣

Var spiegata: 𝛔𝐒𝟐^ = 𝟏𝐍 ∑^ 𝐣=𝟏(𝐲̂ 𝐣 − 𝐲̅)𝟐𝐧.𝐣= 𝟏𝐍 𝐲̂𝐣𝟐𝐧.𝐣 − 𝐘̅𝟐

Varianza residua: 𝛔𝐑𝟐^ = 𝟏𝐍 ∑ ∑(𝐲𝐢 − 𝐲̂𝐣)𝟐^ 𝐧𝐢𝐣 → 𝐲̂𝐢 = 𝛂̂𝟎 + 𝛂̂𝟏𝐱

Coeff di correlaz lineare tra X e Y: 𝐫(𝐗, 𝐘) =

√𝐕𝐚𝐫(𝐗)𝐕𝐚𝐫(𝐘)^

𝟏 𝐍 ∑ 𝐲̅𝐢𝐱𝐣𝐧.𝐣−𝐗̅𝐘̅ √(𝐍𝟏 ∑ (^) 𝐣=𝟏 𝐱𝐣𝟐∙𝐧.𝐣−𝐗̅𝟐)(𝐍𝟏 ∑ (^) 𝐣=𝟏 𝐲𝐢𝟐∙𝐧𝐢.−𝐘̅𝟐)

Medie parziali di Y: 𝐲̅𝐢 =

𝐧.𝐣^ ∑ 𝐲𝐢𝐧𝐢𝐣^ 𝐱̅𝐣^ =^

𝐧𝐢.^ ∑ 𝐱𝐣𝐧𝐢𝐣

𝐍 ∑^ 𝐲𝐢

𝐣=𝟏 𝐕𝐚𝐫(𝐗) =^

𝐍 ∑^ 𝐱𝐣

Varianze parziali: 𝛔𝐱^ 𝟐𝐢^ =

𝐧𝐢.^ ∑ 𝐱𝐣

𝛔𝐅𝟐^ =

𝐍 |𝐱̅𝐢^ − 𝐗̅|

𝐧𝐢.^ ∑ 𝐱𝐣

Indipendenza in media: 𝐘̅ =

𝐍 ∑ 𝐲𝐢𝐧𝐢^ ≠ 𝐲̅𝐢^ =^

𝐧.𝐣^ ∑ 𝐲𝐢𝐧𝐢𝐣^ ⇒^ non c’è indipend in media. NO per car

qualitativi

Grado di indipendenza in media: 𝛈(𝐘|𝐗)𝟐^ =

𝐕𝐚𝐫(𝐗)^ =

𝟏 𝐍|𝐱̅𝐢−𝐗̅|

𝟏 𝐍 ∑^ 𝐱𝐣

Indipendenza distributiva fra Y e X: calcolo 𝐧̂𝐢𝐣 =

𝐧𝐢.×𝐧.𝐣

𝐍 ; se^ 𝐧𝐢𝐣^ ≠ 𝐧̂𝐢𝐣^ allora X e Y non sono indipendenti

Retta ai minimi quadrati :

𝐍 ∑^ 𝐣=𝟏^ 𝐲𝐢𝐧𝐢. 𝐲̅𝐢^ =^

𝐍 ∑ 𝐲̅𝐢𝐱𝐢𝐧𝐢.^ − 𝐗̅𝐘̅^ 𝐕𝐚𝐫(𝐗) =^

Indipendenza in media di X da Y: 𝐗̅ = 𝟏𝐍 ∑ 𝐱𝐢𝐧𝐢 ≠ 𝐱̅𝐢 =

𝐧.𝟏^ ∑ 𝐱𝐢𝐧𝐢.^ →non c’è indip. NO per caratteri

qualitativi

0 𝐍 − 𝟏 0 𝐍 − 𝟏 0 (𝐍^ −^ 𝟏)/𝐍^ 0

X

Y

𝐱𝐣 𝐲̂𝐣 = 𝛂̂ 𝟎 + 𝛂̂ 𝟏𝐱𝐣 𝐧.𝐣 (𝐲̂𝐣 − 𝐲̅ )𝟐^ (𝐲̂𝐣 − 𝐲̅ )𝟐𝐧.𝐣

Y

X

Coefficiente di correlazione: 𝐫(𝐗, 𝐘) =

Indipendenza distributiva fra X e Y: calcolo 𝐧̂𝐢𝐣 =

𝐧𝐢.×𝐧.𝐣

𝐍 ; se^ 𝐧𝐢𝐣^ ≠ 𝐧̂𝐢𝐣^ allora X e Y non sono indipendenti

Grado di indipendenza in media: 𝛈(𝐘|𝐗) =

𝐃𝐓𝐎𝐓^ =^

∑ 𝐜𝐢=𝟏𝐲𝐣𝟐𝐧.𝐣−𝐘̅𝟐^ =^

∑ 𝐲𝐢𝐧𝐢𝐣 𝐘̅ → media aritmetica totale di Y 𝛔𝐓𝐎𝐓𝟐^ =

∑ 𝐲𝐢𝟐^ 𝐧.𝐣 − 𝐘̅𝟐^ ;

Medie parziali di Y: 𝐲̅𝐢 =

Varianze parziali: 𝛔𝐘𝟐^ = ∑(𝐲𝐢 − 𝐲̅𝐢)𝟐^ 𝐧𝐢𝐣 =

𝐧𝐢.^ ∑ 𝐲𝐢

𝐧.𝐣^ ∑ 𝐱𝐣

Varianza residua: 𝛔𝐑𝟐^ =

𝐍 ∑ ∑(𝐲𝐢^ − 𝐲̂𝐣)

Varianza spiegata: 𝛔𝐒𝟐^ =

𝐍 ∑(𝐲̂𝐣^ − 𝐲̅)

𝛔𝐍𝟐^ =

𝐧.𝐉^ ∑ 𝐱𝐣

𝐍 ∑(𝐱̅𝐢^ − 𝐱̅) 𝐧.𝐣

Retta ai minimi quadrati :

𝐍 ∑^ 𝐱𝐢

𝐢=𝟏 ;^ 𝐘̅ =^

𝐍 ∑^ 𝐲𝐢

𝐢=𝟏 𝐕𝐚𝐫(𝐗) =^

𝐍 ∑^ 𝐱𝐢

𝐢=𝟏 𝐂𝐨𝐯(𝐗) =^

𝐍 ∑^ 𝐱𝐢𝐲𝐢^ −

Bontà di adattamento della retta ai minimi quadrati: 𝐈𝐝𝟐^ =

∑ 𝐍𝐢=𝟏 𝐲𝐢𝟐^ − 𝐲̅𝟐 𝐕𝐚𝐫(𝐗) = 𝟏

∑ 𝐍𝐢=𝟏𝐱𝐢𝟐^ − 𝐱̅𝟐

BONTA’ DI ADATTAMENTO :

Varianza spiegata =

∑ 𝐍𝐢=𝟏( 𝐲̂𝐢 − 𝐲̅)𝟐^ =

∑ 𝐍𝐢=𝟏 𝐲̂𝐢𝟐^ −𝐲̅𝟐

∑ 𝐍𝐢=𝟏 𝐲𝐢𝟐^ − 𝐲̅𝟐 ; 𝐈𝐝𝟐^ =

α̂ 1 → la retta di regressione prevede per la variabile y il valore medio “tot” in corrispondenza di x=

α̂ 0 → all’incremento di 1 unità di X, il valore medio di Y aumenta di “tot”

Mortara → la connessione tra i 2 caratteri è pari al “tot%”, ovvero le frequenze effettive differiscono in

media da quelle teoriche circa del “tot%” del valore di queste ultime

r(X, Y) → il coefficiente di correlazione è un coefficiente relativo, cioè privo di unità di misura. C’è una

lieve/discreta/forte correlazione positiva/negativa fra le variabili X e Y

R → se si ha trasferimento concentrativo dal più povero al più ricco, allora c’è un aumento dell’indice di

concentrazione.

η(Y|X)^2 → la variabilità fra le medie parziali rappresenta il “tot%” della variabilità totale. L’indice è pari al

“tot%” del suo massimo valore assumibile.

Paese A B C

Y

X

𝐲̂𝐢 𝐲̂𝐢𝟐^ 𝐲𝐢^ 𝟐

totale totale