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ESERCIZI ALGEBRA LINEARE
VETTORI
- Somma di due vettori •
Dati:
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Calcolo della somma
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑐𝑐
- Calcolo del modulo(norma) di un vettore •
Dati:
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Calcolo della norma
𝑎𝑎
2
𝑏𝑏
2
𝑐𝑐
2
- Normalizzare un vettore •
Dati:
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Calcolo la norma
𝑎𝑎
2
𝑏𝑏
𝑐𝑐
2
Normalizzo il vettore
- Prodotto di un vettore per uno scalare •
Dati:
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Calcolo del prodotto scalare
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
- Combinazione lineare di due vettori •
Dati:
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Combinazione lineare
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Nota
Avendo due vettori dati per trovare la formula generale dei vettori complanari si usa la combinazione
lineare.
- Prodotto scalare •
Dati:
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Calcolo la norma
𝑎𝑎
2
𝑏𝑏
𝑐𝑐
2
𝑎𝑎
2
𝑏𝑏
2
𝑐𝑐
2
Calcolo il prodotto scalare
〈𝑢𝑢�⃗ , 𝑣𝑣⃗〉 = 𝑢𝑢�⃗ ∙ 𝑣𝑣⃗ → ‖𝑢𝑢�⃗ ‖ ∙ ‖𝑣𝑣⃗‖ ∙ cos (𝑢𝑢�⃗ 𝑣𝑣⃗
Nota
- Bisogna prendere l’angolo più piccolo.
2
= 0 → Condizione di ortogonalità
Inoltre
cos�𝑢𝑢�⃗ 𝑣𝑣⃗
Nota
2
= 1 se 𝑢𝑢�⃗ , 𝑢𝑢�⃗ e 𝑢𝑢�⃗ + 𝑣𝑣⃗ sono versori
- Angolo acuto < 90
- Angolo ottuso > 90 - Prodotto scalare in componenti •
Dati:
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Calcolo del prodotto scalare in componenti
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑐𝑐
- Prodotto vettoriale con il determinante (restituisce un vettore) •
Dati:
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Calcolo del prodotto vettoriale
𝑢𝑢�⃗ × 𝑣𝑣⃗ = �
1
1
2
2
3
3
2
2
3
3
1
1
3
3
1
1
2
2
2
3
2
3
1
3
1
3
1
2
1
2
Nota
𝑢𝑢�⃗ × 𝑣𝑣⃗ corrisponde ad ottenere un vettore ortogonale al piano che contiene i due vettori
- Prodotto tra la norma di due vettori •
Dati:
1
2
3
1
2
3
Calcolo del prodotto scalare in componenti
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑐𝑐
Calcolo del prodotto tra la norma di due vettori
�⃗ × 𝑣𝑣⃗‖
2
2
2
2
‖𝑢𝑢�⃗ × 𝑣𝑣⃗‖ = �‖𝑢𝑢�⃗ ‖ ∙ ‖𝑣𝑣⃗‖ − (〈𝑢𝑢�⃗ , 𝑣𝑣⃗〉)
- Prodotto misto (restituisce uno scalare) •
Dati:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Calcolo del prodotto misto
�⃗ × 𝑣𝑣⃗, 𝑤𝑤��⃗
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
2
3
3
1
2
2
3
3
1
2
2
3
3
1
2
3
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
2
3
Nota
|〈𝑢𝑢�⃗ × 𝑣𝑣⃗, 𝑤𝑤��⃗ 〉| = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝐴𝐴𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝐴𝐴𝑝𝑝𝐴𝐴𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝐴𝐴𝑝𝑝𝑝𝑝
〈𝑢𝑢�⃗ × 𝑣𝑣⃗, 𝑥𝑥⃗ 〉 = �
1
1
1
2
2
2
3
3
3
� = 0 condizione per trovare vettori giacenti sullo stesso piano
- Calcolo dell’area di un triangolo avente le sue coordinate •
Dati:
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐵𝐵
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝐶𝐶
𝐶𝐶
Calcolo i lati 𝐴𝐴𝐵𝐵
e 𝐴𝐴𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝑧𝑧
1
2
3
𝐶𝐶
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝑧𝑧
1
2
3
Calcolo il prodotto vettoriale
𝑢𝑢�⃗ × 𝑣𝑣⃗ = �
1
1
2
2
3
3
2
2
3
3
1
1
3
3
1
1
2
2
2
3
2
3
1
3
1
3
1
2
1
2
Calcolo dell’area del triangolo utilizzando la norma
‖𝑢𝑢�⃗ × 𝑣𝑣⃗‖ = �𝑢𝑢
2
3
2
3
2
1
3
1
3
2
1
2
1
2
2
- Calcolo del volume di un tetraedro avente le sue coordinate •
Dati:
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐵𝐵
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝐶𝐶
𝐶𝐶
𝐷𝐷
𝐷𝐷
𝐷𝐷
Calcolo i lati 𝐴𝐴𝐵𝐵
e 𝐴𝐴𝐷𝐷
𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝑧𝑧
1
2
3
𝐶𝐶
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝑧𝑧
1
2
3
𝐷𝐷
𝐴𝐴
𝐷𝐷
𝐴𝐴
𝐷𝐷
𝑧𝑧
1
2
3
Calcolo il volume del tetraedro con il prodotto misto
〈𝑢𝑢�⃗ × 𝑣𝑣⃗, 𝑤𝑤��⃗ 〉 = �
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
2
3
3
1
2
2
3
3
1
2
2
3
3
1
2
3
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
2
3
Il risultato va diviso per 6
- Determinare un valore α tale che i tre vettori siano complanari •
Dati:
1
2
3
1
2
3
2
3
Prodotto misto
