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docente: Domenico Vistocco
Facoltà di Economia 1
Le frequenze cumulate
Si consideri una variabile qualitativa ordinale X. Per essa, oltre alle frequenze assolute, relative e percentuali, è
possibile calcolare anche le frequenze cumulate e retrocumulate (assolute, relative e percentuali) avendo senso ordinare
le modalità della variabile.
In particolare la frequenza cumulata in corrispondenza di una data modalità del carattere, indica il numero (in
caso di frequenze assolute) o la frazione (in caso di frequenze relative o percentuali) delle unità della popolazione
considerata che presentano un valore della variabile minore o uguale (ovvero non superiore) alla modalità in questione.
La seguente tabella riporta la definizione delle frequenze cumulate nel caso di una generica variabile che può
assumere k modalità:
X n f p N F P
( )^1 x n 1 f 1 p 1 N 1 = n 1 F 1 = f 1 P 1 =p 1
x ( (^2) ) n 2 f 2 p 2 N 2 = n 1 + n 2 F 2 = f 1 + f 2 P 2 = p 1 +p 2
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( i 1 ) x − i^1 n (^) − fi (^) − 1 pi (^) − 1 N (^) i − 1 = n 1 + ...+ ni− 1 Fi (^) − 1 = f 1 + ...+ fi− 1 Pi − 1 = p 1 + ... +pi− 1
( )i x ni f (^) i pi Ni = n 1 + ...+ ni Fi − 1 = f 1 + ...+ fi Pi − 1 = p 1 + ...+pi
( i^1 ) x (^) + ni (^) + 1 fi (^) + 1 pi (^) + 1 N (^) i − 1 = n 1 + ...+ ni+ 1 Fi (^) − 1 = f 1 + ...+ fi+ 1 Pi − 1 = p 1 + ... +pi+ 1
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x ( (^) k− 1 ) nk (^) − 1 f (^) k− 1 pk (^) − 1 Nk (^) − 1 = n 1 + ...+ nk− 1 Fk (^) − 1 = f 1 + ...+ fk− 1 Pk (^) − 1 = p 1 + ...+pk− 1
( k) x nk f (^) k pk N (^) k = n 1 + ...+ nk = N Fk = f 1 + ... + fk= 1 Pk = p 1 + ... + pk= 100
N 1 100
dove con Ni , Fi e Pi si sono indicate, rispettivamente, le frequenze cumulate assolute, relative e percentuali in
corrispondenza della generica i-esima modalità.
Indicando con #(.) la cardinalità di un insieme, per esse si ha, rispettivamente:
( i)
1
X x
i
i j j
N n
( i) 1
1 1
X x
i
j (^) i i j j i j j j
n n F f N N N
=
= =
( i) 1
1 1 1
X x
100 100 100 100
i
j (^) i i i j j i j j j j j
n n P f p N N N
=
= = =
= × = × = × = × =
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Facoltà di Economia 2
Le frequenze retrocumulate
E’ possibile definire la frequenza retrocumulata in corrispondenza di una data modalità come il numero (nel
caso di frequenze assolute) o la frazione (nel caso di frequenze relative o percentuali) di unità che hanno un valore del
carattere maggiore o uguale (ovvero non minore) della modalità in questione.
La seguente tabella riporta la definizione delle frequenze retrocumulate nel caso di una generica variabile che
può assumere k modalità:
X n f p RN RF RP
( ) 1 x n 1 f 1 p 1 RN 1 = n 1 + ... + nk = N RF 1 = f 1 + ... + fk= 1 RP 1 = p 1 + ... + pk= 100
( 2 ) x n 2 f 2 p 2 RN 2 = n 2 + ... + nk RF 2 = f 2 + ... + fk RP 2 = p 2 + ... +pk
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( i^1 ) x (^) − ni (^) − 1 fi (^) − 1 pi (^) − 1 RNi (^) − 1 = ni (^) − 1 + ...+ nk RFi − 1 = fi (^) − 1 + ...+ fk RPi − 1 = pi (^) − 1 + ...+pk
x ( ) (^) i ni f (^) i pi RNi = ni + ...+ nk RFi = f (^) i + ...+ fk RPi = pi + ...+pk
( i 1 ) x
- i^1 n (^) + fi (^) + 1 pi (^) + 1 RNi (^) + 1 = ni (^) + 1 + ...+ nk RFi + 1 = fi (^) + 1 + ...+ fk RPi + 1 = pi (^) + 1 + ...+pk
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( k 1 ) x − k n f (^) k pk RNk = nk RFk = f (^) k − 1 + fk RPk (^) − 1 = pk (^) − 1 +pk
( k) x nk (^) − 1 f (^) k− 1 pk (^) − 1 RN (^) k − 1 = nk (^) − 1 + nk RFk = fk RPk =pk
N 1 100
dove con RN (^) i, RFi e RPi si sono indicate, rispettivamente, le frequenze retrocumulate assolute, relative e percentuali
in corrispondenza dell’i-esima modalità. Per esse si ha, rispettivamente:
# X ( xi)
k
i j j i
N n
# X ( xi)
k
j (^) k k j i j i j j i j i
n n F f N N N
=
= =
( i)
1
X x
100 100 100 100
k
j (^) k k k j i j i j j j j i j i
n n P f p N N N
=
= = =
= × = × = × = × =
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Se si considera, a titolo esemplificativo, la frequenza cumulata in corrispondenza della classe di rendimento “BASSO”,
questa esprime il numero di studenti che presentano un rendimento non superiore a “BASSO” (ovvero un rendimento
minore o al più uguale a BASSO). In termini di voto ottenuto, tale richiesta equivale a contare gli studenti che non
hanno conseguito più di 21 (andando a contare, cioè, quelli che non hanno superato l’esame e quelli che hanno avuto
come voto massimo 21).
Nel caso in questione si ha che 260 (dei 350) studenti analizzati presentano tale caratteristica.
Con riferimento agli stessi dati, si riporta, nella seguente tabella, il calcolo delle frequenze relative e delle frequenze
cumulate relative. E’ chiaro che analoghi calcoli vanno applicati nel caso si vogliano ottenere le frequenze percentuali.
VOTO ESAME Frequenza Relativa Frequenza Relativa Cumulata
Negativo (< 18) 0.23 (^) 0.
Appena sufficiente (18) 0.20 (0.23 + 0.20=) 0.
Basso (da 19 a 21) 0.31 (0.23 + 0.20 + 0.31) 0.
Medio (da 22 a 25) 0.16 (^) (0.23 + 0.20 + 0.31 + 0.16) 0.
Alto (> 25) 0.10 (0.23 + 0.20 + 0.31 + 0.16 + 0.10) 1.
Facendo riferimento alla stessa modalità “BASSO” del carattere esaminata in precedenza, in questo caso il valore 0.
della frequenza relativa cumulata indica che il 74% degli studenti analizzati presenta un voto non superiore (ovvero
minore o al più uguale) a 21.
In tale caso, quindi, la frequenza relativa cumulata esprime non più il numero quanto la frazione di unità (di studenti)
che presentano un valore del carattere (voto) non superiore a quello considerato (voto uguale a 21).
Sullo stesso insieme di dati è naturalmente possibile calcolare le frequenze retrocumulate. Si riportano, nella seguente
tabella, le frequenze assolute retrocumulate:
VOTO ESAME Frequenza Assoluta Frequenza
Assoluta Retrocumulata
Negativo (< 18) 80 (80 + 70 + 110 + 55 + 35) 350
Appena sufficiente (18) 70 (70 + 110 + 55 + 35) 270
Basso (da 19 a 21) 110 (110 + 55 + 35) 200
Medio (da 22 a 25) 55 (55 + 35) 90
Alto (> 25) 35 (35) 35
350
Con riferimento a tali frequenze, il valore di 200 corrispondente alla modalità “BASSO” del carattere, è da intendersi
come il numero di studenti che presentano un voto non inferiore (ovvero maggiore o uguale) a BASSO; in altri termini
un voto maggiore o uguale a 19.
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Facoltà di Economia 5
Per il calcolo delle frequenze relative e percentuali retrocumulate basta semplicemente cambiare la colonna di partenza.
Nella successiva tabella è riportato il caso delle frequenze relative retrocumulate per lo stesso insieme di dati:
VOTO ESAME Frequenza Relativa Frequenza
Relativa Retrocumulata
Negativo (< 18) 0.23 (0.23 + 0.20 + 0.31 + 0.16 + 0.10) 1.
Appena sufficiente (18) 0.20 (0.20 + 0.31 + 0.16 + 0.10) 0.
Basso (da 19 a 21) 0.31 (^) (0.31 + 0.16 + 0.10) 0.
Medio (da 22 a 25) 0.16 (0.16 + 0.10) 0.
Alto (> 25) 0.10 (0.10) 0.
In termini di interpretazione, facendo riferimento sempre alla modalità “BASSO” del carattere “VOTO”, il valore 0.
ci dice che solo il 57% degli studenti analizzati presenta un voto almeno (non inferiore ovvero maggiore o uguale)
BASSO.
Si riporta infine, nella seguente tabella, per il solo caso delle frequenze assolute, una modalità alternativa di calcolo
delle frequenze retrocumulate che sfrutta la relazione che lega le stesse alle frequenze cumulate:
VOTO ESAME Frequenza
Assoluta
Frequenza
Assoluta Cumulata
Frequenza
Assoluta Retrocumulata
Negativo (< 18) (^80) 80 (350) 350
Appena sufficiente (18) 70 (80 + 70=) 150 (350 – 80) 270
Basso (da 19 a 21) 110 (80 + 70 + 110) 260 (350 – 150) 200
Medio (da 22 a 25) (^55) (80 + 70 + 110 + 55) 315 (350 – 260) 90
Alto (> 25) 35 (80 + 70 + 110 + 55 + 35) 350 (350 - 315) 35
350
