funzioni matematiche, Dispense di Matematica

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FUNZIONI REALI Dal grafico alle proprietàdelle funzioni

OBIETTIVI

 definire una funzione reale  conoscere il tipo di funzione e classificarla  riconoscere dal grafico di una funzione alcune sue caratteristiche (gli zeri e gli intervalli di positività e negatività di una funzione, …)

ESEMPIO

y=k ⋅ x^2 con k costante positiva.

Questa funzione può essere interpretata come:  y è lo spazio percorso da un corpo in caduta libera, nel tempo x e in tal caso il dominio A coincide con l’insieme dei numeri reali positivi  l’equazione di una parabola e quindi il dominio A coincide con l’insieme dei numeri reali  y è il ricavo che si ottiene vendendo x oggetti e quindi il dominio A coincide con l’insieme dei numeri naturali

DOMINIO DI UNA FUNZIONE

In pratica il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i

valori x per i quali esiste (è possibile calcolare) l’immagine.

Per questi valori si dice che la funzione non perde di

significato.

ESEMPIO

Data la funzione In tal caso  x^2 -3x-1 è l’ espressione analitica della funzione  fissato il valore per x, ad esempio -2, la corrispondente immagine y è data sostituendo ad x, nell’espressione analitica, il valore - y= (-2)^2 -3(-2)-1=4+6-1= Dunque l’immagine di -2 è 9. ULTERIORI INFORMAZIONI... La coppia ordinata (-2; 9) è un elemento della funzione data. In un piano cartesiano la coppia è rappresentata da un punto.

f : A B

x y=x 2 -3x-

GRAFICO DI UNA FUNZIONE

La funzione è un insieme di coppie ordinate. Ad ogni coppia ordinata corrisponde un punto sul piano cartesiano L’ insieme di questi punti ci da il grafico della funzione.

Dunque

Il grafico di una funzione è l’insieme dei punti che appartengono alla funzione

DAL GRAFICO ALLE PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE

ESERCIZIO: STABILIRE SE IL SEGUENTE GRAFICO RAPPRESENTA UNA FUNZIONE E IN CASO

AFFERMATIVO INDIVIDUARE IL DOMINIO E IL CODOMINIO

 È una funzione f = {(2, 3), (4, 5), (5, 3), (7, 2), (9, 7)}

 Dom f = {2, 4, 5, 7, 9}

 Cod f = {2, 3, 5, 7}

ESERCIZIO: STABILIRE SE IL SEGUENTE GRAFICO RAPPRESENTA UNA FUNZIONE E IN CASO

AFFERMATIVO INDIVIDUARE IL DOMINIO E IL CODOMINIO

 È una funzione

 Dom f = { 2 } ∪ [5,9]

 Cod f = [3, 7]

ESERCIZIO: STABILIRE SE IL SEGUENTE GRAFICO RAPPRESENTA UNA FUNZIONE E IN CASO

AFFERMATIVO INDIVIDUARE IL DOMINIO E IL CODOMINIO

 È una funzione

 Dom f = (2, 9)

 Cod f = (2, 6)

ESERCIZIO: STABILIRE SE IL SEGUENTE GRAFICO RAPPRESENTA UNA FUNZIONE E IN CASO

AFFERMATIVO INDIVIDUARE IL DOMINIO E IL CODOMINIO

 Non è una funzione

 In quanto l’elemento 4 del dominio ha infinite immagini, un qualsiasi y con _4

ESERCIZIO: STABILIRE SE IL SEGUENTE GRAFICO RAPPRESENTA UNA FUNZIONE E IN CASO

AFFERMATIVO INDIVIDUARE IL DOMINIO E IL CODOMINIO  È una funzione (^)  Dom f = {-7} ∪ (-6, 6] ∪ {7}  Cod f = {1, 3, 4, 5}

ESERCIZIO: INDIVIDUARE IL DOMINIO, IL CODOMINIO, DOVE LA FUNZIONE È POSITIVA,

NEGATIVA E NULLA

 f(x)>0 per x∈(-1,2) ∪ (2, + ∞ )

 f(x)<0 per x ∈ (- ∞ ,-1 )

 f(x)=0 per x=-

 Domf = (- ∞ ,2) ∪ (2, + ∞ )

 Codf = (-1, +∞)

ESERCIZIO: INDIVIDUARE IL DOMINIO, IL CODOMINIO, DOVE LA FUNZIONE È POSITIVA,

NEGATIVA E NULLA  Dom f = (-∞,-1) ∪ (1, +∞)

 Cod f = [0, 1)∪(1,+∞)

 f(x)>0 per x ∈ (-∞,-1)∪(1, +∞) f(x)<0 mai  f(x)=0 per x=