funzioni invertibili, Dispense di Matematica Generale

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Funzioni invertibiliFunzioni invertibili

maurizio rinaldimaurizio rinaldi

2019/10/10 (aggiornato: 2019-10-23)2019/10/10 (aggiornato: 2019-10-23)

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La funzione

è la funzione composta di due funzioni e :. Determinare la funzione interna e la funzione esterna della composizione.

h ( x ) = sin( x^2 + x + 1)

f g h = g ∘ f f g

Equazione associata ad una funzione

Ad una funzione può essere sempre associata l' equazione

con incognita

con dato.

f : DX → DY

f ( x ) = y

x ∈ DX

y ∈ DY

Tale determinazione consiste generalmente in tre punti:

Unicità. Una volta determinato che ci sono soluzioni, si tratta di vedere quante sono ; se ve ne è una sola si dice che vi è unicità di soluzione.

Calcolo. Determinata l'esistenza e ad esempio l'unicità , si tratta di rendere esplicita la soluzione (a meno che non sia già nota come tale); ad esempio, se la incognita x è un numero, si tratta di determinarne lo sviluppo decimale.

Consideriamo l'equazione

nella incognita reale , della quale si vede ad occhio nudo che il numero reale è una soluzione. Se anche fosse una soluzione reale diversa da 1, sarebbe , e, per la legge di annullamento del prodotto, sarebbe necessariamente , ma ciò è assurdo, in quanto quale che sia la supposta soluzione reale.

( x − 1) ( x^6 + 1) = 0

x 1 u u − 1 ≠ 0 u^6 + 1 = 0 u^6 + 1 ≥ 1 > 0 u

• f ( x ) = x^2 y =

Con R

I coefficienti sono -1,-3,0,

polyroot (c (-1, -3, 0, 1))

[1] -0.3472964-0i -1.5320889+0i 1.8793852-0i

x^3 − 3 ∗ x + 1 = 2 ⇒ x^3 − 3 ∗ x − 1 = 0

sin( x ) = 2 sin(, x ) = 0.5?

Tale funzione indicata con è la funzione inversa di. In simboli,

Si noti che quando è invertibile e è la sua inversa, si ha

f −1^ f

y → x = f −1( y ) = l'unica soluzione x dell'equazione f(x)=y

f : DX → DY f −1: DY → DX

f ( f −1( y )) = y per ogni y in DY f −1( f ( x )) = x per ogni x in DX

Un semplice esempio di funzione invertibile è

data da

L'equazione ha infatti per ogni in una ed una sola soluzione

che è.

La funzione inversa di è quindi data da.

f : R → R

f ( x ) = 2 x − 7

2 x − 7 = y y R x =

y + 2

f f −1^ : R → R f −1( y ) = 12 y +^72

Supponiamo di considerare l'invertibilità della funzione

data da

Possiamo direttamente considerare l'equazione associata alla funzione e

risolverla: ha soluzione (unica!).

f : R → R

f ( x ) = 2 x^3 − 5

y = 2 x^3 − 5 x = ( )1/

y + 5 2

Richiamiamo che

Una funzione si dice iniettiva se comunque si scelgano due elementi ed di si ha

Una funzione si dice suriettiva se comunque si scelga in esiste in tale che.

In altre parole l'immagine di coincide con il codominio di.

Una funzione si dice biiettiva se risulta sia iniettiva che suriettiva.

Mostrare che una funzione è invertibile se e solo se è biettiva!

f: DX → DY x 1 x 2 DX

f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇒ x 1 = x 2

f: DX → DY y DY x DX y = f(x)

f DY f

f: DX → DY