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FORMULARIO DI STATISTICA
Indici statistici
Media aritmetica:
x=
∑
i= 1
n
x
i
n
Media aritmetica per distribuzione di classi
troviamo prima il valore centrale di ogni classe → x
i
estremo dx +estremo sx
x=
∑
i= 1
n
( x
i
∙ n
i
n
Mediana dipende dal numero delle osservazioni:
mediana=
x
n
2
+x
n
2
mediana=x
n+ 1
2
Quantile di ordine p dipende dal valore di
n ∙ p :
q
p
x
n∙ p
( n ∙ p
)
q
p
=x
( n ∙ p
)
Scarto quadratico:
Q=q
0,
−q
0,
Varianza:
s
2
n− 1
∑
i= 1
n
x
i
−x
2
Varianza per distribuzione di classi
s
2
∑
i = 1
n
x
i
−x
2
∙ n
i
n
Deviazione standard
s=√s
2
Coefficiente di varianza
CV =
s
|x|
Probabilità
Intersezione (e):
Pr ( A ∩ B)=Pr ( A )∙ Pr (B)
Unione (oppure):
se compatibili → Pr ( A ∪ B)=Pr ( A ) + Pr ( B)−Pr ( A ∩ B)
se incompatibli → Pr ( A ∪ B )=Pr ( A )+Pr (B)
Regola moltiplicativa:
n
1
∙ n
2
∙ n
3
Permutazione
n!
Permutazione di un insieme di oggetti in k distinte categoria
n!
n
1
! ∙ n
2
!∙ …∙ n
k
Permutazione di una parte degli n oggetti con ordine rilevante
n!
( n−r )!
Combinazioni Permutazione di una parte degli n oggetti con ordine NON rilevante
(
n
r
)
n!
r !∙ ( n−r )!
Definizione classica di probabilità
Casi favorevoli
Casi totali
Probabilità condizionata
Pr ( A|B )=
Pr ( A ∩ B)
Pr (B)
Pr ( A∨B)∙ Pr (A )
Pr
B
Teorema di Bayes
Pr
H
i
|
A
Pr ( H
i
) ∙ Pr ( A∨H
i
∑
i= 1
k
Pr ( A∨H
i
)∙ Pr ( H
i
Variabili casuali
Funzione di ripartizione:
F
x
( x ) =Pr ( X ≤ x ) =Pr { X ∈ (−∞ , x ] } OPPURE F
x
( x )= ∫
a
x
f (t)dt
Funzione di densità:
∂ x
F
x
( x ) → derivata funzione di ripartizione
Valore medio:
E ( x )=μ=¿
Varianza:
var
X
=σ
2
Scarto quadratico medio:
IPERGEOMETRICA
f
x ; N ,n , S
(
S
x
)
(
N −S
n−x
)
(
N
n
)
Andiamo ad indicare con:
- S i successi massimi possibili
- x numero dei successi
- N-S gli insuccessi massimi
- n-x numero degli insuccessi
- N tutti i casi possibili
- n casi osservati
POISSON x Po( λ)
f
x , λ
e
− λ
∙ λ
x
x!
Andiamo ad indicare con:
- x numero di eventi che si verificano in un determinato lasso di tempo
- λ media
Il valore medio e la varianza sono pari a:
E [ x ; λ ] =var [ x ; λ ]=λ
Approssimazione variabile Binomiale a variabile di Poisson:
condizione necessaria →
n
p
500 → X Bin (n , p)≈ Y Po( λ=n∙ p)
VARIABILE CASUALE UNIFORME
x U (α ; β )
f ( x ;α , β )=
{
β −α
→α < x <β
0 → altrove
}
Andiamo ad indicare con:
- x numero di eventi favorevoli
α limite inferiore
β limite superiore
Valore medio:
E [ x ; α , β ] =
α + β
Varianza:
var [ x ;α , β ] =
( β−α )
2
Funzione di ripartizione:
F
x
( x ; α , β )=
{
0 → x ≤α
x−α
β−α
→ α< x < β
1 → x ≥ β
Quantile di ordine p:
F
X
x
p
= p →
x
p
−α
β −α
= p→ risolvo per x
p
VARIABILE CASUALE NORMALE
x N (μ ; σ
2
Valore medio:
E [ x ; μ , σ
2
]=μ
Varianza:
var [ x ;μ , σ
2
]=σ
2
Data una VC normale standardizzata Z N ( μ= 0 , σ
2
= 1 ), per calcolare la probabilità utilizziamo le tavole
della normale, le quali indicano Pr ( X <x ).
Pr ( a≤ Z ≤ b) =Pr ( Z ≤ b)−Pr ( Z ≤ a)
Quantile di ordine p:
Pr
Z ≤ z
p
= p → vado a cercarenelle tavole il valore più vicino a p
Standardizzazione:
Pr ( X < A ) → Pr
X−μ
σ
A−μ
σ
→ Pr
Z <
A−μ
σ
Quantile di una VC distribuita con una normale NON standardizzata:
Pr
X <x
p
= p → Pr
Z <
x
p
−μ
σ
= p →
x
p
−μ
σ
=z
1 − p
→ per p< 0.
x
p
−μ
σ
=z
p
→ per p ≥ 0.
TEOREMA LIMITE CENTRALE
Condizioni necessarie:
n ≥
p
n ≥
1 −p
Se le condizioni sono rispettate, posso approssimare una variabile binomiale ad una variabile normale:
X Bin
n , p
→Y N ( μ=n ∙ p ;σ
2
=n∙ p ∙
1 −p
)
→ Pr ( X < A ) ≈ Pr
Y < ( A +0,5)
→ risolvo standardizzando
Il +0,5 lo aggiungo se la proprietà comprende =, se fosse stata solo < o > non sarebbe stato necessario
Variabili casuali doppie
f ( s , d )=Pr
{
x
1
, x
2
:h
x
1
, x
2
=( s , d )
}
Probabilità condizionata delle variabili casuali doppie
f ( Y = y|X =x )=
Pr ( Y = y ∩ X =x )
Pr ( X=x )
f ( y , x )
f ( x )
Questo cambia se le due VC sono indipendenti o dipendenti:
- =1 perfettamente dipendenti linearmente allineati in maniera CRESCENTE;
