1. Calcolo Combinatorio
++ Permutazioni Semplici: (dove ) .
Utilità: Calcolare in quanti modi diversi si possono ordinare oggetti distinti . (Es: In quanti
modi 5 persone possono sedersi su 5 sedie ).
++ Disposizioni Semplici: .
Utilità: Calcolare quanti gruppi ordinati di elementi si possono estrarre da un insieme di
elementi, senza ripetizione . (Es: Formare un podio di 1°, 2° e 3° classificato scegliendo tra 10
atleti ).
++ Combinazioni Semplici (Coefficiente Binomiale): .
Utilità: Calcolare quanti sottoinsiemi non ordinati di elementi si possono formare da un insieme
di elementi . (Es: Estrarre 3 palline contemporaneamente da un'urna che ne contiene 10 ).
2. Teoria degli Insiemi e Probabilità di Base
++ Legge di Laplace: .
Utilità: Calcolare la probabilità in uno spazio in cui tutti i singoli esiti sono ugualmente probabili
. (Es: Probabilità di ottenere un numero pari lanciando un dado perfetto ).
Probabilità dell'unione (Legge additiva per due eventi):
.
Utilità: Calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno tra due eventi, evitando di contare due
volte gli elementi comuni . (Es: Probabilità che un cliente compri il prodotto A oppure il
prodotto B ).
Legge del Complementare: .
Utilità: Calcolare indirettamente la probabilità di un evento ragionando sul suo opposto, utilissimo
per frasi come "almeno uno" ( ) .
Probabilità della differenza (Intersezione con il complementare):
.
Utilità: Calcolare la probabilità che si verifichi un evento A ma escludendo contemporaneamente
un evento B . (Es: Probabilità di avere la carta di credito A ma non la carta B ).
++ Leggi di De Morgan: ; .
Utilità: Esprimere la negazione logica di intersezioni e unioni . (Es: "Non è vero che sono sia
studente sia lavoratore" equivale a "Non sono studente OPPURE non sono lavoratore" ).
Probabilità Condizionata: .
Utilità: Aggiornare e ricalcolare la probabilità di un evento A alla luce del fatto che un evento B si
è già verificato o è certo . (Es: Probabilità che una scatola contenga pezzi difettosi sapendo
che è esteriormente danneggiata ).
Legge della Probabilità Totale: .
Utilità: Calcolare la probabilità globale di un evento A spezzando il problema in tutti gli
scenari/cause possibili e mutuamente esclusivi (partizioni) . (Es: Calcolare la difettosità totale
P =
nn!n! = n⋅(n− 1) ⋅... ⋅1
n
D =
n,k
(n−k)!
n!
k n
=(k
n)
k!(n−k)!
n!
k
n
P(A) =
Casi possibili
Casi favorevoli
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
P(A) =
c1 − P(A)
1 − P(nessuno)
P(A∩B) =
cP(A) − P(A∩
B)
(A∪B) =
cA∩
cBc(A∩B) =
cA∪
cBc
P(A∣B) =
P(B)
P(A∩B)
P(A) = P(A∣B)P(B) + P(A∣B)P(B)
c c
dei pezzi pescando da due o più fabbriche diverse ).
Teorema di Bayes: .
Utilità: Permette di "invertire" la condizione, calcolando la probabilità di una causa "a posteriori"
avendo osservato l'effetto . (Es: Avendo pescato un pezzo difettoso, qual è la probabilità che
provenga dall'officina 1? ).
3. Variabili Aleatorie, Valori Attesi e Varianza
++ Funzione Indicatrice (o Caratteristica): se , altrimenti . La sua media è
.
Utilità: Tradurre un evento insiemistico in una variabile aleatoria binaria, facilitando il calcolo del
valore atteso .
Condizione di Normalizzazione (Continua): (sostituire l'integrale con la sommatoria
nel caso discreto) .
Utilità: Imporre che l'area totale sotto la curva di densità (o la somma delle masse) faccia 1,
fondamentale per trovare parametri incogniti nei testi d'esame . (Es: Trovare il valore della
costante nella densità ).
Funzione di Ripartizione (F.d.R.) e Probabilità negli intervalli: .
Utilità: Calcolare rapidamente la probabilità che una variabile assuma valori all'interno di un range
usando la sua funzione accumulata .
++ Quantile di ordine ( ): Valore tale che .
Utilità: Trovare il valore della variabile sotto il quale si accumula un'esatta percentuale di
probabilità . (Es: La mediana è il caso specifico in cui ).
Valore Atteso (Media per variabili continue): (sostituire con nel caso
discreto) .
Utilità: Calcolare il "baricentro" teorico della distribuzione, ovvero il valore medio atteso
ripetendo l'esperimento infinite volte .
Formula semplificata per la Varianza: .
Utilità: Calcolare l'indice di dispersione dei dati in modo molto più agevole usando il momento
secondo (calcolato come ) e sottraendogli il quadrato della media .
Proprietà lineari di Media e Varianza: e .
Utilità: Aggiornare media e varianza senza rifare integrali o somme quando la variabile subisce un
cambio di unità di misura, moltiplicazione o traslazione . (Es: convertire la varianza da euro a
centesimi moltiplicando per ).
4. Modelli di Distribuzione Specifici
++ Distribuzione di Bernoulli: , .
Utilità: Modellare un singolo esperimento che ammette solo due risultati (successo/fallimento) .
(Es: Lanciare una moneta truccata una singola volta ).
P(B∣A) =
P(A)
P(A∣B)P(B)
I (x) =
A1x∈A0
E[I ] =
AP(A)
f(x)dx =
∫−∞
+∞ 1
p(x ) =∑ i1
c f(x) = cx
P(a<X≤b) = F(b) − F(a)
α x
αP(X≤x ) =
α f (x)dx =∫−∞
x
α
Xα
α
α= 0.5
E[X] = xf(x)dx
∫−∞
+∞ x p(x )∑ i i
Var(X) = E[X] −
2(E[X])2
x f(x)dx∫2
E[aX +b] = aE[X] + b Var(aX +b) = a Var(X)
2
1002
X∼B(p)⇒E[X] = p Var(X) = p(1 − p)
++ Distribuzione Binomiale: con ,
.
Utilità: Calcolare la probabilità di ottenere esattamente successi ripetendo prove di Bernoulli
indipendenti . (Es: Probabilità di estrarre 3 pezzi difettosi controllandone 10 ).
++ Distribuzione Geometrica: .
Utilità: Calcolare il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo . (Es: Quanti
lanci di dado servono in media prima di far uscire un 6 ).
++ Distribuzione di Poisson: con .
Utilità: Modellare il numero di eventi rari che accadono in un intervallo di tempo o di spazio
prefissato . (Es: Numero di errori di battitura in una singola pagina ).
++ Distribuzione Uniforme Continua: in , con ,
.
Utilità: Modellare una variabile per cui tutti i valori all'interno di un certo intervallo sono
equiprobabili . (Es: Il tempo esatto in cui un treno passa tra le 10:00 e le 10:15 sapendo che non
ha orari fissi ).
Funzione di Ripartizione Esponenziale: (per ) .
Utilità: Consente di calcolare direttamente (senza fare l'integrale) la probabilità per modelli su
tempi di attesa o usura . (Es: Calcolare la probabilità che una lampadina al neon o un
macchinario duri meno di 10 anni ).
Standardizzazione della Gaussiana: .
Utilità: Convertire una qualsiasi variabile distribuita in modo Normale in una Normale Standard,
per poterne leggere i valori delle probabilità (la funzione ) sulle apposite tavole . (Es: Trovare
avendo media 30 e varianza 25, che diventa ).
5. Vettori Aleatori
++ Calcolo della Probabilità Marginale (da tabella congiunta):
.
Utilità: Ricavare le probabilità della singola variabile "schiacciando" la tabella congiunta
(sommando i valori di una riga o colonna) .
Covarianza: .
Utilità: Misurare matematicamente se due variabili tendono a crescere o decrescere insieme
(correlazione) . (Es: Stabilire se l'andamento della macchina A è correlato alla macchina B ).
++ Coefficiente di Correlazione Lineare ( ): (con ) .
Utilità: Avere un indice normalizzato e privo di unità di misura per quantificare la forza del legame
lineare tra due variabili (a differenza della covarianza che dipende dalla scala) .
Varianza della Somma/Differenza: .
Utilità: Determinare l'incertezza totale della combinazione di due variabili . (Nota: Se il testo
dell'esame dice che le variabili sono indipendenti, la Covarianza si annulla a zero ).
P(X=k) = p(1 −(k
n)kp)n−kE[X] = np Var(X) = np(1 − p)
k n
P(X=k) = p(1 − p)k−1
k
P(X=k) =
k!
e λ
−λ k E[X] = Var(X) = λ
f(x) =
b−a
1[a,b]E[X] =
2
a+bVar(X) =
12
(b−a)2
F(x) = 1 − e−λx x≥ 0
Z= ∼
σ
X−μN(0, 1)
Φ
P(X≤ 40) Φ( )
5
40−30
P(X=x ) =
i P(X=∑jx ,Y=
i
y
)
j
Cov(X,Y) = E[X Y ] − E[X]E[Y]
ρ Corr(X,Y) = ρ=
σ
⋅σ
X Y
Cov(X,Y)−1 ≤ ρ≤ 1
Var(X±Y) = Var(X) + Var(Y)± 2C ov(X,Y)
6. Teoremi Asintotici e Campionamento
Media e Varianza della Media Campionaria ( ): ; .
Utilità: Dimostrare che la media campionaria è uno stimatore corretto (non distorto) e che la sua
precisione aumenta all'aumentare del numero di rilevazioni .
Errore Quadratico Medio (MSE): .
Utilità: Valutare e confrontare l'efficienza di due o più stimatori incogniti (scegliendo quello con
MSE minore), combinando l'effetto della loro dispersione e della loro eventuale distorsione ( )
.
Disuguaglianza di Chebyshev: .
Utilità: Stimare un "tetto massimo" alla probabilità che un valore si discosti dalla propria media, in
tutti quei problemi in cui non è specificata la distribuzione (es. non sappiamo se è Gaussiana o
Poissoniana) .
++ Legge (Debole) dei Grandi Numeri: .
Utilità: Giustificare teoricamente che la media campionaria misurata tenderà in modo infallibile al
valore atteso reale della popolazione se raccogliamo abbastanza dati .
++ Approssimazioni tramite Teorema del Limite Centrale: (se
) ; (se ) .
Utilità: Passare al continuo e usare le tavole della Normale Standard per risolvere problemi con
variabili discrete e campioni molto grandi, in cui i calcoli del coefficiente binomiale o dei fattoriali
sarebbero impossibili .
7. Intervalli di Confidenza e Test d'Ipotesi
Intervallo di Confidenza per la Media (Varianza Nota, statistica ):
.
Utilità: Costruire un range di valori affidabili in cui ricade la vera media della popolazione,
utilizzando i quantili della normale . (Es: Stimare la durata media di un lotto di pneumatici
dichiarata dalla fabbrica ).
Intervallo di Confidenza per la Media (Varianza Ignota, statistica ):
.
Utilità: Costruire lo stesso intervallo ma approssimando la varianza tramite la deviazione standard
campionaria e utilizzando le tavole della T-Student (i cui gradi di libertà sono ) .
Regola di Rifiuto del Test Statistico (Test Bilaterale): Si rifiuta l'ipotesi nulla se
.
Utilità: Fornire il criterio matematico per respingere (o accettare) una dichiarazione a livello
industriale/medico alla luce di un campione . (Es: L'azienda afferma che la barra di metallo è
lunga in media 100 cm. Il test ci dice se l'oscillazione trovata nel campione è statisticamente
accettabile o anomala ).
++ Test Z per la Differenza tra due Medie (Varianze Note): .
X
ˉnE[ ] =X
ˉnμ Var( ) =X
ˉn
n
σ2
n
MSE(T) = Var(T) + (E[T] − θ)2
Bias
P(∣X−μ∣≥k) ≤ k2
Var(X)
lim P(∣ −
n→∞ X
ˉnμ∣>ϵ) = 0
Bin(n,p) ≈ N(np,np(1 − p))
np ≥ 5 P oisson(λ) ≈ N(λ,λ)λ≥ 20
Z I C =
−z ; + z [X
ˉ1−α/2
n
σX
ˉ1−α/2
n
σ]
Z
T IC =
−t ; + t [X
ˉn−1,1−α/2
n
SX
ˉn−1,1−α/2
n
S]
S n − 1
Z H
0 >
σ/n
−μ X
ˉ0z
α/2
Z =
oss
σ /n+σ /m
X
2
Y
2
−X
ˉY
ˉ
PCBIA
)
=
PCALB
)
PCB
)
DCAIBDPCBMDLAIBCJPCBC
)
eventi
indipendenti
se
D(A1
B)
=
P(A)D(B)
↑
se
continua
allarga
intervall
[
,
1
E
[
X
2
]
FCx
)
:
優
sexex
,
'
8
axcI
,
fonE
.
Oiripartizicne
PCAB)
=
1
PCAC
B)
:
complem
.
prob
.
condizionata
x
→
그
-X
-
-
X
=
Muar(x)
=
var(X)
4
seEEIT]
=
0
↳
valore
verc
stimatore
E
[
X
]
=
BvarCX
3
=
品
SeFU
=
)
BIT]
=
lEIT]
-
o
se
cousX
,
y)
=
0
=
indipendenti
E
[
XY
]
=
露
xYD
(
x
,
G
)
