Formulario di Statistica: Esercizi e Formule per l'Analisi Dati, Formulari di Statistica

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Formulario

di

Statistica

1 Statistica esplorativa

Popolazione Campione

dimensione del collettivo N n

media μ xn

per serie dati =

1

N

N

i =

x i

1

n

n

i =

x i

per distribuzioni semplici =

1

N

k

i =

x i

n i

, dove n i

sono le frequenze assolute =

1

n

k

i =

x i

n i

per distribuzioni in classi ≈

1

N

k

i =

c i

n i

, dove c i

= ( x i − 1

• x i

) / 2 sono i valori centrali ≈

1

n

k

i =

c i

n i

momento secondo μ 2

m 2

per serie dati =

1

N

N

i =

x

2

i

1

n

n

i =

x

2

i

per distribuzioni semplici =

1

N

k

i =

x

2

i

ni , dove ni sono le frequenze assolute =

1

n

k

i =

x

2

i

ni

per distribuzioni in classi ≈

1

N

k

i =

c

2

i

ni , dove ci = ( xi − 1 + xi ) / 2 ≈

1

n

k

i =

c

2

i

ni

varianza σ

2 s

2

n

per serie dati =

1

N

N

i =

( x i

− μ )

2

1

n − 1

n

i =

( x i

− x n

2

per distribuzioni semplici =

1

N

k

i =

( x i

− μ )

2 n i

, dove n i

sono le frequenze assolute =

1

n − 1

k

i =

( x i

− x n

2 n i

per distribuzioni in classi ≈

1

N

k

i =

( c i

− μ )

2 n i

, dove c i

= ( x i − 1

• x i

1

n − 1

k

i =

( c i

− x n

2 n i

formula alternativa = μ 2

− μ

2

n

n − 1

[

m 2

− ( x n

2

]

Alternativa (serie dati) = μ 2 − μ

2

1

n − 1

n

i =

x

2

i

n

n − 1

( xn )

2

Alternativa (dist semplici) = μ 2 − μ

2

1

n − 1

k

i =

x

2

i

ni −

n

n − 1

( xn )

2

mediana M e M e n

per serie dati = x ( α ), con α = 0_._ 5( N + 1) arrotondato all’intero più vicino, idem, ma in base a n

dove x ( i )

rappresenta la serie ordinata in modo non decrescente

per distribuzioni semplici = min ( x i

) tale che F i

≥ 0_._ 5 idem

dove F i

è la frequenza relativa cumulata

per distribuzioni in classi ≈ x i − 1

• ( x i

− x i − 1

0_._ 5 − Fi − 1

Fi − Fi − 1

idem

dove ( x i − 1

, x i

) sono gli estremi della classe mediana

primo quartile Q 1 Q 1 n

per serie dati = x ( α )

, con α = 0_._ 25( N + 1) arrotondato all’intero più vicino, idem, ma in base a n

dove x ( i )

rappresenta la serie ordinata in modo non decrescente

per distribuzioni semplici = min ( xi ) tale che Fi ≥ 0_._ 25 idem

dove Fi è la frequenza relativa cumulata

per distribuzioni in classi ≈ xi − 1 + ( xi − xi − 1 )

0_._ 25 − Fi − 1

Fi − Fi − 1

idem

dove ( xi − 1 , xi ) sono gli estremi della classe di Q 1

terzo quartile Q 3 Q 3 n

per serie dati = x ( α )

, con α = 0_._ 75( N + 1) arrotondato all’intero più vicino, idem, ma in base a n

dove x ( i )

rappresenta la serie ordinata in modo non decrescente

per distribuzioni semplici = min ( x i

) tale che F i

≥ 0_._ 75 idem

dove Fi è la frequenza relativa cumulata

per distribuzioni in classi ≈ xi − 1 + ( xi − xi − 1 )

0_._ 75 − Fi − 1

Fi − Fi − 1

idem

dove ( xi − 1 , xi ) sono gli estremi della classe di Q 3

- X ∼ Bin ( n, p ) P ( X = x ) =

n

x

p

x (1 − p )

n − x , x = 0 , 1 ,... , n

- X ∼ P oi ( λ ) P ( X = x ) =

λ

x

x!

e

− λ , x = 0 , 1 ,...

• Modelli di variabili aleatorie continue: - X ∼ N ( μ, σ

2 ), x ∈ (−∞ , ∞), densità di probabilità simmetrica rispetto a μ ,

valor medio= μ , varianza= σ

2

- X ∼ T ( g ), g > 2 x ∈ (−∞ , ∞), densità di probabilità simmetrica rispetto a 0,

valor medio=0, varianza=

g

g − 2

- X ∼ χ

2 ( g ) , x ∈ (0 , ∞),

valor medio= g , varianza=2 g

• Distribuzione congiunta di variabili aleatorie: - Covarianza cov ( X, Y ) = E [( X − μ X

)( Y − μ Y

)] = EXY − μ X

μ Y

- X e Y discrete indipendenti se e solo se per ogni x 1 , x 2

P ( X = x 1 , Y = x 2 ) = P ( X = x 1 ) P ( Y = x 2 );

- X e Y continue indipendenti se e solo se per ogni x 1 , x 2

F ( x 1 , x 2 ) = F ( x 1 ) F ( x 2 );

- media e varianza di combinazioni lineari di variabili casuali

W = aX + bY, μW = aμx + bμy , σ

2

W

= a

2 σ

2

X

• b

2 σ

2

Y

• 2 ab · cov ( X, Y )

• Media campionaria

X =

1

n

n

i =

Xi

– E

X = μ , var

X =

σ

2

n

- Se Xi ∼ N ( μ, σ

2 ) allora

X ∼ N ( μ,

σ

2

n

- Per n sufficientemente grande

X ¯− μ

σ √ n

∼ N (0 , 1) (TLC)

• Proporzione campionaria

P =

1

n

n

i =

Xi , Xi ∼ Be ( p )

– E

P = p , var

P =

p (1− p )

n

- Per n sufficientemente grande

ˆ P − p √

p (1− p )

n

∼ N (0 , 1) (TLC) ( np (1 − p ) > 9)

• Varianza campionaria S

2

1

n − 1

n

i =

( Xi −

X )

2

– ES

2 = σ

2

( n −1) S

2

σ

2 ∼^ χ

2 ( n − 1).

3 Inferenza

Se

θ è uno stimatore di θ allora la distorsione è B ( θ ) = E (

θ ) − θ.

Se X ∼ N ( μ, σ

2 ) con μ incognita e σ

2 nota:

X

n

− μ

σ/

n

∼ N (0 , 1)

Se X ∼ N ( μ, σ

2 ) con μ e σ

2 incognite:

Xn − μ

S

n

n

∼ tn − 1

Se X ∼ N ( μ, σ

2 ) con μ e σ

2 incognite:

( n − 1) S

2

n

σ

2

∼ χ

2

n − 1

Se consideriamo due campioni indipendenti di numerosità rispettivamente n 1 e n 2 estratti da due popolazioni normali con

varianze note : X 1 ∼ N ( μ 1 , σ

2

1

) e X 2 ∼ N ( μ 2 , σ

2

2

) allora:

X 1 −

X 2 ) − ( μ 1 − μ 2 )

√

σ

2 1

n 1

σ

2 2

n 2

∼ N (0 , 1)

Se consideriamo due campioni indipendenti di numerosità rispettivamente n 1 e n 2 estratti da due popolazioni normali con

varianze incognite e uguali : X 1

∼ N ( μ 1

, σ

2

1

) e X 2

∼ N ( μ 2

, σ

2

2

) allora:

X

1

X

2

) − ( μ 1

− μ 2

Sp

1

n 1

1

n 2

∼ t ( n 1 + n 2 −2)

dove S

2

p

( n 1 −1) S

2

1

+( n 2 −1) S

2

2

( n 1 + n 2 −2)

Se consideriamo due campioni dipendenti di numerosità n estratti da due popolazioni normali con varianze incognite :

X

1

∼ N ( μ 1

, σ

2

1

) e X 2

∼ N ( μ 2

, σ

2

2

) allora se indichiamo con d i

= X

1 i

− X

2 i

d − ∆

Sd √

n

∼ t n − 1

dove ∆ = ( μ 1 − μ 2 ).