Formulario FAMP (Probabilità)
Probabilità dell’unione di eventi
Dati tre eventi A, B e C di Ω. Definiamo la probabilità dell’unione di due eventi come:
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)
Nel caso di tre eventi avremo invece:
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(C∩B) + P(A∩B∩C)
Eventi indipendenti
Due eventi A e B di Ωsi dicono indipendenti se per loro vale:
P(A∩B) = P(A)P(B)
Attenzione a non confondere eventi indipendenti con eventi incompatibili! Se due eventi sono tali che uno dei due
esclude l’altro, allora questi si dicono incompatibili:
P(A∩B)=0
Due eventi di questo tipo sono eventi che possono essere incompatibili ma non necessariamente indipendenti
(spesso non lo sono). Un caso particolare è il caso in cui uno dei due eventi è l’evento impossibile ossia un evento
con probabilità sempre nulla. In questo caso i due eventi sono anche indipendenti. Se entrambi gli eventi hanno una
probabilità P(A), P (B)>0e risutano incompatibili, allora devono essere per forza dipendenti.
Probabilità condizionata
Dati due eventi A e B di Ω, si definisce la probabilità di A noto che è accaduto B come:
P(A|B) = P(A∩B)
P(B)
Probabilità totale
Dati un evento A di Ωe n eventi Fkdi Ωtali che PFk≡ΩeFk∩Fj=per ogni k=j, è possibile descrivere la
probabilità P(A) come:
P(A) = P(A|F1)P(F1) + P(A|F1)P(F1) + · · · +P(A|Fn)P(Fn)
Formula di Bayes (o formula di inversione)
Dati un evento A e B di Ωil teorema di Bayes stabilisce che:
P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B)
Variabile aleatoria di Bernoulli
La distribuzione di Bernoulli è una distribuzione di probabilità che descrive un evento i cui esiti possono solo dare
un esito binario (X=0 o X=1). Esempi di una v.a. descritta da una distribuzione Bernulliana sono il lancio di una
moneta o la possibilità che oggi piova o no. Si può usare una v.a. descritta con distribuzione di Bernoulli in qualsiasi
caso si possa suddividere l’evento indagato in due eventi complementari l’uno all’altro indipendentemente dal numero
di esiti elementari contenuti nei due eventi. Ad esempio, scegliendo a caso una vernice per le pareti di casa tra 10
colori diversi può essere modellato utilizzando una v.a. di Bernoulli se si considerano i casi: "Probabilità di scegliere
una vernice verde" o "Probabilità di scegliere una vernice verde o blu" poichè tutti questi eventi sono binari.
1
