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STATISTICA UNIVARIATA
CARATTERI
QUALITATIVI quando le modalità sono rappresentate da parole
● ordinati, misurati su scala ordinale presentano un ordinamento non arbitrario
● sconnessi, misurati su scala nominale sono tutti quei caratteri tra le cui modalità non
esiste un ordine
QUANTITATIVI quando le modalità sono rappresentate da numeri.
● discreti, quando il numero di modalità che può assumere è finito o numerabile
● continui, quando il numero di modalità è un’infinità non numerabile (classi)
AMPIEZZA CLASSE ( 𝑎 )
𝑗
- se c’è |- → è incluso l’estremo inferiore della classe →
𝑎 𝑗
- se c’è - → è tutto escluso → 𝑎 𝑗
FREQUENZE
- assolute: il numero di osservazioni che presentano una particolare modalità → 𝑛 𝑗
- relative → 𝑓 𝑗
𝑛𝑗 𝑛
𝑗
frequenze relative e percentuali si possono calcolare sempre.
- cumulate assolute → 𝑁 → il primo numero è uguale alla prima frequenza 𝑗
𝑗
𝑗−
assoluta, il secondo è uguale alla seconda nj + Nj prima.
𝑁𝑗
𝑛
- cumulate percentuali → 𝑃 𝑗
𝑗
frequenze cumulate NON si possono calcolare per i caratteri qualitativi sconnessi
NOTAZIONI
DISTRIBUZIONI
● di frequenza: ho come prima colonna le X (carattere, con le modalità) e come
seconda colonna le n (frequenze assolute)
● di quantità: ho come prima colonna le X e come seconda colonna le Q (quantità)
● serie storiche: ho come prima colonna la t (il tempo) e come seconda colonna le n
● serie territoriali: le rilevazioni riguardano lo studio di uno o più caratteri nella loro
distribuzione nello spazio
GRAFICI
● caratteri qualitativi:
❖ barre o nastri (la loro altezza è quanto la frequenza corrispondente) → solo
uno degli assi ha significato numerico
❖ torta → angolo al centro associato a ciascuna fetta 𝑔
𝑗
(𝑝𝑗 · 360)
100
● quantitativi discreti:
❖ grafico ad aste: asse ascisse modalità, asse ordinate frequenze.
● quantitativi continui (classi):
❖ istogramma: se le classi hanno ampiezza diversa devo calcolare la densità di
frequenza 𝑑 (modalità ascisse, densità di frequenza ordinate).
𝑗
𝑛𝑗
𝑎𝑗
formule inverse: 𝑛 e 𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑓𝑗
𝑎𝑗
● distribuzioni di quantità:
● serie storiche
- grafico con i picchi e unione puntini. Per confrontare gli andamenti per due
popolazioni diverse: 𝐼 o 𝑡
𝑋𝑡
𝑋𝑜
𝑡−
𝑋𝑡
𝑋𝑡−
● serie territoriali
INDICI TENDENZA CENTRALE
❏ MODA
valore tipico della distribuzione
posso individuarla SEMPRE
una distribuzione può avere nessuna, una o più mode
- carattere qualitativo o quantitativo discreto : Modalità con frequenza assoluta più
grande
- carattere quantitativo continuo (classi): Valore centrale della classe con densità di
frequenza più grande
Se il carattere è qualitativo dicotomico non ha troppo senso dire qual è la moda.
Se è bimodale (due mode) vuol dire che all’interno di n ci sono due sottogruppi.
4. funzione di perdita
𝑖=
𝑛
𝑖
2
5. proprietà associativa della media aritmetica 𝑋 =
1 𝑛 ℎ=
𝐿
ℎ
ℎ
6. trasformazione lineare 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋
➔ media ponderata
𝑋 1 ·𝑃1 + 𝑋 2 ·𝑃2 + 𝑋 3 ·𝑃3 + ... + 𝑋𝑛·𝑃𝑛
𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + ... + 𝑃𝑛
➔ media armonica
𝑗=
𝑘
𝑛 𝑗 𝑥 𝑗
➔ media geometrica
𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
1
2
𝑛
1 𝑛
➔ media potenziale
(𝑆)
1 𝑛 𝑗=
𝑘
𝑗
𝑠
𝑗
1 𝑆 𝑆^1 𝑛 𝑗=
𝑘
𝑗
𝑠
𝑗
𝑆 𝑐ℎ𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 − ∞ → 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 è 𝑢𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑖ù 𝑝𝑖𝑐𝑐𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑖 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑜𝑠𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖
𝑆 𝑐ℎ𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 + ∞ → 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 è 𝑖𝑙 𝑝𝑖ù 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑖 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖 𝑜𝑠𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖
❏ QUARTILI E PERCENTILI
VARIABILITÀ
è l'attitudine di un carattere a manifestarsi in diversi modi, ossia con diverse modalità.
● caratteri quantitativi
➔ range 𝑋 𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑖𝑛
➔ range interquartile 𝑄
3
➔ varianza
2
1 𝑛 𝑖=
𝑛
𝑖
2
da cui trovo lo scarto quadratico → σ =
1 𝑛 𝑖=
𝑛
𝑖
2
se si lavora con delle classi non avremo più xj ma al suo posto nella formula
useremo cj (valore centrale di ogni classe).
❖ varianza con frequenze assolute
2
1 𝑛 𝑗=
𝑘
𝑗
2
𝑗
❖ varianza con frequenze relative
2
1 𝑛 𝑗=
𝑘
𝑗
2
𝑛𝑗
𝑛
proprietà della varianza:
- σ SEMPRE! → se è 0 vuol dire che non c’è variabilità
2 ≥ 0
2. formula se ho la media con decimali σ
2
1 𝑛 𝑗=
𝑘
𝑗
2
𝑗
2
3. teorema di scomposizione della varianza σ
2
𝑀ℎ
2
ℎ
2
𝑀(σ → varianza within
ℎ
2
1 𝑛 ℎ=
𝐿
ℎ
2
ℎ
σ → varianza between
𝑀ℎ
2
1 𝑛 ℎ=
𝐿
ℎ
2
ℎ
4. proprietà della trasformazione lineare 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝑏
2
come confrontare la variabilità?
se hanno unità di misura diversa o grandezze diverse uso
- coefficiente di variazione
standardizzare
𝑍 =
𝑥
- la media di Z è sempre 0
- la varianza di Z è sempre 1
● caratteri qualitativi
- indice di Gini
𝐺 = , il risultato sta nel range
𝑘 𝑘− 𝑗=
𝑘
𝑗
𝑗
0 vuol dire che non c’è variabilità (quindi carattere omogeneo)
1 vuol dire che la variabilità è massima (eterogeneo)
STATISTICA BIVARIATA
➔ se 𝑛 (fatto per tutte le frequenze congiunte) allora i due
=
𝑖•
•𝑗
caratteri sono indipendenti → condizione di indipendenza (che è
sempre simmetrica)
➔ se 𝑛 allora i due caratteri sono dipendenti (legame)
≠
𝑖•
•𝑗
questo calcolo è detto in modo sintetico
𝑖•
•𝑗
𝑛
● grado di legame tra i due caratteri
si misura con χ → lo faccio per tutte le frequenze
=
𝑖=
∑
𝑗=
∑
𝑖𝑗
𝑖𝑗
)
2
𝑖𝑗
congiunte.
Il risultato che trovo con il chi-quadro devo classificarlo tra 0 e 1 (0 assenza di
legame e 1 legame forte)
χ
=
2
𝑚𝑎𝑥
2
dove χ
𝑚𝑎𝑥
2
= 𝑛 𝑚𝑖𝑛 𝐾 − 1[ ( ), (𝐻 − 1 )]
