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TEORIA MATEMATICA GENERALE
Sottospazi lineari. Un sottospazio lineare o vettoriale di S di R n è un sottoinsieme di R n tale che:
- ( x + y )∈ S , ∀ x ∈ S , ∀ y ∈ S (è chiuso rispetto all’addizione).
- λ x ∈ S , ∀ x ∈ S , ∀ λ∈ R (è chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalare). In R^3 abbiamo i seguenti sottospazi lineari:
- R^3 medesimo.
- Ogni vettore di R 3 che giace in un qualsiasi piano passante per 0.
- Ogni vettore di R 3 che giace in una qualsiasi retta passante per 0.
- Il vettore nullo [0] ossia l’origine. Vettori linearmente indipendenti. Dati x 1 , x 2 , ..., x m ∈ S ⊆ R n e λ 1 , λ 2 , ..., λm ∈ R chiamiamo la combinazione lineare dei vettori x 1 , x 2 ,..., x m con pesi o coefficienti λ 1 , λ 2 , ... , λ m : € x = λ 1 x^1 + λ 2 x^2 + ...+ λ m xm^ = λ i xi ∑ i
∈ S .
Se esistono degli scalari λ 1 , λ 2 ,..., λ m ∈ R non tutti nulli, tali che allora i vettori x 1 , x 2 , ..., x m sono linearmente dipendenti. Vettori linearmente dipendenti. Dati x 1 , x 2 , ..., x m ∈ S ⊆ R n e λ 1 , λ 2 , ..., λm ∈ R chiamiamo la combinazione lineare dei vettori x 1 , x 2 ,..., x m con pesi o coefficienti λ 1 , λ 2 , ... , λ m : € x = λ 1 x 1
- λ 2 x 2
- ...+ λ m x m = λ i x i ∑ i
∈ S.
Se è € λ i x i
= [ 0 ]
∑ (^) i solo con λ 1 = λ 2 = ... = λ m = 0, allora i vettori x 1 , x 2 , ..., x m sono linearmente indipendenti. Rango di una matrice. Il rango di una matrice A di ordine ( m , n ) è l’ordine massimo dei minori non nulli che da essa si possono estrarre. Il rango di A sarà un numero r se e solo se esiste almeno una sottomatrice quadrata di ordine r con determinante diverso da zero ed inoltre tutte le sottomatrici quadrate di ordine superiore hanno determinante nullo. Teoremi di Laplace.
- | A | è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.
- La somma dei prodotti degli elementi di una linea di A per i complementi algebrici degli elementi di posto corrispondente di un’altra linea parallela, è nulla. Teorema di Rouché-Capelli. Sia A di ordine ( m , n ) e rango pari a r , sia r ' il rango di A | B. Condizione necessaria e sufficiente affinché Ax = b ammetta soluzione è che r = r '. Se è r ' = r = n la soluzione è unica. Casi in cui il teorema è automaticamente verificato: a) r ( A ) = m (≤ n ), il rango di A è massimo e ogni b ∈ Rm^ può essere ottenuto dalla combinazione lineare delle colonne di A (sistemi normali). b) b = [ 0 ], ovviamente risulta r ( A ) = r ( A | B ) (sistemi omogenei) Nel caso che r ( A ) = r ( A | b ) = m = n , sono sistemi quadrati con | A | ≠ 0 e sono anche detti sistemi crameriani.
Teorema di Cramer. Sia Ax = b un sistema quadrato con A di ordine n e con | A | ≠ 0 , tale sistema ammette ∀ b ∈ R n l’unica soluzione: € xk = det( k^ )^ A det A , k = 1 ,2 , ... , n , ove det( k ) A è il determinante della matrice che si ottiene da A sostituendo la colonna Ak^ di A con il vettore b. Matrice inversa. Sia A quadrata di ordine n. Se esiste un’altra matrice quadrata tale che (matrice identica) allora B è la matrice inversa o reciproca di A e si indica con A
- 1 . Proprietà:
- , ( A e A –^1 commutano).
- A –^1 se esiste è unica (unicità).
- A (quadrata) ammette inversa se se solo se | A | ≠ 0 cioè se e solo se r ( A ) = n.
- (involutiva).
€
(^ A ')
− 1 = (^) ( A −^1 )'
- ( A e B quadrate entrambe invertibili).
- I
- 1 = I. Punto di accumulazione. Sia x 0 ∈ R n e sia A ⊆ R n . x 0 è un punto di accumulazione di A quando ogni intorno di x 0 contiene almeno un elemento di A distinto da x 0 . Punto isolato. Sia x^0 ∈ Rn^ e sia A ⊆ Rn. Se x^0 ∈ A non è di accumulazione di A dicesi punto isolato. Punto interno. Sia x 0 ∈ R n e sia A ⊆ R n . x 0 ∈ A è interno ad A se ∃ δ > 0 | Int( x 0 ,δ)∈ A. Punto esterno. Sia x^0 ∈ Rn^ e sia A ⊆ Rn. x^0 ∉ A è esterno ad A se ∃ δ > 0 | Int( x^0 ,δ)∩ A = ∅. Punto di frontiera. Sia x^0 ∈ Rn^ e sia A ⊆ Rn. x^0 è di frontiera per A se non è ne interno né esterno ad A. Definizione di limite. Sia f : T ⊆ R → R e sia x 0 (finito o no) un punto di accumulazione per il dominio T di f ( x ). Si dice che per x che tende a x 0 , f ( x ) tende a L (finito o no), cioè: € lim x → x 0 f ( x ) = L Se:
- preso ad arbitrio un intorno I ( L ) di L ,
- è possibile determinare in corrispondenza un intorno I ( x 0 ) di x 0
- in modo tale che per tutti i punti x ∈ I ( x 0 ) ∩ T e distinti di x 0
- risulta f ( x )∈ I ( L ).
Derivata. Se € lim Δ x → 0 Δ y 0 Δ x = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = L finito, allora^ L^ si chiama derivata di^ f^ ( x ) nel punto^ x 0 e si indica con f '( x 0 ). Se f ( x ) è derivabile in ogni punto dell’intervallo ( a , b ) vuol dire che esiste finito ∀ x ∈( a , b ): € lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f '( x ) , e allora f '( x ) è la derivata di f ( x ) nel generico punto x. Funzione derivabile in x 0. Sia f : R R. f ( x ) è una funzione derivabile in x 0 se: € lim h → 0 + f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h = lim h → 0 − f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h = c < +∞ Sia f ( x ) derivabile in x 0 ∈ T****. Dimostrare che f ( x ) è continua in x 0. Fare vedere che non vale il contrario. Sapendo che € lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f '( x 0 ) moltiplichiamo e dividiamo € f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 )per € Δ x ≠ 0 : € f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x
⋅ Δ x Calcoliamo i limiti di entrambi i membri: € lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f '( x 0 )e Allora sarà: € lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x
⋅ Δ x = f '( x 0 )⋅ 0 = 0 e quindi € lim Δ x → 0 { f^ ( x 0 +^ Δ x )^ −^ f^ ( x 0 )} =^0 Non vale il contrario, esempio quando si ha un punto angoloso, un punto con tangente verticale oppure una cuspide. Sia f ( x ) derivabile in x 0 ∈ ( a , b ). Dimostrare che f '( x ) > 0 è crescente in x 0. Fare vedere che non vale il contrario. Sapendo che € lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f '( x 0 ) Poniamo per cui: € lim Δ x → 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = L = f '( x 0 ) > 0 Allora € ∃ I ( x 0 ) | f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
0 , x ≠ x 0 Non vale il contrario, esempio quando si ha un punto di flesso in un tratto crescente della funzione. Punto di massimo relativo. Sia f : R R, f ( x ) con dominio R. x 0 è punto di massimo relativo per f se esiste un intorno Int( x 0 ,δ) tale che per ogni x appartenente a Int( x 0 ,δ) risulta che € f ( x ) ≤ f ( x 0 ). Punto di minimo relativo. Sia f : R R, f ( x ) con dominio R. x 0 è punto di minimo relativo per f se esiste un intorno Int( x 0 ,δ) tale che per ogni x appartenente a Int( x 0 ,δ) risulta che € f ( x ) ≥ f ( x 0 ).
Teorema di Fermat. Ipotesi:1) f ( x ) derivabile in x 0 interno a T 2 ) x 0 punto di max o min (relativo) Tesi: € f '( x 0 ) = 0 Dimostrazione: x 0 punto di max, f ( x 0 ) ≥ f ( x ), ∀ x ∈I( x 0 ), poniamo x = x 0 + Δ x , poiché x 0 è punto interno si possono considerare si incrementi Δ x positivi che negativi. € f (^) ( x 0 ) ≥ f (^) ( x 0 + Δ x ),∀( x 0 + Δ x ) ∈ I (^) ( x 0 ) → f (^) ( x 0 + Δ x ) − f (^) ( x 0 ) ≤ 0 ,∀ (^) ( x 0 + Δ x ) ∈ I (^) ( x 0 ) Poniamo a sistema: € f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ≤ 0 , Δ x > 0 , ∀( x 0 + Δ x ) ∈ I ( x 0 ) f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ≥ 0 , Δ x < 0 , ∀( x 0 + Δ x ) ∈ I ( x 0 )
Risulta: € 1 ) lim Δ x → 0 + f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f '+ ( x 0 ) ≤ 0 2 ) lim Δ x → 0 − f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f '− ( x 0 ) ≥ 0 Allora: € f '( x 0 ) = 0 Teorema di Rolle. Ipotesi:1) f ( x ) continua in [ a , b ]
- f ( x ) derivabile in ( a , b )
- f ( a ) = f ( b ) Tesi: € ∃ c ∈ ( a , b ) | f '( c ) = 0 Dimostrazione: Poniamo m = min di f ( x ) in [ a , b ] e M = max di f ( x ) in [ a , b ]. Sarà m ≤ M : a) Se m = M cioè f ( a ) = f ( b ) allora f ( x ) è costante in [ a , b ] e quindi f '( x ) = 0, ∀ x ∈( a , b ), anzi ∀ x ∈[ a , b ]. b) Se m < M , sia f ( x 0 ) = m , e f ( x 1 ) = M , allora almeno uno dei punti x 0 , x 1 dovrà essere interno ad [ a , b ] in caso contrario sarebbe violata l’ipotesi 3, essendo f ( x 0 ) < f ( x 1 ). Applichiamo allora a tale punto interno il teorema di Fermat: f '( x 0 ) = 0 oppure f '( x 1 ) = 0. Teorema di Lagrange. Ipotesi:1) f ( x ) continua in [ a , b ]
- f ( x ) derivabile in ( a , b ) Tesi: € ∃ c ∈ ( a , b ) | f ( b ) − f ( a ) b − a = f '( c ) Dimostrazione: Consideriamo € g ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) b − a
⋅ ( x − a ) g ( x ) è continua in [ a , b ] e derivabile in ( a , b ): € g '( x ) = f '( x ) − f ( b ) − f ( a ) b − a
g ( a ) = f ( a ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) b − a
⋅ ( a − a ) = 0 e € g ( b ) = f ( b ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) b − a
⋅ ( b − a ) = 0 Quindi: g ( a ) = g ( b ) = 0 Applichiamo Rolle: € ∃ c ∈ ( a , b ) | g '( c ) = 0 € g '( c ) = f '( c ) − f ( b ) − f ( a ) b − a
⎦⎥^
f ( b ) − f ( a ) b − a
⎦⎥^
= f '( c )
Integrale indefinito. Sia f ( x ) definita in [ a , b ] dicesi primitiva di f ( x ) una funzione F ( x ) derivabile su [ a , b ] tale che: F '( x ) = f ( x ), ∀ x ∈[ a , b ]. Teorema: Se F ( x ) è primitiva di f ( x ), x ∈[ a , b ], allora sono primitive di f ( x ) anche le funzioni G ( x ) = F ( x ) + c , con c costante arbitraria. Viceversa, ogni primitiva di f ( x ) in [ a , b ] è del tipo G ( x ) = F ( x ) + c. Dimostrazione: D ( G ( x )) = D ( F ( x ) + c ) = F '( x ) + 0 = f ( x ). Viceversa, si G ( x ) una primitiva di f ( x ) diversa da F ( x ), allora: G' ( x ) = f ( x ) e quindi G' ( x ) = F' ( x ) cioè (2° corollario del terorema di Lagrange): G ( x ) – F ( x ) = c → G ( x ) = F ( x ) + c L’insieme di tutte le infinite primitive di f ( x ) è l’integrale indefinito di f ( x ): € ∫^ f^ ( x ) dx Definizione generale di integrale definito (secondo Riemann–Darboux). Sia f ( x ) definita in [ a , b ] e ivi limitata. a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n– 1 < xn = b ei = estremo inferiore di f ( x ) nell’i-esimo intervallo [ xi – 1 , xi ] Ei = estremo duperiore di f ( x ) nell’i-esimo intervallo [ xi – 1 , xi ] € ei δ i i = 1 n ∑ = somma integrale minorante € Ei δ i i = 1 n ∑ = somma integrale maggiorante poniamo: Si dimostra che esistono finiti i due limiti: € lim δ (^) M → 0 ei δ i i = 1 n ∑ =^ I^ =^ f^ ( x ) dx a b ∫ (integrale inferiore) e € lim δ (^) M → 0 Ei δ i i = 1 n ∑ =^ I^ =^ f^ ( x ) dx a b ∫ (integrale superiore) Se risulta: € f ( x ) dx = I a b ∫ , allora^ I^ è l’integrale definito di^ f^ ( x ) in [ a , b ]: € I = f ( x ) dx a b ∫ Condizione necessaria, condizioni sufficienti per l’esistenza dell’integrale definito (nel senso di Riemann–Darboux).
- Condizione necessaria per l’esistenza dell’integrale definito:
- Condizione necessaria affinché f ( x ) sia integrabile in [ a , b ] è che f ( x ) sia limitata in [ a , b ].
- Condizioni sufficienti per l’esistenza dell integrale definito:
- Ogni funzione continua in [ a , b ] è ivi integrabile.
- Ogni funzione limitata e generalmente continua in [ a , b ] è ivi integrabile.
- Ogni funzione limitata e continua in [ a , b ] è ivi integrabile. Condizioni sufficienti di integrabilità di una funzione.
- Ogni funzione continua in [ a , b ] è ivi integrabile.
- Ogni funzione limitata e generalmente continua in [ a , b ] è ivi integrabile.
- Ogni funzione limitata e continua in [ a , b ] è ivi integrabile. Valor medio integrale. Il valor medio della funzione f sull’intervallo [ a , b ] è: €
M ( f , a , b ) =
b − a f ( x ) dx a b ∫
Teorema della media integrale (o del valor medio integrale). Ipotesi: f ( x ) continua in [ a , b ] Tesi: € ∃ c ∈[ a , b ] | f ( c ) =
b − a f ( x ) dx a b ∫ Dimostrazione: €
m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ [ a , b ]
Per la proprietà di isotonia: € mdx ≤ f ( x ) dx ≤ Mdx a b ∫ a b ∫ a b ∫ → € m ( b − a ) ≤ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) a b ∫ Divido tutto per b – a : € m ≤
b − a f ( x ) dx ≤ a b ∫ M Poiché f ( x ) è continua in [ a , b ] grava il teorema di Darboux: € ∃ c ∈[ a , b ] | f ( c ) =
b − a f ( x ) dx a b ∫ Teorema fondamentale del calcolo integrale (Newton-Leibniz-Torricelli-Barrow). Consideriamo la funzione integrale F ( x ) definita da: € F ( x ) = f ( t ) dt a x ∫ Ipotesi: Sia f ( x ) continua in [ a , b ]. Tesi: F ( x ) è derivabile in [ a , b ] e risulta F '( x ) = f ( x ),∀x∈[ a , b ] Dimostrazione: € F ( x + Δ x ) − F ( x ) = f ( t ) dt − f ( t ) dt a x ∫ a x +Δ x ∫ Applico la proprietà additiva: € F ( x + Δ x ) − F ( x ) = f ( t ) dt + a x ∫ f^ ( t ) dt^ −^ f^ ( t ) dt a x ∫ a x +Δ x ∫ =^ f^ ( t ) dt a x +? x ∫ Poiché f ( x ) è continua applico il teorema della media: € f ( t ) dt = f ( c )⋅ Δ x a x +Δ x ∫ con c∈[ x ,^ x^ +^ Δ x ] Quindi: € F ( x + Δ x ) − F ( x ) = f ( c )⋅ Δ x (Δ x ≠ 0) Divido entrambi i membri per Δ x : € F ( x + Δ x ) − F ( x ) Δ x = f ( c ) Se € Δ x → 0 allora € c → x e € lim Δ x → 0 f ( c ) = lim c → x f ( c ) = f ( x ) Allora: € lim Δ x → 0 F ( x + Δ x ) − F ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( c ) = f ( x ) cioè: Sia f ( x ) continua in [ a , b ] e sia G ( x ) una sua qualsiasi primitiva. Dimostrare che. Tutte le primitive di f ( x ) continua in [ a , b ] sono date da: € F ( x ) + c = f ( t ) dt + c a x ∫ Sia G ( x ) una qualsiasi primitiva di f ( x ): € G ( x ) = f ( t ) dt + c a x ∫ Calcolo G ( a ): € G ( a ) = f ( t ) dt + c = c a a ∫ , e quindi avrò che: € G ( x ) = f ( t ) dt + G ( a ) a b ∫ Calcolo G ( b ): € G ( b ) = f ( t ) dt + G ( a ) a b ∫ , cioè: € G ( b ) − G ( a ) = f ( t ) dt a b ∫
