Formulario di Matematica
Funzioni
- Definizione: associazione tra due insiemi A e B che ad ogni x in A associa uno ed un solo y in B.
- Dominio: insieme dei valori ammessi per x.
- Proprietà principali: crescente, decrescente, pari, dispari, periodica.
Limiti
- Definizione intuitiva: il valore a cui tende una funzione quando x si avvicina ad un certo punto.
- Casi principali: limiti finiti, infiniti, all'infinito.
- Forme indeterminate: 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞, 0^0, 1^∞, ∞^0.
- Limiti notevoli:
lim (x→0) (sin x)/x = 1
lim (x→∞) (1 + 1/x)^x = e
Continuità
Una funzione f(x) è continua in un punto a se:
1. f(a) è definita.
2. lim (x→a) f(x) esiste.
3. lim (x→a) f(x) = f(a).
Derivate
- Definizione: f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)]/h
- Significato geometrico: coefficiente angolare della tangente.
- Regole principali:
(c)' = 0
(x^n)' = n·x^(n-1)
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(e^x)' = e^x
(ln x)' = 1/x
- Applicazioni: crescita/decrescita, massimi/minimi, concavità, flessi.
Integrali
- Integrale indefinito: ∫ f(x) dx = F(x) + C con F'(x) = f(x).
- Integrale definito: ∫[a,b] f(x) dx → area sotto la curva.
- Teorema fondamentale del calcolo integrale: ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a).
Serie numeriche
- Serie = somma di una successione: Σ a_n.
- Convergenza: la somma tende a un valore finito.
- Serie geometrica: Σ q^n = 1/(1-q), con |q| < 1.
