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Formulario di Fisica: Elettromagnetismo
Lorenzo Caprini - Chiara Ciano
31 maggio 2016
1 Elettrostatica
- Forza elettrostatica tra due cariche, q 1
e q 2
, puntiformi a distanza r:
F =
0
q 1
q 2
r
2
r,ˆ ✏ 0
12
C
2
N · m
2
- Densitá di carica di volume ⇢, di superficie e lineare :
dq
dV
dq
dS
dq
dl
- Campo elettrico generato da una sorgente di carica Q puntiforme, in un punto A a distanza r :
E =
F
q
0
Q
r
2
ˆr, [
E] =
N
C
V
m
- Flusso del campo elettrico attraverso una superficie, A, orientata:
E)
A
Z
A
E(~r) · n dSˆ (4)
- Se il campo é parallelo alla normale alla superficie:
E)
A
Z
A
E(~r)|dS (5)
E)
A = |E(~r)| S (6)
- Teorema di Gauss (flusso di E attraverso una superficie chiusa)
(E)
A
I
A
E(~r) · ˆn dS =
Q
int
0
n ˆ é uscente
- Esempi di campi elettrici
- Campo elettrico da una sfera carica in un punto P INTERNO a distanza r< raggio, R (carica distribuita
all’interno del volume):
E(r) =
⇢~r
0
- Campo elettrico da una sfera carica in un punto P INTERNO a distanza r< raggio, R (carica distribuita
SOLO sulla superficie):
E(r) = 0 (9)
- Campo elettrico da una sfera carica in un punto P ESTERNO a distanza r (r é la distanza tra il centro
della sfera e il punto):
E(r) =
0
Q
r
2
ˆr (10)
- Campo elettrico da un filo infinito in un punto P a distanza r:
E(r) =
0
r
rˆ (11)
- Campo elettrico da una lamina infinita:
E =
0
n ˆ (12)
- Lavoro della forza elettrostatica
L
AB
Z
B
A
F
e
· d~s = q
Z
B
A
E · d~s = U
e
AB
- Energia potenziale e potenziale elettrico
U
e
AB
= q V AB
V
AB
= V
B
V
A
Z
B
A
E · d~s (15)
- Esempi di potenziali elettrici (considerando l’altro punto all’infinito ) V( 1 )=0)
- Potenziale elettrico da una carica puntiforme Q in un punto che si trovi a distanza r dalla carica:
V (r) =
0
Q
r
- Potenziale elettrico da una sfera carica in un punto P INTERNO a distanza r< raggio, R (carica distribuita
all’interno del volume):
V (r) =
0
Q
2 R
r
2
R
2
- Potenziale elettrico da una sfera carica in un punto P ESTERNO a distanza r (r é la distanza tra il centro
della sfera e il punto):
V (r) =
0
Q
r
- Potenziale elettrico da un filo infinito in un punto P a distanza r:
V (r) =
0
ln r (19)
- Potenziale elettrico da una lamina infinita:
V (x) =
0
· x (20)
- Alcune proprietá dei conduttori:
E
int
= 0 =) V
int
= V
sup
= cost (21)
T eorema di Coulomb )
E =
0
· nˆ (22)
Conduttore cavo ) Q int
E = 0, V
int
= V
superf icie = cost (23)
C =
Q
V
[C] =
C
V
= F (F arad) (24)
- capacitá elettrostatica di un conduttore sferico di raggio R:
C = 4⇡✏
0
R (25)
- capacitá di un condensatore piano con le armature di superficie S e poste a distanza d:
C = ✏
0
S
d
3 Magnetismo
- Campo magnetico generato da un filo infinito rettilineo percorso da corrente elettrica i (legge di Biot-Savart):
B =
μ 0
i
r
` ⇥ rˆ =) μ 0
7
N
A
2
` versore che indica la direzione della corrente elettrica
[B] =
N
A · m
= T (T esla) oppure [B] = G (Gauss) ) 1 G = 10
4
T (42)
- Campo magnetico generato da un circuito di forma qualsiasi considerando un tratto di filo
dl percorso da corrente
i e un vettore ~r che unisce dl al punto in cui si vuole calcolare il campo (Prima Legge di Laplace):
d
B =
μ 0
i
r
3
dl ⇥ ~r (43)
- Seconda legge di Laplace: la forza magnetica generata da un tratto di circuito di lunghezza infinitesima dl
percorso da una corrente i
d
F
magn = i
dl ⇥
B (44)
- Nel caso di un tratto di circuito di lunghezza L l’espressione diventa:
F
magn
= i
L ⇥
B (45)
- La forza esercitata tra due fili posti a distanza d in cui scorrono due correnti i 1
e i 2
, rispettivamente:
F
L
μ 0 i 1 i 2
2 ⇡d
rˆ (46)
il segno - indica che la forza é attrattiva se le due correnti scorrono nello stesso verso; se le correnti scorrono
in verso opposto la forza é repulsiva
- Campo magnetico al centro di una spira circolare di raggio r in cui scorre una corrente i:
B = μ 0
i
2 r
- Teorema di Gauss per il campo magnetico
B)
A,chiusa
I
A
B · ˆn dA = 0 ) [ (
B)] = W b (W eber) (48)
- Teorema di Ampere: la circuitazione del vettore
B lungo una linea chiusa orientata l é
C =
I
l
B ·
ds = μ 0
i (49)
- Generalizzazione del teorema di Ampere a tutte le correnti concatenate alla linea:
C = μ 0
X
k
i k
- Campo magnetico di un solenoide infinito costituito da n spire per unitá di lunghezza
- Campo esterno al solenoide:
B = 0 (51)
- Campo interno al solenoide (parallelo all’asse del solenoide):
B = μ 0 in (52)
- Campo magnetico di un toroide costituito da N spire
- Campo esterno al toroide:
B = 0 (53)
- Campo interno al toroide (parallelo all’asse del toroide):
B =
μ 0 N i
2 ⇡r
- Forza di Lorentz su una carica q che si muove con velocitá v sottoposta ad un campo magnetico B
F
L
= q~v ⇥
B (55)
- La forza di Lorentz non compie lavoro perché é sempre ortogonale alla velocitá e quindi alla direzione del
moto.
- Se B é perpendicolare a v la forza di Lorentz é diretta radialmente e la particella compie un moto circolare
uniforme. (v=cost)
raggio della traiettoria percorsa ) r L
mv ?
|q|B
Il raggio dipende solo dal modulo della carica; il segno della carica determina il verso in cui viene deflessa la
particella: circonferenza percorsa in senso orario (carica positiva), antiorario (negativa) intorno alle linee di forza
del campo magnetico.
velocita
0
angolare del moto circolare )! =
|q|B
m
periodo del moto circolare ) T =
2 ⇡m
|q|B
4 Equazioni di Maxwell
E)
A
I
A
E(~r) · ˆn dA =
Q
int
0
B)
A,chiusa
I
A
B · ˆn dA = 0 (60)
I
l
E ·
ds =
d (
B)
dt
I
l
B ·
ds = μ 0 i conc
0 μ 0
d (
E)
dt
Se i campi sono statici (per esempio si é in condizioni di correnti costanti e il campo elettrico non é variabile) le
equazioni di Maxwell sono stazionarie e le formule della circuitazione dei campi cambiano nel seguente modo:
I
l
E ·
ds = 0 (63)
I
l
B ·
ds = μ 0
i conc
