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Funzioni goniometriche
Ricordando che la circonferenza goniometrica è quella circonferenza che ha centro nell’origine e raggio 1, ecco le definizioni delle funzioni goniometriche
Seno di un angolo
Si definisce seno dell’angolo α il rapporto tra il cateto opposto ad α e l’ipotenusa. Poiché l’ipotenusa 𝑂𝑃̅̅̅̅ è il raggio della circonferenza goniometrica e vale 1, ne deriva che il seno è uguale a 𝑃𝐻 (ordinata del punto 𝑃)
Coseno di un angolo
Si definisce coseno dell’angolo α il rapporto tra il cateto adiacente ad α e l’ipotenusa. Il coseno è quindi l’ascissa del
punto P
Poiché i cateti sono sempre minori dell’ipotenusa, ne consegue che le funzioni seno e coseno sono funzioni limitate e di valori compresi tra - 1 e +1. Entrambe sono dette “funzioni periodiche di ” in quanto, dopo tale intervallo, riassumono gli stessi valori
cos 𝑥
Tangente di un angolo Si definisce tangente dell’angolo α il segmento di estremi 𝐴𝑇̅̅̅̅ , dove 𝐴 è il punto (1;0), mentre 𝑇 è il punto di intersezione tra il prolungamento del raggio 𝑂𝑃̅̅̅̅ e la retta tangente alla circonferenza in 𝐴. La tangente è data dal rapporto tra α e α ed è anche l’inverso della cotangente Cotangente di un angolo Si definisce cotangente dell’angolo α il segmento di estremi 𝐵𝑇̅̅̅̅ , dove 𝐵 è il punto (0;1), mentre 𝑇 è il punto di intersezione tra il prolungamento del raggio 𝑂𝑃̅̅̅̅ e la retta tangente alla circonferenza in 𝐵. La cotangente è data dal rapporto tra α e α ed è l’inverso della tangente Anche tangente e cotangente sono funzioni “periodiche”. Infatti dopo un intervallo pari a π (detto periodo), riassumono gli stessi valori. A differenza di seno e coseno, sono funzioni illimitate poiché possono assumere valori uguali a più o meno infinito (per esempio, man mano che P tende a 90° la tangente tende a infinito)
Variazione segni senα Variazione segni cosα
Variazione segni tgα Variazione segni ctgα
Variazione segni secα Variazione segni cosecα
Attraverso opportuni passaggi, è possibile dimostrare che per le funzioni goniometriche esistono una serie di valori “principali” che sono più ricorrenti di altri e che è fondamentale memorizzare. Sono questi della tabella qui sotto Tabella delle funzioni goniometriche per angoli noti Gradi Radianti seno coseno tangente cotangente 0 ° 0 0 + 1 0 ∞ 15 ° 18 ° 22°30’ 30 ° 3 6° 45 ° + 1 + 1 54 ° 60 ° 67°30’ 72 ° 75 ° 90 ° (^) + 1 0 ∞ 0 180 ° (^) 0 - 1 0 ∞ 270 ° (^) - 1 0 ∞ 0 360 ° (^) 0 + 1 0 ∞ Gradi Radianti seno coseno tangente cotangente Come si vede, sono stati riportati alcuni valori noti del primo quadrante. Altri valori ad essi “corrispondenti” tipo 120°, 150°, 210°, 330°, non sono presenti. Il motivo è legato al fatto che, anziché ricordarli a memoria è preferibile ricavarli attraverso l’utilizzo delle formule sugli angoli associati che saranno spiegate nelle prossime schede
𝒚 = 𝒄𝒕𝒈 𝒙 Cotangentoide La cotangentoide è la curva che, in coordinate cartesiane, rappresenta il diagramma della funzione cotangente. Si arriva al grafico seguendo i procedimenti visti per i grafici precedenti. Nell’intervallo (0;2 ), la funzione presenta tre asintoti verticali in Nota. Essendo la tangente e la cotangente funzioni periodiche di , si sarebbe potuto tracciare il grafico nell’intervallo (0; ) in quanto i valori poi si ripetono. Nell’intervallo successivo infatti ( l’andamento è lo stesso come si vede dal grafico stesso. Secantoide e Cosecantoide Qua sotto i grafici della secante e della cosecante, detti secantoide e cosecantoide Secantoide Cosecantoide Cotangentoide
Esercizio 1 Risolvere l’espressione a lato Esercizio 2 Risolvere l’espressione a lato
