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Riassunto Statistica - Capitoli 3-
Capitolo 3: Misure di tendenza centrale e variabilità
- Media campionaria: x-bar = (Sum xi) / n
- Varianza: s^2 = Sum(xi - x-bar)^2 / (n-1)
- Deviazione standard: s = sqrt(s^2)
- Percentili, quartili e z-score
- Coefficiente di variazione: CV = (s / x-bar) x 100
Capitolo 4: Concetti di probabilità
- Probabilità di un evento: P(A) = Favorable Outcomes / Total Outcomes
- Combinazioni: C(n, x) = n! / [x!(n-x)!]
Capitolo 5: Distribuzioni di probabilità discrete
- Valore atteso: E(X) = Sum[xi x P(xi)]
- Varianza: Var(X) = Sum[P(xi) x (xi - E(X))^2]
- Distribuzioni principali:
- Binomiale: P(X = k) = C(n, k)p^k(1-p)^(n-k)
- Poisson: P(X = k) = (lambda^k e^(-lambda)) / k!
Capitolo 6: Distribuzioni di probabilità continue
- PDF Normale: f(x) = (1 / sqrt(2pi*sigma^2)) x e^(-(x-mu)^2 / 2sigma^2)
- Teorema del limite centrale: per grandi n, la media campionaria segue una distribuzione normale.
Capitolo 7: Campionamento e distribuzioni campionarie
- Media campionaria x-bar come stimatore della media mu
- Errore standard: SE = sigma / sqrt(n)
- Distribuzione della media campionaria approssima la normale per n -> infinity
Capitolo 8: Intervalli di confidenza
- Intervallo per la media: x-bar +/- z x (s / sqrt(n))
- Intervallo per la proporzione: p +/- z sqrt[p(1-p)/n]
Capitolo 9: Confronto tra due medie
- Differenza tra medie: t = (x-bar1 - x-bar2) / sqrt(s1^2/n1 + s2^2/n2)
Capitolo 10: Test di ipotesi
- Test z: z = (x-bar - mu0) / (sigma / sqrt(n))
- Test t per piccoli campioni
- Valori critici da tabelle per test a una o due code
- Simmetria: La distribuzione normale standard è simmetrica rispetto a z=0z = 0z=0, quindi: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)Φ(−z)=1−Φ(z)
- Valori importanti: ○ Φ(0)=0.5\Phi(0) = 0.5Φ(0)=0.5: La probabilità cumulativa fino alla media. ○ Φ(∞)=1\Phi(\infty) = 1Φ(∞)=1: La probabilità cumulativa fino a +∞+\infty+∞. ○ Φ(−∞)=0\Phi(-\infty) = 0Φ(−∞)=0: La probabilità cumulativa fino a −∞-\infty−∞.
Alcuni esercizi d’esame
- Probabilità condizionata La probabilità che i tassi di interesse sui mutui per la casa aumentino nei prossimi 6 mesi è stimata essere pari a 0.20. La probabilità che le vendite immobiliari diminuiscano è stimata essere pari a 0.6. La probabilità che i tassi di interesse aumentino e le vendite immobiliari diminuiscano è stimata essere pari a 0.15. La probabilità che le vendite immobiliari diminuiranno a causa del fatto che i tassi di interesse saliranno è: Indichiamo: ● AAA: l'evento che i tassi di interesse sui mutui aumentino nei prossimi 6 mesi. ● BBB: l'evento che le vendite immobiliari diminuiscano. Ci viene dato: ● P(A)=0.20P(A) = 0.20P(A)=0. ● P(B)=0.60P(B) = 0.60P(B)=0. ● P(A∩B)=0.15P(A \cap B) = 0.15P(A∩B)=0. La probabilità condizionata che vogliamo trovare è P(B∣A)P(B | A)P(B∣A), ossia la probabilità che le vendite diminuiscano dato che i tassi di interesse aumentano. La formula della probabilità condizionata è: P(B∣A)=P(A∩B)P(A)P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(A∩B)
Calcolo
Sostituendo i valori forniti: P(B∣A)=P(A∩B)P(A)=0.150.20=0.75P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.15}{0.20} = 0.75P(B∣A)=P(A)P(A∩B)=0.200.15=0.
Risultato Finale
La probabilità che le vendite immobiliari diminuiranno dato che i tassi di interesse sui mutui aumenteranno è 0.750.750.75, ovvero il 75%.
- Teorema di Bayes Da una popolazione casuale si sa che il 9% di essi sono sieropositivi. Si sa inoltre che il test identifica correttamente le condizioni della persona (sieropositiva o meno) nel 62% dei casi. Qual è la probabilità di sieropositività condizionata al fatto che il test sia positivo?
Passo 2: Applicazione del teorema di Bayes
Ora possiamo calcolare P(S∣Test positivo)P(S | \text{Test positivo})P(S∣Test positivo) usando il teorema di Bayes: P(S∣Test positivo)=P(Test positivo∣S)⋅P(S)P(Test positivo)P(S | \text{Test positivo}) = \frac{P(\text{Test positivo} | S) \cdot P(S)}{P(\text{Test positivo})}P(S∣Test positivo)=P(Test positivo)P(Test positivo∣S)⋅P(S) Sostituendo i valori calcolati: P(S∣Test positivo)=0.62⋅0.090.4016=0.05580.4016P(S | \text{Test positivo}) = \frac{0.62 \cdot 0.09}{0.4016} = \frac{0.0558}{0.4016}P(S∣Test positivo)=0.40160.62⋅0.09=0.40160. Calcoliamo il risultato finale: P(S∣Test positivo)≈0.139P(S | \text{Test positivo}) \approx 0.139P(S∣Test positivo)≈0.
Risultato Finale
La probabilità che una persona sia sieropositiva dato che il test è risultato positivo è circa 0.1390.1390.139 o il 13.9%. Es 3) Valore Atteso Un concessionario vende ogni giorno da 0 a 5 auto con le seguenti probabilità: Il valore atteso (o media) di una variabile casuale discreta è dato dalla somma dei prodotti tra ciascun valore possibile della variabile e la sua probabilità. Nel nostro caso, la variabile casuale XXX rappresenta il numero di auto vendute in un giorno, e le probabilità associate sono le seguenti: Auto vendute (XXX) 0 1 2 3 4 5 Probabilità (P(X)P(X)P(X))
Il valore atteso E(X)E(X)E(X) è dato dalla formula: E(X)=∑i=05xi⋅P(X=xi)E(X) = \sum_{i=0}^5 x_i \cdot P(X = x_i)E(X)=i=0∑5xi⋅P(X=xi)
Calcolo
E(X)=0+0.11+0.22+0.48+1.04+1.30=3.15E(X) = 0 + 0.11 + 0.22 + 0.48 + 1.04 + 1.30 =
3.15E(X)=0+0.11+0.22+0.48+1.04+1.30=3.
Risultato Finale
Il valore atteso del numero di auto vendute in un giorno è E(X)=3.15E(X) = 3.15E(X)=3.15. Domanda 4) cos’è la deviazione standard? La deviazione standard σ\sigmaσ di una variabile aleatoria discreta è la radice quadrata con segno positivo della sua varianza. Per una variabile aleatoria discreta XXX con valore atteso E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ, la varianza σ2\sigma^2σ2 è data da: σ2=E[(X−μ)2]=∑i(xi−μ)2⋅P(X=xi)\sigma^2 = E[(X - \mu)^2] = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)σ2=E[(X−μ)2]=i∑(xi−μ)2⋅P(X=xi) Quindi, la deviazione standard σ\sigmaσ è: σ=σ2=E[(X−μ)2]\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{E[(X - \mu)^2]}σ=σ2=E[(X−μ)2] In sintesi: La deviazione standard σ\sigmaσ è la radice quadrata della varianza di XXX. Domanda 5) Cos’è la media condizionata? media condizionata di una variabile aleatoria XXX dato un evento BBB (o un’altra variabile aleatoria YYY) rappresenta il valore atteso di XXX quando sappiamo che BBB si è verificato (o quando Y=yY = yY=y).
Caso 1: Media Condizionata dato un Evento BBB
Se abbiamo una variabile aleatoria XXX e un evento BBB con P(B)>0P(B) > 0P(B)>0, la media condizionata di XXX dato BBB, indicata come E(X∣B)E(X | B)E(X∣B), è calcolata come: E(X∣B)=∑ixi⋅P(X=xi∣B)E(X | B) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i | B)E(X∣B)=i∑xi⋅P(X=xi∣B) dove P(X=xi∣B)P(X = x_i | B)P(X=xi∣B) è la probabilità condizionata di X=xiX = x_iX=xi dato l'evento BBB. Un'altra versione equivalente della formula è:
● n=10n = 10n=10 (numero di persone) ● p=0.4p = 0.4p=0.4 (probabilità che una persona prenda il raffreddore) ● 1−p=0.61 - p = 0.61−p=0.
Calcolo della Deviazione Standard
Applichiamo la formula: σ=10⋅0.4⋅0.6\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.4 \cdot 0.6}σ=10⋅0.4⋅0. Calcoliamo il prodotto all'interno della radice quadrata:
- 10 ⋅0.4=410 \cdot 0.4 = 410⋅0.4=
- 4 ⋅0.6=2.44 \cdot 0.6 = 2.44⋅0.6=2. Quindi: σ=2.4≈1.55\sigma = \sqrt{2.4} \approx 1.55σ=2.4≈1.
Risultato Finale
La deviazione standard del numero di persone che prendono il raffreddore è circa σ≈1.55\sigma \approx 1.55σ≈1.55.
- Distribuzione di Poisson Mediamente si ricevono 2.6 email spam al giorno. Si ipotizzi che il numero di email spam ricevute ogni giorno segua la distribuzione di Poisson. Qual è la probabilità di ricevere esattamente 3 email spam nella giornata odierna? Se il numero di email spam ricevute ogni giorno segue una distribuzione di Poisson , la probabilità di ricevere esattamente kkk email spam in un giorno, dato un valore medio λ\lambdaλ, è data dalla formula: P(X=k)=λke−λk!P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}P(X=k)=k!λke−λ
Dati del Problema
● Il valore medio λ=2.6\lambda = 2.6λ=2. ● Numero di email spam ricevute desiderato k=3k = 3k=
Calcolo della Probabilità
Sostituiamo i valori nella formula:
P(X=3)=2.63⋅e−2.63!P(X = 3) = \frac{2.6^3 \cdot e^{-2.6}}{3!}P(X=3)=3!2.63⋅e−2. Calcoliamo ciascun termine separatamente:
- Calcolo di 2.632.6^32.63: 2.63=17.5762.6^3 = 17.5762.63=17.
- Calcolo di e−2.6e^{-2.6}e−2.6: (il valore approssimativo di e−2.6e^{-2.6}e−2.6 è circa 0.074270.074270.07427) e−2.6≈0.07427e^{-2.6} \approx 0.07427e−2.6≈0.
- Calcolo di 3!3!3!: 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 63!=3×2×1= Ora mettiamo tutto insieme: P(X=3)=17.576⋅0.074276P(X = 3) = \frac{17.576 \cdot 0.07427}{6}P(X=3)=617.576⋅0. Calcoliamo il prodotto e la divisione: P(X=3)≈1.304976≈0.2175P(X = 3) \approx \frac{1.30497}{6} \approx 0.2175P(X=3)≈61.30497≈0.
Risultato Finale
La probabilità di ricevere esattamente 3 email spam nella giornata odierna è circa P(X=3)≈0.2175P(X = 3) \approx 0.2175P(X=3)≈0.2175, ovvero il 21.75%.
Tabella Z
